21.1 一元二次方程课时同步练习（含答案）

第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
名师点金
1.判断一元二次方程的方法：先看方程等号两边是不是整式，若是，再看是否同时满足：
(1)只含一个未知数；(2)化简后未知数的最高次数是2.若满足就是，否则就不是.
2.一元二次方程的一般形式中，各项的系数及常数项都包括它前面的符号.要注意二次项和二次项系数是两个不同的概念.
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认知基础练习
知识点1 一元二次方程的定义
1.一元二次方程的三个特征：
(1)等号两边都是整式；
(2)只含 个未知数；
(3)化简后未知数的最高次数是 .
2. 下列方程中，关于 x的一元二次方程是( )
A.3(x+1) =2(x+1)1
C. ax +bx+c=0 D. x(x+2)=x -1
3.已知关于x的方程(
(1)当m为何值时，原方程是一元一次方程
(2)当m为何值时，原方程是一元二次方程
知识点2 一元二次方程的一般形式
4. 2-x)=3-x 化成一般形式 ax +bx+ c=0(a≠0),其中a,b,c分别为( )
A.2,3,-1 B.2,-3,-1
C.2,-3,1 D.2,3,1
5. 关于x的一元二次方程 (m-3)x +m x=9x+5 化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A.0 B.±3 C.3 D. -3
知识点3 一元二次方程的解
6. 方程x +4x+3=0 的两个根为( )
A. x =1,x =3 B. x = -1,x =3
C. x =1,x = -3 D. x = -1,x = -3
若x=1是方程x -2x+a=0 的根,则a= .
知识点4 用一元二次方程刻画实际中的数量关系
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210 文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A.3(x-1)x=6 210 B.3(x-1) =6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3x=6 210
9. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.200(1+x) =242 B.200(1-x) =242
C.200(1+2x) =242 D.200(1-2x) =242
易错点 忽视二次项系数不为零而致错
10. 已知x=1 是一元二次方程((m-2)x +4x-m =0 的一个根，则m 的值为( )
A. -1或2 B. -1 C.2 D.0
素养提升练习
利用一元二次方程的一般形式求方程
11.设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，且a：b：c=3：4:5,a+b+c=36,写出该一元二次方程.
利用一元二次方程的根的定义求式子的值
12. 若a是一元二次方程 x +2x-3=0的一个根，则 2a +4a 的值是 .
13. 已知m为方程x +3x-2 022=0的根，那么m +2m -2025m+2022 的值为( )
A.-2022 B.0 C.2022 D.4044
利用一元二次方程建立实际问题模型
14.(1)如图,小明同学用一张长11 cm，宽7cm的长方形纸板制作一个底面积为21 cm 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为 .
(2)将(1)中所列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项、常数项.
利用新定义解与一元二次方程根相关的应用
15.新考法材料阅读法阅读下列材料：
问题：已知方程 x +x-1=0, 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以
把 代入已知方程，得
化简，得y +2y-4=0,
故所求方程为y +2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用材料中提供的“换根法”求方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程 x +2x-1=0, 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 .
(2)已知关于x的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
答案
21.1一元二次方程
1.(2)一 (3)2
2. A
3.【解】(1)由题意,得当m=0时,原方程为2x+1=0，是一元一次方程；
(2)由题意,得|m|=2,且m+2≠0,解得m=2.故当m=2时，原方程是一元二次方程.
4. B
5. D
6. D
7.1
8.A
9.A
10. B
11. 【解】设a=3k,b=4k,c=5k,则 3k+4k+5k=12k=36,解得k=3.
故α=9,b=12,c=15.
则方程为9x +12x+15=0.
12.6
13. B
∴原式=m +3m -m -3m-2022m+2022
=m(m +3m)-(m +3m)-2022m+2022
=2022m-2022-2 022m+2022
=0.
14.【解】(1)(11-2x)(7-2x)=21
(2)将(11-2x)(7-2x)=21 整理得x -9x+14=0.它的二次项系数为1，一次项为-9x，常数项为14.
15.【解】(1)y -2y-1=0
(2)设所求方程的根为t，则 所以
把 代入方程ax +bx+c=0,
得
去分母得a+bt+ct =0.
若c=0,则有ax +bx=0, 即方程 ax +bx+c=0有一个根为0，不合题意，则c≠0.
故所求方程为ct +bt+a=0(c≠0).