2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强
2. 已知等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
4. 已知在个村庄中有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄，用表示个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是( )
A. B. C. D.
5. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6. 某校得到北京大学给的个推荐名额，现准备将这个推荐名额分配给高三年级的个班级每班至少一个名额，则高三班恰好分到个名额的概率为( )
A. B. C. D.
7. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前个月甲胶囊生产产量单位：万盒的数据如表所示：
月份
万盒
若，线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是( )
A. 每增加个单位长度，则 一定增加个单位长度
B. 每减少个单位长度，则必减少个单位长度
C. 当时，的预测值为万盒
D. 线性回归直线经过点
8. 已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中正确的为( )
A. B.
C. D.
10. 若，，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
11. 年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作简称“三支一扶”，此省某师范院校某毕业班的名毕业生其中有名男生和名女生，男生中有一名班长被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生则下列正确的是( )
A. 甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法
B. 名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法
C. 男班长必须到甲地，则共有种分配方法
D. 班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有种分配方法
12. 已知函数，函数，下列选项正确的是( )
A. 点是函数的零点
B. ，，使
C. 函数的值域为
D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某射击运动员连续射击次，命中的环数环数为整数形成的一组数据中，中位数为，唯一的众数为，极差为，则该组的平均数为______ ．
14. 函数在区间上有最大值，则的取值范围是 ．
15. 现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个号球，两个号球和一个号球；乙口袋内装有两个号球，一个号球，一个号球第一次从甲口袋中任取个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到号球的概率为 ．
16. 若数列，，，满足，则称此数列为“准等差数列”现从，，，，这个数中随机选取个不同的数，则这个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列“的概率是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，，正项等比数列中，，．
求与的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
年山东淄博成立了烧烤协会，发布烧烤地图，举办烧烤节庆活动淄博烧烤是淄博饮食文化的重要组成部分淄博烧烤保留有独立小炉纯炭有烟烧烤五一前后举办了淄博烧烤节，集中展示烧烤名店、特色品种，辅以演出、啤酒展销等多种方式，为市民提供优质烧烤产品打通“吃住行游购娱”各要素环节，推出一批“淄博烧烤特色文旅”主题产品烧烤协会为了解游客五月一日至日的消费情况，对这期间的位游客消费情况进行统计，得到如表人数分布表：
消费金额元
人数
根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为消费金额是否少于元与性别有关，
不少于元 少于元 合计
男
女
合计
为吸引游客，该市推出两种优惠方案：方案一：每满元减元．
方案二：消费金额不少于元可抽奖次，每次中奖概率为，中奖次减元，中奖次减元，中奖次减元．
若某游客计划消费元，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由．
附：参考公式和数据：，．
附表：
19. 本小题分
在今山西怀仁县，故名明大明一统志有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清目前怀仁有家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为、、，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为、、．
求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20. 本小题分
已知函数，．
若时，求在处的切线方程；
讨论函数的单调性．
21. 本小题分
某市举行招聘考试，共有人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试为了解考生的考试情况，随机抽取了名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于分的人数；
复试共三道题，第一题考生答对得分，答错得分，后两题考生每答对一道题得分，答错得分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响记该考生的复试成绩为，求的分布列及均值．
附：若随机变量服从正态分布，则：，，．
22. 本小题分
已知函数．
若函数在区间上恰有两个极值点，求的取值范围；
证明：当时，在上，恒成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由散点图知，去掉点后，与的线性相关性加强，
则相关系数变大，A错误，
相关指数变大，B错误，
残差平方和变小，C错误，
解释变量与预报变量的相关性变强，D正确．
故选：．
由散点图知，去掉离群点后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数，相关指数及残差平方和，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则，
故．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用正态分布的对称性求解作答．
本题考查正态分布相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：有个村庄不太方便，从个不方便的村庄中选取了个，
．
故选：．
根据超几何分布的概率公式进行判断即可．
本题主要考查超几何分布的概率公式，比较基础．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以展开式的通项为，
令，得，所以展开式的常数项为．
故选：．
由上四分位数求出，将通项表示出来，令的指数为，即可得．
本题考查二项式定理，考查四分位数的定义，所以基础题．
6.【答案】
【解析】解：将个名额分给个班，每班至少一个名额，
即从个分段中选择个分段，共有种方法，
若三班恰好分到个名额，则只需将剩下的个名额分给个班，共有种方法，
高三班恰好分到个名额的概率为．
故选：．
将个名额分给个班，每班至少一个名额，即从个分段中选择个分段，共有种方法，若三班恰好分到个名额，则只需将剩下的个名额分给个班，共有种方法，由此能求出高三班恰好分到个名额的概率．
本题考查概率的概念和有关计算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，解得．
回归方程为．
每增加个单位长度，则 一定增加个单位长度，不正确；
每减少个单位长度，则必减少个单位长度，不正确；
当时，所以C正确；
线性回归直线经过点，所以不正确；
故选：．
求出样本中心，代入回归方程得出，从而得出回归方程，令计算即可．
本题考查了线性回归方程经过样本中心的特点，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，
令，则，
当时，，当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
又，故，
故选：．
将，，转化为，由此构造函数，利用导数判断其单调性结合对数运算，即可得出答案．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由随机变量的分布列知：
，
解得，
对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
利用离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
对于，令，则，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，令，则，则，故C错误；
对于，令，得，又，
，故D正确．
故选：．
直接根据，利用二项式定理将其展开，结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，个男生中选个到甲地，方法有种；
在剩下的个男生中选个到乙地，方法有种；
最后个男生放在丙地，再安排女生，方法有种．
所以共有种分配方法，故A正确．
对于，名毕业生平均分配到甲乙丙三地，
方法数有种分配方法，选项错误．
对于，男班长必须到甲地，方法数有：
种分配方法，故C正确．
对于，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有：
种分配方法，故D正确．
故选：．
根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，命题的真假的判断，是难题．
利用函数的零点判断；导函数，判断函数的单调性判断；函数的最小值判断；利用函数的单调性以及函数的极值判断选项D．
【解答】
解：对于选项A，是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误．
对于选项B，当时，，可得，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，当时，，当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，当时，，综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且，
当时，，当变化时，，的变化情况如下：
极大值 极小值
极大值，极小值，当时，
当变化时，，的变化情况如下：
极小值
极小值，综上可得，或，的取值范围是，不正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：这组数据共个数，中位数为，则从小到大排列时，的前面有两个数，
后面也有两个数，又唯一的众数为，则有两个，
其余数字均只出现一次，则最大数字为，
又极差为，所以最小数字为，
所以这组数据为、、、、，
则平均数为，
故答案为：．
首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可．
本题考查平均数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，即，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：记事件表示第一次从甲口袋取到第号球，，，，表示第二次从乙口袋取到号球，则：
，，
根据全概率公式得．
故答案为：．
可记事件表示第一次从甲口袋取到第号球，，，，表示第二次从乙口袋取到号球，然后即可求出，，，，和的值，然后根据全概率公式即可求出的值．
本题考查了条件概率、古典概率的计算公式，全概率的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，和为有种组合，
所以所求概率．
故答案为：．
先求出和为，，，，，，，，，，，，的组合数，再利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
17.【答案】解：因为已知等差数列的前项和为，，，设公差为，
由已知得，，解得，
所以，
即通项公式为；
因为正项等比数列中，，，
设公比为，所以，所以，
解得或负值舍去，
所以；
，
所以，
所以，
相减得，，
所以．
【解析】由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；
由错位相减法求解即可．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及错位相减求和，属于中档题．
18.【答案】解：列联表如下：
不少于元 少于元 合计
男
女
合计
，
因此有的把握认为消费金额是否少于元与性别有关．
按方案一：某游客可优惠元．
按方案二：设优惠金额为元，可能取值为，，，．
，，
，，
所以的分布列为：
．
所以选择方案一．
【解析】补充列联表后，计算出的值即可判定；
方案一优惠金额可直接计算，若采用方案二，可根据条件列出优惠金额的分布列，求出期望，通过比较大小即可选择．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
19.【答案】解：第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
．
经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，．
所以，
故随机变量的可能取值为，，，，且．
故，
；
；
，
．
所以随机变量的分布列为：
故随机变量的数学期望．
【解析】根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
根据题意结合二项分布求分布列和期望．
本题考查独立事件的积事件的概率的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
20.【答案】解：当时，，，，，
切线方程为：，即．
因为，，
所以．
当时，令，得，在上单调递减；
令，得，在上单调递增；
当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增，
当时，在时恒成立，在单调递增；
当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
【解析】利用导数求出函数在在处切线斜率，利用点斜式确定切线方程；
求出函数导数，分类讨论的取值范围对导数值的影响，从而判断出函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：样本平均数的估计值为；
因为学生初试成绩服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于分的人数为人；
的取值分别为，，，，，，
则，，，，，，
故的分布列为：
所以数学期望为．
【解析】根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
由可知即可求解；
根据题意确定的取值分别为，，，，，，利用独立性可求得分布列，进而求得均值．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由已知可得，，
由可得，．
令，则，
当时，有，所以，所以在上单调递减．
又，
所以在上的值域为；
当时，有，所以，所以在上单调递增．
又，所以在上的值域为．
作出函数在的图象如下图所示，
由图象可知，当时，有两解，
设为，，且，．
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
综上所述，的取值范围为．
构造函数，，则，
令，则在时恒成立，
所以即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，当时，．
因为，故在上，．
令，则，
令，，
故，即为增函数，所以，
所以为增函数，所以，
即，即，
所以，．
又，
所以，当时，有；
在上，因为，，
所以．
令，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，有，
所以．
又，所以．
综上所述，在上，恒成立．
【解析】求出导函数可得构造，根据导函数得出在上的图象，结合图象研究解的情况，进而结合图象得出的符号，即可得出答案；
构造函数，证明时，成立，进而根据的范围推得构造函数，根据导函数得出，即可得出；在上，根据的范围推得构造，根据导函数得出，即可得出．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，构造函数证明不等式，化归转化思想，属难题．
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