吉林省“BEST 合作体”2022-2023 学年度下学期期末考试
高二数学试题答案
一、选择题（每题 5分，计 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B A D A C
题号 9 10 11 12
答案 ABD BCD BD BC
二、填空题（每题 5分，计 20 分）
6
13. 5 14. -51 15. 4 16. 7
三、解答题(17 题 10 分，18-22 题，每题 12 分，总计 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
解：（1）方法一：由题意可得： P A 4 ，………1分
7
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件 AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件 AB，从 7个同
2
学中每次不放回地随机抽取 2人，试验的样本空间Ω包含 n A7 7 6 42个等可能的样本点，
因为n AB A1 14 A3 4 3 12， n AB A13 A12 6，
n AB n AB
P B 12 6 3
n AB
所以 , P AB 12 2 ，………3分
n 42 7 n 42 7
2
P AB 故 P B A 7 1 4 ．………5分P A 2
7
4 3 3 2 3
方法二：P B ，………1分
7 6 7 6 7
4
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，则 P A ，
7
P AB 4 3 2 ，………3分
7 6 7
2
P AB 故 P B A 1 7
P ．………5分A 4 2
7
吉林省 BEST合作体期末考试 高二数学答案 第 1 页 共 5 页
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（2）被抽取的 3人中女生人数 X 的取值为 0，1，2，3，………6分
3 1
P X 0 C3 1 P X 1 C4C
2 12 2 1 3
， 3 ， P X C C 2 4 3 183 3 3 ， P X 3
C
4
4
3 ，………8分C7 35 C7 35 C7 35 C7 35
X 的分布列：
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
………9分
1 12 18 4 12
X 的数学期望 E X 0 1 2 3 .………10分
35 35 35 35 7
18.（本题满分 12 分）
t 1 2 3 4解：（1） 2.5 y
1
， (5.2 5.3 5.7 5.8) 5.5，………1分
4 4
4
(ti t )(yi y ) ( 1.5) ( 0.3) ( 0.5) ( 0.2) 0.5 0.2 1.5 0.3 1.1，………2分
i 1
4 4
(t 2i t ) ( 1.5)2 ( 0.5)2 0.52 1.52 5 (y y )2， i ( 0.3)2 ( 0.2)2 0.22 0.32 0.26，………3分
i 1 i 1
4
(ti t )(yi y) 1.1 1.1
r i 1 0.96 0.754 4
2 2 1.3 1.14
，………5分
(ti t ) (yi y)
i 1 i 1
订单数量 y 与月份 t 的线性相关性较强；………6分
4
(ti t )(yi y) 1.1
（2） b i 1 4 0.22，………8分
(t 2 5i t )
i 1
a y b t 5.5 0.22 2.5 4.95，………9分
经验回归方程为 y 0.22t 4.95，………10分
令 t 5， y 0.22 5 4.95 6.05（万件），………11分
即该企业 5月份接到的订单数量预计为 6.05万件.………12分
19．（本题满分 12 分）
解：（1）解：选择条件① a2 a1 2，且 2an a1 Sn，由题意可得 2an 1 a1 Sn 1，
∴2an 1 2an Sn 1 Sn an 1，即 an 1 2an，………2分
∴ an 为公比 q = 2的等比数列，………3分
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∵ a2 a1 2，∴ 2a1 a1 2，解得 a1 2，………5分
n
∴ an 2 n N ；………6分
a S 2n 1选择条件② n 为等比数列，且满足 n k，………2分
由题意可得 a2 S2 S1 (8 k) (4 k) 4, a3 S3 S2 (16 k) (8 k) 8，………4分
q a 3 2 5 n 2 n ∴ a ，……… 分 ∴
an a2q 2 n N ；………6分
2
（2）由（1）得 an 2
n n N b 1 1 1 1 1，∴ n log2 a2n 1 log2 a2n 3 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3 ，………8分
T b b b 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 ∴ n 1 2 n ，………10分2 3 5 5 7 2 n 1 2 n 3 2 3 2 n 3
1
∵ n N ， 0,
1 1 1 1 1 1 1，∴Tn 2 3 2n 3 6………11分2n 3 3 2n 3 3
1 1
∴不等式Tn 恒成立时， ，即 的最小值为 ．………12分6 6
20.（本题满分 12 分）
解:（1 x）由 f (x) e 1 a sin x f x e x a cos x ，所以 f 0 1 a，………1分
又曲线 y f (x)在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x，即 f 0 1 a 1，所以 a 2；………3分
x
（2）当 a 2时， f (x) e 1 2sin x, f x ex 2cos x，
由 y ex、y cos x在 [0，π] x上分别单调递增、单调递减可得： f x e 2cos x在 [0，π]上单调递增，………5分
而 f 0 1 0, f π eπ 2 0，………6分
即 x0 0, π ，使得 f x0 0，故 f x 在 0, x0 上单调递减， x0 , π 上单调递增，
且 f 0 0 f π eπ 1，即 f (x)在 [0, π]上的最大值为 eπ 1；………7分
3 x x（ ）∵ x [0，π]， f x e acos x，令 g x f x g x e a sinx ，………8分
①当 a 0时，asin x 0,ex 1 0，易知 f x ex 1 a sin x 0 在 x [0, π]上恒成立，当 x 0时取得等号，符合题
意；………9分
②当0 a 1时，易知 asin x 0，则 g x ex asin x 0在 x [0, π]上恒成立，即 f x 在 x [0, π]时单调递增，
又 f 0 1 a 0，故 f x 在 [0, π]上单调递增，
∵ f 0 0，∴恒有 f (x) 0，符合题意；………10分
③当 a 1时，由②知 f x 在 x [0, π] π时单调递增，而 f 0 1 a 0 f π e a ，
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即 x0 0, π ，使得 f x0 0，故 f x 在 0, x0 上单调递减， x0 , π 上单调递增，
又 f 0 0，则 f x0 f 0 0，不满足题意；………11分
综上当a ,1 ，能满足任意的 x [0, π]，恒有 f (x) 0 .………12分
21．（本题满分 12 分）
300 1
解:（1）由题可知，小周第 1个月摇上号的概率为 ，………1分
3000 10
1 3
所以小周连续三个月摇上号的概率为 ( ) ，………2分
10
3
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有A3种情况，三个月获得模型共有33种情况，
A3
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为 33 ,………4分3
3 3
设事件A为“小周在这三个月集齐三款模型”，则 P A 1 A 1 3 10 3 ．………6分 3 4500
9 k 1 1 11
（2）由题意得 P X k k 1, 2, ,11 ， P X 12
9 ，………7分
10 10 10
11
E(X ) k 9
k 1 11
12 9 则 ，………8分
k 1 10
10 10
9 9 11 k 9 k 54 9 11E(X ) 两边同乘 得
10 10 10 10 5 ，………9分k 1 10
1 1 9 1 9 1 9 1 9 11 9 12 11 12 9
两式相减得 E(X ) ( ) 0 ( )1 ( ) 2 ( )11
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 0 10 1 0
9 12
1 9 9 9 9 1 1 ( )
[( )0 ( )1 ( )2 ( )11 ] 10 1 ( 9 )12，………10分
10 10 10 10 10 10 1 9 10
10
所以E(X ) 10 10
9
( )12 10 9 9 10 ( )11 10 9 ( 9 )11．………12分
10 10 10 10
22．（本题满分 12 分）
解：（1） f x ， g x 定义域均为 (0,+ )， f x a 1 a x 2 2 ,， ………1分x x x
当 a 0时，则 f x 0， f x 在 (0,+ )单调递增，无极值，与题不符；
当 a 0时，令 f x =0，解得： x=a，
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所以 f x 在 0,a 单调递减，在 a, 单调递增，
在 x=a取极小值，且 f a 1 ln a； ………3分
g x a 1又 ，
x
当 a 0时： g x 0， g x 在 (0,+ )单调递减，无极值，与题不符；
g x =0 x 1当 a 0时：令 ，解得： ，
a
所以 g x 0, 1 1 在 单调递减，在 , 单调递增，
a a
1 1在 x 取极小值，且 g 1 lna； ………4分a a
由题：，解得：a=1.………5分
m 1（2）令 ,n
1
x x m n
x x ，因为 1 2，所以 ，1 2
a
+lnxx 1
=2
am lnm=2 1
由 f x1 f
x2 2 x1 x
1
2 可得：
a +lnx =2 an lnn=2 2
，………6分
x
2
2
a m n lnm ln n 1 m n（1）-（2）得： ，所以 ，
a lnm ln n
1 1 2
2 m n要证： x x a ，只要证：
m n ，只要证：m n 2 ，………7分
1 2 a lnm ln n
m
n m m 2 m n
2 1
不妨设0 m n，所以只要证： ln ， 即证： ln ，………8分
n m n n m 1
n
t m令 t 1 2 t 1，只要证： ln t t 1 ，
n t 1
2 t 1 1 2 t 1 2 t 1h t 1 4 t 1
2
令 h t ln t t 1 ， 2 t 1 t t 1 t t 1 2
，
t t 1 2
所以h t 在 t 1, 上单调递增，………11分
1 1 2
2 t 1即有 ln t t 1 成立，所以 x x a 成立.………12分t 1 1 2
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高二数学试题
本试卷满分150分，共5页。考试时间为120分钟，考试结束后，只交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分,1-8题为单选，9-12题为多选，少选得2分，错选或不选得0分，)
1．设集合，则M N= ( )
A. B. C. D.[1,5)
2．命题p“>0”，命题q“m<2”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程,设z = lny ,其变换后得到经验回归方程为，则c= ( )
A. 0.5 B. e0.5 C.2 D. e2
4．已知抛物线C: y2=x的准线为l，点A的坐标为(1,0)，点P在抛物线上，点Р到直线l的距离为d，则|的最大值为( )
A. 1 B. C. D.
5.李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案:
方案一:不考虑两次油价的升降，每次都加油200元;
方案二:不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算 ( )
A．方案一 B．方案二 C.一样划算 D．不能确定
6.已知A，B为双曲线C的左、右顶点，点M在C上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(x+1)'， x≤0,步粉o(r)= f(x)-b7.已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数b的取值范围为( )
A. (0.,1] B. [0,1] C. (0,1) D.
8．若a = sin 0.1+ tan 0.1，b=0.2，c =0.16e0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
9．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得=6.748，经查阅临界值表知P(>6.635)=0.010，则下列判断错误的是（ )
A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
10．下列命题中正确的是( )
A．命题:“ ≥0”的否定是“”
B．函数 ( a>0且a≠1)恒过定点(4,2)
C．己知函数f(2x+1)的定义域为[-1,1]，则函数f(x2＋2)的定义域为[-1,1]
D．函数y =的值域是[0,)，则实数m的范围是
11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A. P(X =1)= B. X +Y=4 C. E(X)>E(Y) D. E(Z)=
12.定义在R上的函数的导函数为，当(0.2)时，函数满足:g(x+1)为奇函数，且对于定义域内的所有实数x，都有g(4-x)=g(x)．则（ ）
A. g(x)是周期为2的函数 B. g(x)为偶函数
C. D. g(x)的值域为(-1,1)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分)
13．已知等差数列的前n项和为，且，则a4=_______.
14. 的展开式中，x的系数为_______________
15.已知x >0，y >0，且 =4，则的最大值是__________.
16．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如: 47可以表示，如果用算筹表示一个不含“0”"且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为________________
三、解答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，计70分)
17.(本小题10分）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B.
(1)求P(B)，P(B/A)，
(2)若把抽取学生的方式更改为:从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
18.(本小题12分）2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
附：相关系数，，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.(结果保留两位小数)
(2)建立y关于t的经验回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
19.(本小题12分）已知数列的前n项和为。.
(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式;
(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.
条件①，且;条件②为等比数列，且满足;(注:若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.)
20.(本小题12分）已知函数.
(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y= -x，求实数a的值;
(2)当a=2时，求f(x)在[0,]上的最大值;
(3)若对任意的[0,]，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分）2023年4月23日，是中国海军成立74周年。74年向海图强，74年劈波斩浪.74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰"32广西舰"33安徽舰"也相继正式入列.从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰"“32广西舰"33安徽舰”)，并限量发行。若该公司每个月发行300件（三款各100件)，一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂.
(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率;
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月(X=1,2,…,12)摇到并获得了模型，求X的数学期望.
22.(本小题12分）已知R，函数
(⑴)当f(x)与g(x)都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a的值;
(2)若f(x1)= f(x2)=2，(x1 ≠x2)，求证: