北师大版数学九年级上册 2.1 认识一元二次方程 第1课时 教案

第二章 一元二次方程
1　认识一元二次方程
第1课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】
　　了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程.
【过程与方法】
经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
【情感态度与价值观】
在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.
教学重难点
【重点】　一元二次方程的概念和一般形式.
【难点】　正确理解和掌握一般形式中的“a≠0”,“项”和“系数”.
教学准备
【教师准备】　预设学生学习过程中存在的问题.
【学生准备】　复习有关方程的知识.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗
如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程
导入二:
观察下面等式:
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数 根据题意,你能列出怎样的方程
导入三:
如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗 如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程
教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答.
[设计意图]　通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.
新知构建
一、一元二次方程的概念
思路一
[过渡语]　什么样的方程是一元二次方程呢
由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:
(8-2x)(5-2x)＝18;
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2;
(x＋6)2＋72＝102.
这三个方程有什么共同特点
归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.
[知识拓展]　符合一元二次方程即符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.
我们把ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.
[设计意图]　在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力.
思路二
下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点
(x-4)2＋(x-2)2＝x2;
(30-2x)(20-2x)＝200.
先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.
教师总结:①相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.②不同点:一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.
问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗 带着这个问题,请大家填写下面的空格:
像这样,等号两边都是　　　　式,只含有　　　　个未知数(一元),并且未知数的最高次数是　　　　(二次)的方程叫做一元二次方程.
强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.
【师生活动】　现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.
(1)x2＋2x-4＝0;(2)3x3＋4x＝9;(3)3y2-5x＝7;(4)＝1;(5)y2-3y＝0;(6)＝1.
【师】　大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗 如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程
【生】　(4)不是整式方程.
【师】　哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的
【生】　(3)不是一元的.
【师】　嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程
【生】　(2)不是二次方程.
【师】　很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗
【生】　具备.
【师】　嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.
教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.
[设计意图]　通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡,以达到质的飞跃.
二、例题讲解
　[过渡语]　刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解的怎么样.
　判断下列方程是否是一元二次方程.
(1)2x-x2-＝0;
(2)2x2-x＋5＝0;
(3)ax2＋bx＋c＝0;
(4)4x2-＋7＝0.
解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.
　[过渡语]　下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项.
　把方程3x(x-1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:去括号,得3x2-3x＝2x＋4＋8,
移项,合并同类项,得3x2-5x-12＝0,
二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.
[设计意图]　通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点和难点.
[知识拓展]　对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时,才叫做一元二次方程,当a＝0,b≠0时,它是一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.
课堂小结
1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
检测反馈
1.下列6个方程:(1)3x＋2＝x2;(2)＋y＝5;(3)y2＋2x-3＝0;(4)mnx2＋(m＋n)x＋1＝0;(5)x2-2x＋4＝0;(6)＋y＋3＝0.
其中是一元二次方程的是　　　　.(填序号)
解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).
2.将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为　　　　　　.
解析:一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2＝0.故填3x2-5x-2＝0.
3.一元二次方程2x2＋4x-1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　　　　.
解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2＋4＋(-1)＝5.故填5.
4.下列方程中,是一元二次方程的是 (　　)
A.x2＋5x＝2 B.x3＋7x-2＝0
C.x2＋＝3 D.7x-＝2
解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.
板书设计
第1课时
1.一元二次方程的概念
2.例题讲解
例1
例2
布置作业
【必做题】
教材第32页随堂练习.
【选做题】
教材第32页习题2.1的3题.