数学北师大版九年级上册 第四章7《相似三角形的性质》教案第1课时

第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第1课时
一、教学目标
1．经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验．
2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
二、教学重点及难点
重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题．
难点：相似三角形的性质的应用．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课.
五、教学过程
【复习引入】
我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？
师生活动：学生分别从边和角两个方面给出“对应边成比例，对应角相等”．教师板书：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
教师进一步提出：三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．
设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的相关性质是为下一步探究在知识上作铺垫．
【探究新知】
练一练 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱．
（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
（2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成解题过程．
解：（1）△ACD与△A'C'D'相似；
理由：∵，∴△ABC∽△A'B'C'．∴∠A=∠C'A'D'．
又∵CD⊥AB，∴C'D'⊥A'B'．∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
∴△ACD∽△A'C'D'，且相似比为1∶2．
（2）∵△ACD∽△A'C'D'，∴，即．∴C'D'=3．
答：模型房的房梁立柱高3 cm．
设计意图：从具体、特殊的相似三角形入手，研究相似三角形对应高的比与相似比的关系．
想一想 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、猜想并完成证明过程．
解：（1）由上面的“练一练”可得它们对应高的比是k．猜想：相似三角形对应高的比等于相似比．
证明：如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．
∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'．又∵△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴．
所以相似三角形对应高的比等于相似比．
（2）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'．
∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，
∴∠BAD=∠BAC=∠B'A'C'=∠B'A'D'．
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴．
所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
（3）如图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'．
∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，．
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴．
所以相似三角形对应中线的比等于相似比．
归纳 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
设计意图：把问题由具体推广到一般，由研究三角形的高推广到研究三角形的角平分线、中线，从而得出结论．
议一议 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在BC边上，点D'，E'在B'C'边上．
（1）若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则等于多少？
（2）若BE=BC，B'E'=B'C'，则等于多少？
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出结论．
解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
又∵∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'．
∴△ABD∽△A'B'D'．∴．
（2）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，．又∵BE=BC，B'E'=B'C'，
∴．∴△ABE∽△A'B'E'．∴．
（3）答案不唯一，例如：将问题（1）中的换成，，结论还成立吗？若换成(k≠0)呢？说说你的理由；将问题（2）中的也进行这样的变化，结论还成立吗？
结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．
设计意图：将上述相似三角形的性质定理推广到更一般的情况得出结论．
【典例精析】
例 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．
当SR=BC时，求DE的长．如果SR=BC呢？
师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC．∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C．
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），即．
当SR=BC时，得．解得DE=h．
当SR=BC时，得．解得DE=h．
【课堂练习】
1．若△ABC与△A1B1C1的对应角平分线的比为7︰5，△ABC的最短边长为20 cm，则△A1B1C1的最短边长为_________cm．
2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm．他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
3．如图，在△ABC中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，求AD·BC的值．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD．已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．
参考答案
1．．2．蜡烛应放在距离纸筒60 cm的地方．3．10．4．DE=．
师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．
设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
六、课堂小结
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
4.7 相似三角形的性质（1）
1．相似三角形的性质