数学北师大版九年级上册 《1.1 菱形的性质与判定》教案（第2课时）

第一章 特殊的平行四边形
1.1 菱形的判定和面积
第2课时
一、教学目标
1．经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。
2．能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。
3．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
二、教学重点及难点
重点：探索证明菱形的两个判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．
难点：明确推理证明的条件和结论能否用数学语言正确表达．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《菱形的性质》动画,《菱形的判定》微课
五、教学过程
【复习引入】
上一节课，我们学习了菱形的概念和菱形的性质，你能说出菱形的概念和菱形的性质定理吗？
师生活动：教师出示问题，学生回顾上一节课所学内容．
答：菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质定理：
菱形的四条边相等．
菱形的两条对角线互相垂直．
设计意图：通过复习，可以加深对菱形的概念和菱形性质的理解，也是探究菱形判定方法的基础．
【探究新知】
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导．
教师引导：我们学习平行四边形的判定时，是如何猜想并进行证明的呢？
学生回答：……
教师引导：与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
师生活动：教师出示问题，学生猜想．
学生猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
教师追问：如何证明你的猜想呢？
师生活动：教师追问，引导学生写出已知、求证并完成证明过程．
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA=BC．
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）．
思考 我们知道，菱形的四条边都相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
师生活动：教师出示问题，学生猜想．
学生猜想：四条边相等的四边形是菱形．
教师追问：如何证明你的猜想呢？
师生活动：教师追问，引导学生写出已知、求证并完成证明过程．
答：已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）．
设计意图：通过此环节让学生对菱形的性质和判定的关系有了一定的认识．
总结 菱形的判定方法：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
几何语言：
∵□ABCD，AC⊥BD（已知），
∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．
几何语言：
∵AB=BC=CD=DA（已知），
∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．
设计意图：通过类比平行四边形判定定理的探究过程，从菱形性质定理的逆命题出发，提出猜想，发现结论，并从定义出发证明结论，得到菱形的判定方法．
议一议 如图，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD就是菱形．
你认为这种做法正确吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答．
答：这种做法正确；因为分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则AB=BC=CD=DA．所以四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
做一做：先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。
你能说说小颖这样做的道理吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答．
答：小颖的方法是利用轴对称制作了一个四边相等的四边形，因此一定是菱形．
设计意图：巩固学生对菱形判定定理的理解．
【典例精析】
例 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1．求证：□ABCD是菱形．
师生活动：教师分析、引导学生完成解题过程．
分析：要证□ABCD是菱形，可以选择的判定方法有三种：
方法1：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；
方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（判定定理1）；
方法3：四条边相等的四边形是菱形（判定定理2）．
小组合作交流：你用的是哪一种方法？你认为哪一种方法最好？
证明：在△AOB中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2．
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD．
∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
设计意图：初步应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行推理证明．
【课堂练习】
1．下列命题中正确的是（ ）．
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．三条边相等的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形
参考答案C
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
参考答案C
3．边长为5 cm的平行四边形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个平行四边形为__________形，其面积为___________．
参考答案 菱；24 cm2
4．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于点E，交AC于点F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．
参考答案
解：四边形AEDF是菱形；理由如下：
∵EF垂直平分AD，
∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴∠ODF=∠OAF．
又∵AD平分∠BAC，即∠OAF=∠OAE，
∴∠ODF=∠OAE．∴AE∥DF．
同理可得DE∥AF．
∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO=OF．
又∵□AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分，
∴□AEDF是菱形．
5．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．
求证：四边形AECF是菱形．
师生活动：老师先找几名学生板演，然后分析出现的问题，最后师生共同写出规范的解题过程．
证明：在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）．
∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO．
在△AOE和△COF中，∵∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
设计意图：学生通过本环节的学习，进一步理解了菱形的判定定理，对前面所学知识进行了更加深入地认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生的学习兴趣．
六、课堂小结
本节课我们主要学习了菱形的判定方法和菱形面积的一种特殊计算方法，下面我们一起回顾一下．
1．菱形的判定方法：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容，学生尝试归纳、总结．
设计意图：培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.1 菱形的性质与判定（2）
1．菱形的判定方法：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．