2022-2023学年四川省泸州市合江县马街中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省泸州市合江县马街中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
3. 是成立的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 圆和圆的位置关系是( )
A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离
5. 交通管理部门为了解机动车驾驶员简称驾驶员对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为，，，，则这四个社区驾驶员的总人数为( )
A. B. C. D.
6. 已知随机变话服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
7. 已知变量，之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线的方程为则下列说法正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8. 已知时，函数取得极大值，则( )
A. B. C. D.
9. 年世界杯参赛球队共支，现分成个小组进行单循环赛，决出强各组的前名小组出线，这个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出强，再决出强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )
A. B. C. D.
10. 已知与是互斥事件，且，，则( )
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则( )
A. B. C. D.
12. 设，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式的中间一项为______．
14. 函数的单调增区间是______ ．
15. 已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则 ______ ．
16. 已知函数，有下列命题：
函数的图象在点处的切线为；
函数有个零点；
函数在处取得极大值；
函数的图象关于点对称．
上述命题中，正确命题的序号是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围．
18. 本小题分
在某次考试中，从甲乙两个班各抽取名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于分的为及格．
用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；
求从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；
从甲班人中抽取一人，乙班人中抽取二人，三人中及格人数记为，求的分布列和期望．
19. 本小题分
如图，在直三棱柱中，．
若，求证：平面；
若，是棱上的一动点试确定点的位置，使点到平面的距离等于．
20. 本小题分
已知椭圆：的焦点分别为，，椭圆的离心率为，经过点经过，作平行直线，，交椭圆于两点和两点，．
求的方程；
求四边形面积的最大值．
21. 本小题分
已知函数的极小值为．
求的单调区间；
证明：其中为自然对数的底数
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线方程为：为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．
求曲线的直角坐标方程；
已知点、点分别是曲线和上的动点，求的最小值以及取得最小值时点坐标．
23. 本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若时，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由可得，即虚部为．
故选：．
利用复数的四则运算及定义计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数，
则，
，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：解得：，
，
故是成立的必要不充分条件，
故选：．
解不等式，然后利用集合法，可得答案．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．
4.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
则两圆外交．
故选：．
确定两圆的圆心和半径，求出圆心距，判断其与两圆半径的关系，即可得到答案．
本题考查了圆与圆位置关系的判断，圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：甲社区有驾驶员人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为
每个个体被抽到的概率为
样本容量为
这四个社区驾驶员的总人数为
故选：．
根据甲社区有驾驶员人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．
本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了正态分布的性质，属于基础题．
依题意，根据正态分布的对称性，得，计算结果即可．
【解答】
解：根据正态分布的对称性得
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题图可知，回归直线的斜率是正数，即；回归直线在轴上的截距是负数，即，
故选：．
利用回归直线方程，判断斜率以及截距的大小，判断选项即可．
本题考查回归直线方程的判断与应用，是基本知识的考查．
8.【答案】
【解析】解：，，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
故时，取极大值，则，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是一道常规题．
9.【答案】
【解析】解：先进行单循环赛，有场，
进行第一轮淘汰赛，个队打场，决出强，打场，再分别举行场决出胜负，两胜者打场决出冠、亚军，两负者打场决出三、四名，共举行：场．
故选：．
先进行单循环赛，再进行第一轮淘汰赛，即可得出结论．
本题考查计数原理的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，，则，
又由与是互斥事件，则．
故选：．
根据题意，取出，又由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
本题考查互斥事件的概率加法公式，注意互斥事件的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：双曲线，
双曲线的渐近线方程是
又抛物线的准线方程是，
故A，两点的纵坐标分别是，双曲线的离心率为，所以，
则，
，两点的纵坐标分别是，
又，的面积为，轴是角的角平分线
，得．
故选：．
求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出，两点的坐标，再由双曲线的离心率为，的面积为，列出方程，由此方程求出的值．
本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出，两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．
12.【答案】
【解析】解：，
，即，
；
令，，
，
，
在上单调递减，
，
，
故，即，
；
令，
则，
令，得，
当时，，
在上单调递增，
，即，即，故；
由得．
故选：．
令，，求导分析，可得；令，同理可求得，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想及运算求解能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得该二项展开式共有项，中间项为第项，则，
故答案为：．
由题意可得该二项展开式共有项，中间项为第项，即可求出．
本题考查了二项式展开式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
令，解得：，
故在递增，
故答案为：
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由抛物线：可得，，准线方程．
因为是上一点，，，
所以，解得．
故答案为：．
由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，则，又，
所以函数的图像在点处的切线为，即，故正确；
令，可得或，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故错误；
极大值为，极小值为，，，
所以在，，上各有一个零点，故正确；
令，
则，
所以为奇函数，关于原点对称，
所以关于点对称，故正确，
所以正确命题的序号是．
故答案为：．
求出的导函数，求出和，利用点斜式求得切线方程，即可判断；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断；令，可得为奇函数，即可判断．
本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、函数零点问题，以及函数的对称性，属于中档题．
17.【答案】解：因为在处的切线与直线垂直，
所以切线斜率，
因为，
所以，
解得．
因为函数在定义域内是减函数，
所以在上恒成立，且函数不为常函数，
所以在上恒成立，
设，，
，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是．
【解析】由在处的切线与直线垂直，得切线斜率，即，即可解得答案．
由函数在定义域内是减函数，得在上恒成立，且函数不为常函数，即在上恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
18.【答案】本小题满分分
解：从茎叶图可以得到：
甲班的平均分为：分，
乙班平均分为：分．
甲班的方差，
乙班的方差，
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．分
本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分
事件“从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人，已知有人及格”记；
事件“从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记
则分
的取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
期望分
【解析】从茎叶图分别求出甲、乙班的平均分和方差，从而得到甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．
事件“从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人，已知有人及格”记；事件“从甲班名学生和乙班名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记，由此利用条件概率公式能求出有人及格的条件下乙班同学不及格的概率．
的取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望．
本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
19.【答案】证明：当时，B.
又，，且，
平面．
而平面，．
由，
得到平面．
解：如图所示，建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为、、，
设．设平面的法向量为，
则，．
，，
且，
，，取，
得平面的一个法向量为，
且，又，
于是点到平面的距离，或舍
所以，当点为棱的中点时，点到平面的距离等于．
【解析】当时，B.由，，且，知平面由此能证明平面．
建立空间直角坐标系，得、、、设设平面的法向量为，则，得平面的一个法向量为，由此能求出点到平面的距离．
本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．
20.【答案】解：由题，所以，则，将点代入方程得，
解得：，，所以的方程为；
当直线的斜率存在时，设斜率为，设，，又，所以直线的方程为，
联立，得，所以，，
所以，
因为，之间的距离就是到直线：的距离：，
所以四边形面积为：，
令，则，
因为，所以，所以，
当直线的斜率不存在时，四边形的面积为，
综上，四边形的面积最大值为．
【解析】利用离心率求得，关系，再将点坐标代入椭圆方程求得，即可；
斜率存在时，设出方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出，再结合图形因为，之间的距离就是到直线：的距离：，表示出，运用换元思想，求出的范围；斜率不存在时，四边形的面积为，综上可得面积最大值为．
本题是直线与椭圆的综合问题，能有图象判断出，之间的距离就是到直线的距离是一个关键，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知的定义域为；
；
令，解得；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
在上单调递减；在上单调递增．
证明：令，则；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，
由题目知，，
；
，即．
【解析】对求导，令，即可判断的增减性；
可令，只需证即可，已给出的极小值；对求导，并判断其增减性，求出极大值，即可得证．
本题考查了利用导数求函数的增减区间和极值，利用函数思想比较大小，属中档题．
22.【答案】解：由曲线的极坐标方程为：．
可得：，而，，
所以的直角坐标方程为．
设，则到的距离为：，
当且仅当时取等号或当且仅当时取等号，则，
，即，此时，则．
【解析】化简极坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化，求解即可．
利用点到直线的距离公式，结合基本不等式，求解最小值即可．
本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
23.【答案】解：时，，
当时，等价于，解得，所以；
当时，等价于，解得，不符合，舍去；
当时，等价于，解得，所以．
综上，不等式的解集为．
时，，等价于，
所以恒成立，
所以，即在时恒成立，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；
根据所给区间去掉绝对值号转化为恒成立，再转化为即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
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