人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 练习(含答案)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 练习(含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 587.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-21 21:17:42 | ||
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文档简介
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算导学案
一、单选题
1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
3．已知非零向量，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则等于（ ）
A． B．97 C． D．61
5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
6．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
7．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)已知向量，，，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）已知空间四边形的四条边和对角线长都为，且，，分别是，，的中点，则下列四个数量积中结果为的式子的有（ ）
A． B．
C． D．
11．设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有( )
A． a2 B． a2
C． a2 D． a2
12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
三、填空题
13．化简：________.
14．已知是空间两个向量，若，则________．
15．已知向量与满足，且与的夹角为，则＝________.
16．已知空间向量，的夹角为120°，且，则的最小值为________.
四、解答题
17．已知长方体中，点Q是BC上的动点，点P是上的动点，，．
（1）求；
（2）求的取值范围．
18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
19．如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
20．已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】对于A，因为，所以与的夹角为，故A正确；
对于B，因为，所以与的夹角为，故B不正确；
对于C，因为，所以与的夹角为，故C不正确；
对于D，因为，所以与的夹角为，故D不正确.
故选：A
2．D
【解析】,
故选：D.
3．C
【解析】∵，∴．
故选：C．
4．C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
5．A
【解析】由题意，正四面体ABCD如图所示，
因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，
故
(a2cos60°+a2cos60°)
a2．
故选：A．
6．B
【解析】由题意可得，22a a cos（π﹣∠BAD）＝2a2 （﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．
∵2 2 a a cos60°＝a2，故B满足条件．
∵2 2 a cosπ＝﹣a2，故排除C．
∵2 2 a cos60°，故排除D，
故选：B
7．A
【解析】∵cos，cos，，
∴，
∵||＝||，
∴ ，
∴ （）＝0，
∴．
∴sin，sin1．
故选：A
8．D
【解析】依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
9．BCD
【解析】易得=-3+0+3=0.
，所以A选项错误；
=，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
即，所以D选项正确.
故选：BCD.
10．AC
【解析】如图所示，
；
；
；
．
故结果为的式子有AC．
故选：AC．
11．BC
【解析】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图:
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，
对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则 a2，A错误；
对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则 a2，B正确；
对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则 a2，C正确；
对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则 a2，D错误；
故选：BC．
12．AB
【解析】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：
由向量的加法得到：，
∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又∵A1BD1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴，
故0，故D错误．
故选：AB．
13．
【解析】
故答案为：
14．
【解析】将化为，
得，即，解得，
所以.
故答案为：
15．
【解析】，故，
故答案为：.
16．
【解析】因为，所以，
而，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）
因为，所以，
即，
因此；
（2）
因为,
所以
因此
设， ，则，由于，
所以，故的取值范围为.
18．证明见解析
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
19．（1），；（2）1
【解析】（1）在正方体中，
因为，
所以，
因为，
所以；
（2）连接，
因为平面，
所以，
又因为，
所以在向量方向上的投影为，
因为，
所以向量在向量方向上的投影的数量为1
20．
一、单选题
1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
3．已知非零向量，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则等于（ ）
A． B．97 C． D．61
5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
6．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
7．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)已知向量，，，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）已知空间四边形的四条边和对角线长都为，且，，分别是，，的中点，则下列四个数量积中结果为的式子的有（ ）
A． B．
C． D．
11．设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有( )
A． a2 B． a2
C． a2 D． a2
12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
三、填空题
13．化简：________.
14．已知是空间两个向量，若，则________．
15．已知向量与满足，且与的夹角为，则＝________.
16．已知空间向量，的夹角为120°，且，则的最小值为________.
四、解答题
17．已知长方体中，点Q是BC上的动点，点P是上的动点，，．
（1）求；
（2）求的取值范围．
18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
19．如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
20．已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】对于A，因为，所以与的夹角为，故A正确；
对于B，因为，所以与的夹角为，故B不正确；
对于C，因为，所以与的夹角为，故C不正确；
对于D，因为，所以与的夹角为，故D不正确.
故选：A
2．D
【解析】,
故选：D.
3．C
【解析】∵，∴．
故选：C．
4．C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
5．A
【解析】由题意，正四面体ABCD如图所示，
因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，
故
(a2cos60°+a2cos60°)
a2．
故选：A．
6．B
【解析】由题意可得，22a a cos（π﹣∠BAD）＝2a2 （﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．
∵2 2 a a cos60°＝a2，故B满足条件．
∵2 2 a cosπ＝﹣a2，故排除C．
∵2 2 a cos60°，故排除D，
故选：B
7．A
【解析】∵cos，cos，，
∴，
∵||＝||，
∴ ，
∴ （）＝0，
∴．
∴sin，sin1．
故选：A
8．D
【解析】依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
9．BCD
【解析】易得=-3+0+3=0.
，所以A选项错误；
=，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
即，所以D选项正确.
故选：BCD.
10．AC
【解析】如图所示，
；
；
；
．
故结果为的式子有AC．
故选：AC．
11．BC
【解析】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图:
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，
对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则 a2，A错误；
对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则 a2，B正确；
对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则 a2，C正确；
对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则 a2，D错误；
故选：BC．
12．AB
【解析】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：
由向量的加法得到：，
∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又∵A1BD1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴，
故0，故D错误．
故选：AB．
13．
【解析】
故答案为：
14．
【解析】将化为，
得，即，解得，
所以.
故答案为：
15．
【解析】，故，
故答案为：.
16．
【解析】因为，所以，
而，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）
因为，所以，
即，
因此；
（2）
因为,
所以
因此
设， ，则，由于，
所以，故的取值范围为.
18．证明见解析
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
19．（1），；（2）1
【解析】（1）在正方体中，
因为，
所以，
因为，
所以；
（2）连接，
因为平面，
所以，
又因为，
所以在向量方向上的投影为，
因为，
所以向量在向量方向上的投影的数量为1
20．