人教版高中数学选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 单元质量检测题（含解析）

人教版高中数学选择性必修第一册
第三章圆锥曲线单元质量检测题
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
2.椭圆+=1的一个焦点为(0,1),则m的值为(　　)
A.1 B.
C.-2或1 D.以上均不对
3.(2013·浏阳高二检测)如图,共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为e1,e2,e3,e4,其大小关系为(　　)
A.e1C.e24.(2012·福建高考)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B.4 C.3 D.5
5.(2013·大理高二检测)若直线l过点(3,0)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1 B.x2+y2=16
C.y2-x2=8 D.x2+y2=8
7.抛物线y=x2的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.射线(不含端点)
8.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(　　)
A. B.2 C.4 D.8
9. (2013·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,则p=(　　)
A.1 B. C.2 D.3
10.已知抛物线y2=4px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有一个相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.+1 D.+1
11.(2012·山东高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
12.椭圆+=1(a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2012·天津高考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=　　　　,b=　　　　.
14.(2013·南昌高二检测)若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为　　　　　　　　.
15.(2013·辽宁高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=　　　　　.
16.(2013·安阳高二检测)直线y=x+3与曲线-=1交点的个数为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知椭圆的顶点与双曲线-=1的焦点重合,它们的离心率之和为,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的方程.
18.(12分)(2013·汝阳高二检测)k代表实数,讨论方程kx2+2y2-8=0所表示的曲线.
19.(12分)(2012·北京高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
20.(12分)(2013·嘉峪关高二检测)设椭圆E:+=1(a>b>0)过M(2,),
N(,1)两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程.
(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x2+y2=相切,并且与椭圆E相交于A,B两点,求证:⊥.
21.(12分)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1
(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程.
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
22. (12分)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P, 设=t,求实数t的值.
答案解析
1.【解析】选D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,
∴P到另一焦点的距离是10-3=7.
2.【解析】选C.∵椭圆一个焦点是(0,1),
∴3-m-m2=1,
即m2+m-2=0,解得m=1或m=-2.
∵3-m>m2>0,∴m=1或m=-2均符合题意.
【误区警示】解答本题容易习惯性地认为m>0而把m=-2舍去.应该代入验证,确保不漏解.
3.【解析】选A.由椭圆、双曲线的离心率的定义知,e3,e4∈(1,+∞),e1,e2∈(0,1),再根据椭圆的扁平程度知e2>e1,而双曲线的开口越大离心率就越大,∴e3>e4,故选A.
4.【解题指南】利用抛物线的标准形式求出焦点.对于双曲线的标准方程,只需注意到c最大,同时也满足一个平方关系式即可.同时要熟知渐近线的方程,焦点在x轴上时,方程是y=±x.
【解析】选A.y2=12x的焦点为(3,0),由题意知,4+b2=9,b2=5,取双曲线的一条渐近线为y=x,即x-2y=0,所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为d==.
【变式备选】(2012·山东高考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(　　)
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
【解题指南】利用离心率求出渐近线方程,而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等,再利用点到直线的距离公式求出p.
【解析】选D.因为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e==2,
所以c=2a,所以c2=a2+b2=(2a)2,b=a,双曲线的渐近线为y=±x,即y=±x.
抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点(0,)到双曲线C1的渐近线y=x的距离为
d==2,所以p=8,所以抛物线C2的方程为x2=16y.
5.【解析】选C.因点(3,0)恰是双曲线4x2-9y2=36的右顶点,所以过(3,0)与双曲线只有一个公共点的直线有3条,其中一条是切线,另外两条是平行于渐近线的直线.
【举一反三】若把本题中点(3,0)改为(3,2),其他条件不变,这样的直线有
(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】选B.因为点(3,2)在双曲线的一条渐近线上,且右顶点为(3,0),所以过该点与双曲线只有一个公共点的直线只有两条,一条为x=3,另一条为y=-x.
6.【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.
【解析】选B.设P(x,y),∴=(-2-x,-y),
=(2-x,-y).由·=12得
x2-4+y2=12即x2+y2=16.
【举一反三】本题中,若把·=12改为||=2||,点P的轨迹如何
【解析】令P(x,y),则=2
整理得(x-)2+y2=.
∴点P的轨迹是以(,0)为圆心,以为半径的圆.
7.【解析】选D.设弦的中点为(x,y)且两端点设为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2x,
由得y1-y2=(x1+x2)(x1-x2),
∴k==x1+x2=2x=2,即x=1(在抛物线内的部分)
【一题多解】设直线的方程为y=2x+b且弦的中点为(x,y),
由得x2-2x-b=0,∴x1+x2=2.
即x==1,故轨迹为直线x=1在抛物线内的部分.
8.【解题指南】可先设出等轴双曲线C的方程,然后利用|AB|的长及抛物线的准线方程,得到A,B两点的坐标,代入所设的曲线C方程,可求得曲线C的方程,最后求得实轴长.
【解析】选C.设双曲线的方程为-=1,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,故可得A(-4,2),B(-4,-2),将点A坐标代入双曲线方程得a2=4,故a=2,实轴长为4.
9.【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为A(-,),
B(-,-),故△AOB的面积为=.又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2.
10.【解题指南】利用点A在两条曲线上,找出A的横纵坐标之间的关系建立等式求出离心率.
【解析】选D.由条件可知,点A的坐标可以为(p,2p),
又A在双曲线上,坐标又可表示为(c,).
故=2c,整理得e2-2e-1=0,
解得e=+1.
【变式备选】(2012·成都高二检测)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2,若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于
(　　)
A.或 B.或2
C.或2 D.或
【解题指南】根据|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,设出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后按曲线Γ为椭圆或者双曲线,利用定义求离心率.
【解析】选A.∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,
其中|F1F2|=2c=3k,∴c=.若圆锥曲线Γ为椭圆,
则|PF1|+|PF2|=2a=6k,
∴a=3k,∴e===;
若圆锥曲线Γ为双曲线,则|PF1|-|PF2|=2a=2k,
∴a=k,∴e===,∴e的取值为或.
11.【解题指南】利用椭圆的对称性及双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x找出双曲线x2-y2=1的渐近线y=±x与椭圆C的四个交点的特点,然后加上条件离心率为,即可求得椭圆C的方程.
【解析】选D.由双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,以及椭圆的对称性可知以渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,因为四边形面积为16,所以边长为4,所以椭圆过点(2,2).
所以解得
所以椭圆C的方程为+=1.
12.【解题指南】利用基本不等式求出S的最值,然后通过解不等式求得e的范围.
【解析】选B.设椭圆上一点P坐标为P(x0,y0),则以P为一个顶点的内接矩形面积S=4|x0y0|,
又∵+=1,
∴S=4|x0||y0|=4ab·||||≤4ab·=2ab,由3b2≤2ab≤4b2,
知≤≤,∴e=∈[,].
13.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.
【解析】由题意可得解得a=1,b=2.
答案:1　2
14.【解析】双曲线x2-y2=1的焦点为(-,0),(,0),
∴由条件知a2-b2=2　①,又∵抛物线的焦点为(2,0),
∴由条件知a=2,∴a2=4,b2=2,
故椭圆方程为+=1.
答案:+=1
15.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-
2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,
解得|BF|=8.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.
设椭圆的右焦点为F',连接AF',BF',根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'为矩形,
则其对角线|FF'|=|AB|=10,且|BF|=|AF'|=8,即焦距2c=10.
又据椭圆的定义,得|AF|+|AF'|=2a,
所以2a=|AF|+|AF'|=6+8=14.
故离心率e===.
答案:
【拓展提升】抛物线定义的应用
“给焦点,看准线;给准线,看焦点”,充分显示了抛物线中的解题规律,即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.
①焦半径公式:|PF|=x0+(以y2=2px(p>0)为例);
②过焦点弦长(以y2=2px(p>0)为例):|AB|=xA+xB+p.
16.【解题指南】采用数形结合法.
【解析】当x≥0时,方程-=1化为-=1;当x<0时,-=1化为+=1,
∴曲线-=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为3.
答案:3
【拓展提升】直线与圆锥曲线位置的判断
判断直线与圆锥曲线间的位置关系,一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时,用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系;当直线的斜率存在且不为0时,可联立方程用判别式确定方程根的个数,进而确定直线与圆锥曲线间的关系,做题时要特别注意下面几点:
(1)若直线过椭圆内一点,则直线与椭圆一定相交.
(2)直线与双曲线相交有两种情形,一是两交点在双曲线的一支上,二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形,一是直线与双曲线相切(对应判别式为0),二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).
(3)直线与抛物线只有一个公共点,也有两种情形,一是直线与抛物线相交,(此时直线与对称轴平行或重合),二是直线与抛物线相切(对应判别式为0).
17.【解析】设双曲线-=1的焦距为2c1,离心率为e1,
则有:=4+12=16,c1=4.
∴双曲线的焦点为F1(0,-4),F2(0,4)且e1==2.
∵椭圆的焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),其离心率为e,焦距为2c,
∴e=-2=,即=　①
又F1(0,-4),F2(0,4)为其顶点,∴b=c1=4　②
又∵a2=b2+c2　③
由①②③可得a2=25,b2=16,
∴所求椭圆方程为+=1.
18.【解析】当k<0时,曲线-=1为焦点在y轴上的双曲线;
当k=0时,曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y=2或y=-2;
当0当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆;
当k>2时,曲线+=1为焦点在y轴上的椭圆.
19.【解题指南】第(1)问,利用椭圆中a,b,c与e的关系即可求出椭圆方程;第(2)问,△AMN的面积等于x轴上下两个小三角形面积之和.
【解析】(1)a=2,e==,c=,b=,
椭圆C:+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由
消y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
∵直线y=k(x-1)过椭圆内点(1,0),∴Δ>0恒成立,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
S△AMN=×1×|y1-y2|=×|kx1-kx2|
===.
即7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
【变式备选】(2012·安徽高考)如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
【解题指南】(1)由∠F1AF2=60° a=2c e==.
(2)根据椭圆的定义设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,由余弦定理求出m,结合三角形的面积公式即可求出a,b的值.
【解析】(1)∠F1AF2=60° a=2c e==.
(2)设|BF2|=m(m>0),则|BF1|=2a-m,
在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|×|F1F2|×cos120°,即(2a-m)2=
m2+a2+am,
∴m=a.
△AF1B的面积S=×|F2F1|×|AB|×sin60°
×a×(a+a)×=40 a=10,c=5,
b=5.
20.【解析】(1)因为椭圆E:+=1(a>b>0)过M(2,),N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得:=,k=.
联立化简得11x2+16x+24=0,
有x1+x2=-,x1x2=.
∵x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=6x1x2+4(x1+x2)+16=0,∴⊥.
21.【解题指南】(1)根据题意可知c=1,b=1,从而可解出a的值,进而得椭圆C1的方程.
(2)由题意得:直线的斜率一定存在且不为0,设出直线方程,分别与椭圆方程和抛物线方程联立,根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0,可求得直线l的方程.
【解析】(1)由题意得c=1,b=1,a==,
椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)由题意得:直线的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m,
因为椭圆C1的方程为+y2=1,
∴消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆C1相切,
∴Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,
即2k2-m2+1=0　 ①
直线l与抛物线C2:y2=4x相切,
则消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,
即km=1　 ②
由①②解得k=,m=或k=-,m=-.
所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.
22.【解题指南】(1)可由椭圆的定义及简单的几何性质,易知椭圆的标准方程. (2)由于A,B两点任意,因此需要考虑直线AB的斜率是否存在,斜率不存在时,设出A,B两点坐标,由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值;斜率存在时,可设直线的方程,然后与椭圆联立,根据条件得出t的关系式.
【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得a=,b=1.
因此,椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),
由得=或,
由=t=t(x0,0)=(tx0,0)得P(tx0,0),
又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2==4或,所以t=2或(舍去负值).
当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0　 (*)
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=,xAxB=.
由三角形面积公式知,|m||xA-xB|=,
所以,|xA-xB|= (xA+xB)2-4xAxB=,即-=,整理得,1+2k2-=m2　 ①
又xE==-,yE=kxE+m=,所以,=t=,
即P,
将其代入椭圆方程得+=1,
整理可得,1+2k2=m2t2　 ②
联立①②,消去1+2k2,约分掉m2,移项整理得,3t4-16t2+16=0,
解之可得,t2=4或,均能使(*)式的Δ>0,
所以t=2或(舍去负值).
综上,t=2或.
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