数学 北师大版 九年级上册 1.3正方形的性质与判定同步测试（含答案）

《正方形的性质与判定》同步测试
1. 下列命题中,是真命题的是　(　　)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是　(　　)
A.BC=AC　　　　 B.CF⊥BF
C.BD=DF D.AC=BF
3. 已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是　(　　)
A.梯形　　　 B.矩形　　　 C.菱形　　 　D.正方形
4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,要使四边形DECF是正方形,只需增加一个条件为什么？　
5. 如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1,B1,C1,D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2,B2,C2,D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,…依此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为多少？　　　　　
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。
7. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB交AB于D，DF//BC,DE//AC。
求证：四边形DECF为正方形。
8. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH。
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；
如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状是 ；（直接写出结果）
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由。
答案与解析
1. C
2. D
3. 　B
4. AC=BC(答案不唯一)
5.
6. （1）先证明∠DAE=90°，再说明∠ADC=90°，∠AEC=90°，
从而证明四边形ADCE为矩形
（2）当△ABC满足∠ACB=45°四边形ADCE是一个正方形
当△ABC满足∠ACB=45°，AB＝AC，AD⊥BC，从而AD＝DC，又因为ADCE为矩形从而证明四边形ADCE为正方形。
7. 先证明∠DFC=90°，∠DEC=90°，∠ACB=90°从而证明四边形DECF为矩形，又因为
CD平分∠ACB交AB于D，从而证明∠DCF= 45° 从而证明DF＝FC从而证明四边形DECF为正方形。
8. （1）正方形。
（2）①∠HAE=360°—45°—45°—(180°—)=90°+
②先证明HD＝HA,DG=AE，∠HDG=∠HAE从而证明△HDG与HAE全等。
从而证明HE=HG
③ 四边形EFGH是正方形。因为△HDG与HAE全等。从而证明∠DHG=∠AHE
∠EHG =∠AHD=90°，同理HE=EF=HG=FG，∠EHG =∠HGF=∠G FE=∠FEH=90°
从而证明四边形EFGH为正方形。