辽宁省大连市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确)
1．（2019九下·天心期中）－6的绝对值是（ ）
A．-6 B．6 C．- D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6
故答案为：B
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
2．（2023·大连）如图所示的几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为选项B的图形.
故答案为：B.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．（2023·大连）如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABE=45°，
∴∠BCD=∠ABE=45°.
∵∠BCD=∠D+∠E，∠D=20°，
∴∠E=∠BCD-∠D=45°-20°=25°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABE=45°，由外角的性质可得∠BCD=∠D+∠E，据此计算.
4．（2023·大连）某种离心机的最大离心力为．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：17000=1.7×104.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
5．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
6．（2023·大连）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.注意：常数项不可忽略.
7．（2023·大连）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可设I=，
将I=4，R=10代入可得k=40，
∴I=.
令I=5，可得R=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可设I=，将I=4，R=10代入求出k的值，得到对应的函数关系式，然后令I=5，求出R的值即可.
8．（2023·大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为90°，半径为3的扇形的弧长为=π.
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=进行计算即可.
9．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
10．（2023·大连）某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：本次调查的样本容量为100，故A正确，不符合题意；
由扇形统计图可得：最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，故B正确，不符合题意；
最喜欢足球的学生为100×40%=40人，故C正确，不符合题意；
排球对应的扇形圆心角的度数为(1-40%-20%-30%)×360°=36°，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量的概念结合题意可判断A；根据扇形统计图可判断B；利用总人数乘以最喜欢足球的人数所占的比例可得对应的人数，进而判断C；由百分比之和为1求出排球所占的比例，再乘以360°即可判断D.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023·大连）的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵9>-3x，
∴x>-3.
故答案为：x>-3.
【分析】给不等式两边同时除以-3可得x的范围.注意：不等号方向的变化.
12．（2023·大连）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有4种情况数，其中和为3的情况数为2，
∴和为3的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及和为3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．（2023·大连）如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，AC⊥BD，
∴∠BEC=90°.
∵∠DBC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=10.
∵F为BC的中点，
∴EF=BC=5.
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得BC=DC，AC⊥BD，结合∠DBC=60°可推出△BCD为等边三角形，得到BC=BD=10，由直角三角形斜边上中线的性质可得EF=BC，据此计算.
14．（2023·大连）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
【答案】/
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴AB==.
由题意可得BC=AB=，
∴OC=OB+BC=1+，
∴点C的横坐标为1+.
故答案为：1+.
【分析】由勾股定理可得AB的值，即为BC，然后根据OC=OB+BC求出OC的值，据此可得点C的横坐标.
15．（2023·大连）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意可得8x-3=7x+4.
故答案为：8x-3=7x+4.
【分析】 根据每人出8元钱，会多3钱可得费用为8x-3；根据每人出7元钱，又差4钱可得费用为7x+4，据此即可列出方程.
16．（2023·大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD为正方形，AB=3，
∴∠ACB=90°，BC=AB=CD=3.
∵FM⊥CE，FN⊥CD，
∴∠ACB=∠B=90°，
∴四边形CMFN为矩形.
∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，
∴FM=FN，
∴四边形CMFN为正方形，
∴FM=FN=CM=CN.
设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a.
∵CE=2，
∴BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a.
∵∠B=90°，FM⊥CE，
∴FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB=EM；BE，
∴a：3=(2-a)：5，
∴a=，
∴FN=CN=，
∴DN=CD-CN=，
∴DF==.
故答案为：.
【分析】过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，由正方形的性质可得∠ACB=90°，BC=AB=CD=3，根据角平分线的性质可得FM=FN，进而推出四边形CMFN为正方形，得到FM=FN=CM=CN，设CM=a，则BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得FM∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△EFM∽△EAB，由相似三角形的性质可得a的值，然后求出FN、DN，再利用勾股定理计算即可.
三、解答题(本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分)
17．（2023·大连）计算：．
【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
18．（2023·大连）某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：
72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
75 75 74 3.07
75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ， ， ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
【答案】（1）75；75；6
（2）解：服装店应选择A供应商供应服装.理由如下：
由于A、B平均值一样，B的方差比A的大，故A更稳定，
所以选A供应商供应服装.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）a==75，b=75，c=×[3×(72-75)2+4×(75-75)2+2×(78-75)2+2×(77-75)2+(73-75)2+(76-75)2+(71-75)2+(79-75)2]=6.
故答案为：75，75，6.
【分析】（1）根据平均数的计算方法可得a的值，找出出现次数最多的数据即为众数b的值，利用方差的计算公式可得c的值；
（2）平均数越大，方差越小，纯度越高，据此判断.
19．（2023·大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ACF+∠AED=180°，根据邻补角的性质可得∠ACF+∠ACB=180°，则∠ACB=∠AED，利用SAS证明△ABC≌△ADE，据此可得结论.
20．（2023·大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
【答案】解：设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设2020~2022年买书资金的平均增长率为x，则2021年用于购买图书的费用是5000(1+x)元，2022年用于购买图书的费用是5000(1+x)2元，然后根据2022年用于购买图书的费用是7200元建立方程，求解即可.
四、解答题(本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分)
21．（2023·大连）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）
【答案】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：楼的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长CD交AE于点F，则EF=BC=1.26m，根据三角函数的概念可得AF，然后根据AE=AF+EF进行计算.
22．（2023·大连）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：
（1）男女跑步的总路程为 ．
（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【答案】（1）
（2）解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
依题意，女生匀速跑了，用了，则速度为，
∴，
联立
解得：
将代入
解得：，
∴此时男、女同学距离终点的距离为．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）男生匀速跑步的路程为4.5×100=450m，450+50=500m，
∴男女生跑步的总路程为500×2=1000m.
故答案为：1000m.
【分析】（1）首先根据速度×时间=路程求出男生匀速跑步的路程，然后加上50即可得到男生跑步的路程，进而不难求出男女生跑步的总路程；
（2）男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为y=50+4.5x，利用待定系数法求出女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式，联立求出x、y的值，据此解答.
23．（2023·大连）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，连接，设，
则，，，
∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠BAC=2∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ODA，结合外角的性质可得∠BOD=∠BAD+∠ODA=2∠BAD，则∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，根据平行线的性质可得∠OEB=∠ACB=90°，据此求解；
（2）连接BD，设OA=OB=OD=r，则OE=r-4，AC=2r-8，AB=2r，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2，代入求解可得r的值，进而可得AB、BD的值，由切线的性质可得AF⊥AB，进而得到DG⊥AB，然后利用等面积法进行计算.
五、解答题(本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分)
24．（2023·大连）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．
（1）的长为 ；的面积为 ．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）；
（2）∵在上，则设，
∴
∴，则
当时，如图所示，设交于点，
∵，，
则
∴
当时，如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
∴，
∵，
∵，则，
∴，
综上所述：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当t=0时，P与O重合，S=S△AOB=；
当t=4时，S=0，P与B重合，
∴OB=4.
故答案为：4，.
【分析】（1）当t=0时，P与O重合，S=S△AOB，当t=4时，S=0，P与B重合，据此解答；
（2）由题意可得A（a，a），根据三角形的面积公式可得a的值，据此可得点A的坐标，当0≤t≤时，设DP交OA于点E，则EP=OP=t，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系就可得到S与t的关系式；当25．（2023·大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在上时，．”
小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如图1，当点落在上时，求证：；
（2）如图2，若点为中点，，求的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．
【答案】（1）∵等腰中，由翻折得到
∴，，
∵，
∴；
（2）如图所示，连接，交于点，
∵折叠，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
则，
在中，，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，根据折叠的性质以及内角和定理可得∠BDE=∠A=180°-2∠C，由邻补角的性质可得∠EDC+∠BDE=180°，据此证明；
（2）连接AD，交BE于点F，由折叠的性质可得EA=ED，AF=FD，AE=AC=2，AD⊥BE，由中位线的性质可得EF=CD=，由勾股定理可得AF、BF的值，然后根据BE=BF+EF进行计算；
问题2：连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，易得四边形CGMD为矩形，则CD=GM，由勾股定理可得AD，然后求出AM、DM，由勾股定理求出BM，根据BG=BM-GM=BM-CD可得BG，最后再利用勾股定理计算即可.
26．（2023·大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则，
将点，，代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，
∵，
∴，
∵
∴，
由①可得，
∴，的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，
则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；线段的中点；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）将x=-2、1代入y=x2中可得y的值，据此可得点A、B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线C2的解析式；
（2）①由题意可得C（2，4），C′（2-m，4-n），根据点C′落在抛物线上可得(2-m)2=4-n，化简可得n=-m2+4m，结合m>0、n>0可得0②根据点A、C的坐标可得AC=4，则AE=AC=2，E（-2，6），由①得A′（-2-m，m2-4m+4），E′（-2-m，m2-4m+6），则点P、Q的横坐标为-2-m，分别代入C1、C2中可得y，据此可得P、Q的坐标，然后根据中点坐标公式表示出PQ的中点坐标，然后结合点E′为线段PQ的中点就可求出m的值；
③连接MN，过点N作NG⊥E′D′于点G，易得NG、MN、MG的值，设N（a，-a2-2a+4），则M（a-，-a2-2a+6），将点M的坐标代入y=-x2-2x+4中可求出a的值，据此可得点N的坐标，将点N的纵坐标代入y=x2中求出x的值，据此可得点C′的坐标.
1 / 1辽宁省大连市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确)
1．（2019九下·天心期中）－6的绝对值是（ ）
A．-6 B．6 C．- D．
2．（2023·大连）如图所示的几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·大连）如图，直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·大连）某种离心机的最大离心力为．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·大连）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·大连）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·大连）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
10．（2023·大连）某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（ ）
A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023·大连）的解集为 ．
12．（2023·大连）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 ．
13．（2023·大连）如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为 ．
14．（2023·大连）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
15．（2023·大连）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ．
16．（2023·大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为 ．
三、解答题(本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分)
17．（2023·大连）计算：．
18．（2023·大连）某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：
72 73 74 75 76 78 79
频数 1 1 5 3 3 1 1
Ⅱ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：
72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
Ⅲ．两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
75 75 74 3.07
75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ， ， ；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
19．（2023·大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
20．（2023·大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
四、解答题(本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分)
21．（2023·大连）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）
22．（2023·大连）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：
（1）男女跑步的总路程为 ．
（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
23．（2023·大连）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
五、解答题(本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分)
24．（2023·大连）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．
（1）的长为 ；的面积为 ．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
25．（2023·大连）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在上时，．”
小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如图1，当点落在上时，求证：；
（2）如图2，若点为中点，，求的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．
26．（2023·大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6
故答案为：B
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为选项B的图形.
故答案为：B.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABE=45°，
∴∠BCD=∠ABE=45°.
∵∠BCD=∠D+∠E，∠D=20°，
∴∠E=∠BCD-∠D=45°-20°=25°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABE=45°，由外角的性质可得∠BCD=∠D+∠E，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：17000=1.7×104.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
5．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.注意：常数项不可忽略.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可设I=，
将I=4，R=10代入可得k=40，
∴I=.
令I=5，可得R=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可设I=，将I=4，R=10代入求出k的值，得到对应的函数关系式，然后令I=5，求出R的值即可.
8．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角为90°，半径为3的扇形的弧长为=π.
故答案为：C.
【分析】直接根据弧长公式l=进行计算即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
10．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：本次调查的样本容量为100，故A正确，不符合题意；
由扇形统计图可得：最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，故B正确，不符合题意；
最喜欢足球的学生为100×40%=40人，故C正确，不符合题意；
排球对应的扇形圆心角的度数为(1-40%-20%-30%)×360°=36°，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量的概念结合题意可判断A；根据扇形统计图可判断B；利用总人数乘以最喜欢足球的人数所占的比例可得对应的人数，进而判断C；由百分比之和为1求出排球所占的比例，再乘以360°即可判断D.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵9>-3x，
∴x>-3.
故答案为：x>-3.
【分析】给不等式两边同时除以-3可得x的范围.注意：不等号方向的变化.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有4种情况数，其中和为3的情况数为2，
∴和为3的概率为=.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及和为3的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC，AC⊥BD，
∴∠BEC=90°.
∵∠DBC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=BD=10.
∵F为BC的中点，
∴EF=BC=5.
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得BC=DC，AC⊥BD，结合∠DBC=60°可推出△BCD为等边三角形，得到BC=BD=10，由直角三角形斜边上中线的性质可得EF=BC，据此计算.
14．【答案】/
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴AB==.
由题意可得BC=AB=，
∴OC=OB+BC=1+，
∴点C的横坐标为1+.
故答案为：1+.
【分析】由勾股定理可得AB的值，即为BC，然后根据OC=OB+BC求出OC的值，据此可得点C的横坐标.
15．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意可得8x-3=7x+4.
故答案为：8x-3=7x+4.
【分析】 根据每人出8元钱，会多3钱可得费用为8x-3；根据每人出7元钱，又差4钱可得费用为7x+4，据此即可列出方程.
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，
∵四边形ABCD为正方形，AB=3，
∴∠ACB=90°，BC=AB=CD=3.
∵FM⊥CE，FN⊥CD，
∴∠ACB=∠B=90°，
∴四边形CMFN为矩形.
∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，
∴FM=FN，
∴四边形CMFN为正方形，
∴FM=FN=CM=CN.
设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a.
∵CE=2，
∴BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a.
∵∠B=90°，FM⊥CE，
∴FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB=EM；BE，
∴a：3=(2-a)：5，
∴a=，
∴FN=CN=，
∴DN=CD-CN=，
∴DF==.
故答案为：.
【分析】过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，由正方形的性质可得∠ACB=90°，BC=AB=CD=3，根据角平分线的性质可得FM=FN，进而推出四边形CMFN为正方形，得到FM=FN=CM=CN，设CM=a，则BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得FM∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△EFM∽△EAB，由相似三角形的性质可得a的值，然后求出FN、DN，再利用勾股定理计算即可.
17．【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
18．【答案】（1）75；75；6
（2）解：服装店应选择A供应商供应服装.理由如下：
由于A、B平均值一样，B的方差比A的大，故A更稳定，
所以选A供应商供应服装.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）a==75，b=75，c=×[3×(72-75)2+4×(75-75)2+2×(78-75)2+2×(77-75)2+(73-75)2+(76-75)2+(71-75)2+(79-75)2]=6.
故答案为：75，75，6.
【分析】（1）根据平均数的计算方法可得a的值，找出出现次数最多的数据即为众数b的值，利用方差的计算公式可得c的值；
（2）平均数越大，方差越小，纯度越高，据此判断.
19．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ACF+∠AED=180°，根据邻补角的性质可得∠ACF+∠ACB=180°，则∠ACB=∠AED，利用SAS证明△ABC≌△ADE，据此可得结论.
20．【答案】解：设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设2020~2022年买书资金的平均增长率为x，则2021年用于购买图书的费用是5000(1+x)元，2022年用于购买图书的费用是5000(1+x)2元，然后根据2022年用于购买图书的费用是7200元建立方程，求解即可.
21．【答案】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：楼的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长CD交AE于点F，则EF=BC=1.26m，根据三角函数的概念可得AF，然后根据AE=AF+EF进行计算.
22．【答案】（1）
（2）解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
依题意，女生匀速跑了，用了，则速度为，
∴，
联立
解得：
将代入
解得：，
∴此时男、女同学距离终点的距离为．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）男生匀速跑步的路程为4.5×100=450m，450+50=500m，
∴男女生跑步的总路程为500×2=1000m.
故答案为：1000m.
【分析】（1）首先根据速度×时间=路程求出男生匀速跑步的路程，然后加上50即可得到男生跑步的路程，进而不难求出男女生跑步的总路程；
（2）男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为y=50+4.5x，利用待定系数法求出女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式，联立求出x、y的值，据此解答.
23．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，连接，设，
则，，，
∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠BAC=2∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ODA，结合外角的性质可得∠BOD=∠BAD+∠ODA=2∠BAD，则∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，根据平行线的性质可得∠OEB=∠ACB=90°，据此求解；
（2）连接BD，设OA=OB=OD=r，则OE=r-4，AC=2r-8，AB=2r，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2，代入求解可得r的值，进而可得AB、BD的值，由切线的性质可得AF⊥AB，进而得到DG⊥AB，然后利用等面积法进行计算.
24．【答案】（1）；
（2）∵在上，则设，
∴
∴，则
当时，如图所示，设交于点，
∵，，
则
∴
当时，如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
∴，
∵，
∵，则，
∴，
综上所述：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当t=0时，P与O重合，S=S△AOB=；
当t=4时，S=0，P与B重合，
∴OB=4.
故答案为：4，.
【分析】（1）当t=0时，P与O重合，S=S△AOB，当t=4时，S=0，P与B重合，据此解答；
（2）由题意可得A（a，a），根据三角形的面积公式可得a的值，据此可得点A的坐标，当0≤t≤时，设DP交OA于点E，则EP=OP=t，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系就可得到S与t的关系式；当25．【答案】（1）∵等腰中，由翻折得到
∴，，
∵，
∴；
（2）如图所示，连接，交于点，
∵折叠，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
则，
在中，，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，根据折叠的性质以及内角和定理可得∠BDE=∠A=180°-2∠C，由邻补角的性质可得∠EDC+∠BDE=180°，据此证明；
（2）连接AD，交BE于点F，由折叠的性质可得EA=ED，AF=FD，AE=AC=2，AD⊥BE，由中位线的性质可得EF=CD=，由勾股定理可得AF、BF的值，然后根据BE=BF+EF进行计算；
问题2：连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CG⊥BM于点G，易得四边形CGMD为矩形，则CD=GM，由勾股定理可得AD，然后求出AM、DM，由勾股定理求出BM，根据BG=BM-GM=BM-CD可得BG，最后再利用勾股定理计算即可.
26．【答案】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则，
将点，，代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，
∵，
∴，
∵
∴，
由①可得，
∴，的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，
则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；线段的中点；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）将x=-2、1代入y=x2中可得y的值，据此可得点A、B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线C2的解析式；
（2）①由题意可得C（2，4），C′（2-m，4-n），根据点C′落在抛物线上可得(2-m)2=4-n，化简可得n=-m2+4m，结合m>0、n>0可得0②根据点A、C的坐标可得AC=4，则AE=AC=2，E（-2，6），由①得A′（-2-m，m2-4m+4），E′（-2-m，m2-4m+6），则点P、Q的横坐标为-2-m，分别代入C1、C2中可得y，据此可得P、Q的坐标，然后根据中点坐标公式表示出PQ的中点坐标，然后结合点E′为线段PQ的中点就可求出m的值；
③连接MN，过点N作NG⊥E′D′于点G，易得NG、MN、MG的值，设N（a，-a2-2a+4），则M（a-，-a2-2a+6），将点M的坐标代入y=-x2-2x+4中可求出a的值，据此可得点N的坐标，将点N的纵坐标代入y=x2中求出x的值，据此可得点C′的坐标.
1 / 1
