人教A版高二数学选择性必修第一册2.3直线的交点及距离公式(含详细解析)

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人教A版高二数学选择性必修第一册2.3直线的交点及距离公式(原卷版)
考点一 直线的交点
【例1】（2019·江苏昆山.高一期中）如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【一隅三反】
1．（2019·哈尔滨市第一中学校高一期末）直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·内蒙古集宁一中高一期中）直线和的交点在y轴上，则k的值为（ ）
A．-24 B．6 C． D．-6
3．（2020·元氏县第一中学）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
考点二 三种距离问题
【例2】（1）（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点，的距离是17 ，则a的值是（ ）
A．8 B．6 C．±8 D．±6
（2）（2018·福建高一期末）原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·湖南张家界.高一期末）直线与直线平行，则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·全国高三课时练习（理））若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=( )
A．0 B．1 C．-2 D．-1
2．（2020·景东彝族自治县第一中学高二期中）到直线的距离等于的直线方程为(　　)
A．B．
C．或D．或
3．（2020·全国高三课时练习（理））过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
考点三 对称问题
【例3】（1）（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）（2020·河北高一期末）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【一隅三反】
1．（2020·开鲁县第一中学高一期末（理））已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·营口市第二高级中学高二月考）点关于直线对称的点 的坐标是
A． B． C． D．
3．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
人教A版高二数学选择性必修第一册2.3直线的交点及距离公式(解析版)
考点一 直线的交点
【例1】（2019·江苏昆山.高一期中）如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由，解得，所以，．故选：D．
【一隅三反】
1．（2019·哈尔滨市第一中学校高一期末）直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】联立方程，解得：
所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，
则直线的方程为：，即.故选：B
2．（2020·内蒙古集宁一中高一期中）直线和的交点在y轴上，则k的值为（ ）
A．-24 B．6 C． D．-6
【答案】C
【解析】因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，
所以，消去，可得．故选：．
3．（2020·元氏县第一中学）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设直线方程为，即
令，得，令，得.由，得或.
所以直线方程为或.故选：C.
考点二 三种距离问题
【例2】（1）（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点，的距离是17 ，则a的值是（ ）
A．8 B．6 C．±8 D．±6
（2）（2018·福建高一期末）原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·湖南张家界.高一期末）直线与直线平行，则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D（3）B
【解析】（1），即，.故选：C
（2）由点到直线距离可知所求距离.故选：.
（3）直线，即，与直线平行，
，根据两条平行直线之间的距离公式
得.故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·全国高三课时练习（理））若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=( )
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】C
【解析】由，得，解得，即直线，
两直线之间的距离为，解得 (舍去)，所以故答案选C.
2．（2020·景东彝族自治县第一中学高二期中）到直线的距离等于的直线方程为(　　)
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为，，解得或，
故所求直线方程为或.故选：D.
3．（2020·全国高三课时练习（理））过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.
【答案】或
【解析】由，得，所以，直线与的交点为.
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，
由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.
综上所述，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
考点三 对称问题
【例3】（1）（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）（2020·河北高一期末）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）由，解得，故选A．
（2）设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．
【一隅三反】
1．（2020·开鲁县第一中学高一期末（理））已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,则，选D.
2．（2019·营口市第二高级中学高二月考）点关于直线对称的点 的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点，则线段的中点为，
又点在直线上，
所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.故选C.
3．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，直线与直线的交点为，直线的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程是，即．选C.
4．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.
【解析】（1）由解得交点P(2,0)．
在l1上取点M(0，－2)，
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则,
解得，所以，
又直线l2过点P(2,0)，
所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.
（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，
所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，
所以,所以m＝－4，
即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
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