云南省曲靖市民中2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含解析）

曲靖市民中2022-2023学年高二下学期期末考试
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4．本卷主要考查内容：三角函数，解三角形，立体几何，圆锥曲线，选择性必修第二册，选择性必修第三册。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下面是离散型随机变量的是
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10～20之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
2．某校食堂餐后有三种水果可供学生挑选，每名学生只能挑选其中一种，甲、乙，丙三人每人任意挑选一种水果，则不同的选择有
A．3种 B．6种 C．9种 D．27种
3．已知是等差数列的前项和，且，则
A．30 B．60 C．90 D．180
4．书架上有10本书随机排成一排，其中有2本数学书，语文和英语书共8本，从中随机取出一本书，设取出数学书为事件A，取出语文书为事件，随机事件与对立．若，则
A．0.7 B．0.8 C．0.3 D．0.5
5．已知函数且满足，则的最小值为
A． B． C．1 D．2
6．已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
7．已知正项数列的前项和为，满足，则
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为
A．4 B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是
A．该正态分布的均值为2 B．该正态分布的标准差为4
C． D．
10．在等比数列中，，则的公比可能为
A． B． C．2 D．4
11．甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是
A．，，两两互斥 B．
C． D．与是相互独立事件
12．观察图象，下列结论错误的有
A．若图中为图象，则在处取极小值
B．若图中为图象，则有两个极值点
C．若图中为图象，则在上单调递增
D．若图中为图象，则的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，则其中女生甲当选为组长的概率为 ．
14．曲线在点处的切线方程为 ．
15．的展开式中的系数为 ．
16．一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少 种粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项．
（1）求和1的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式．
19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆的左焦点，顶点，在上，且边过的右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆的上、下顶点分别为，，点（，），若直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，证明：直线过定点，并求该定点坐标．
21．（本小题满分12分）
每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线的交点的横坐标为，证明：．
曲靖市民中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B
根据离散型随机变量的定义知，B是离散型随机变量．故选B．
2．D
不同的选择有种．故选D．
3．C
，解得所以，故选C．
4．A
由题意可知，，因为与互斥且，．又因为随机事件与对立，所以．故选A．
5．B
由可知：关于对称，故，，，取最小值为．故选B．
6．A
由知：，又，以下比较，大小，，构造：，则，故为增函数，，故，故选A．
7．B
由题意，，，两式相减，得，
∴．
∵，∴．
当，，∴，
∴是首项，公差为1的等差数列．
∴．故选B．
8．B
由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
9．ACD
由正态分布的定义可知，，A对，B错，C对，D对．故选ACD．
10．ABC
设的公比为，所以，解得或或．故选ABC．
11．AB
对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A正确；
对于B，由题意可得，，所以，所以B正确；
对于C，，所以C不正确；
对于D，因为，，所以，所以与是相互独立事件，所以D不正确，故选AB．
12．ABD
选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；
选项B：若图为图象，，，函数单调递减；
，，函数单调递增，，，函数单调递减；
，，函数单调递增；故函数有，0，2三个极值点，选项B错误；
选项C：若图为图象，则时，单调性相反，即，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增；，单调性一致，，函数单调递增；故C正确；
选项D：若图为图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；故选ABD．
13． ．
14．
因为，所以，所以曲线在处切线方程为，即．
15．
由，可得展开式中的系数为．
16．3
记事件为“种一粒种子，发芽”，
则，．
因为每穴种粒相当于做了次独立重复试验，记事件为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则，
所以，
根据题意，得，
即．
两边同时取以10为底的对数，得，
即，
所以．
因为，所以的最小正整数值为3．
17．解：
（1）在中，由，
利用正弦定理可得，
因为，所以，
又，所以或；
（2）在为锐角三角形，由（1）知，且，
由正弦定理得，
所以；
因为，所以，
又为锐角三角形，则，且，
又，则，所以；
所以；
所以，即．
18．解：
（1）设和1的调和中项为，依题意得：3、、1成等差数列，
所以，解得：，故和1的调和中项为；
（2）依题意，是等差数列，设其公差为，则，
所以，故．
19．解：
（1）如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，．
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是；
（2）因为，，，
所以，，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离．
设平面的一个法向量为，则，即，
令，解得，，所以平面的一个法向量为．
因为，所以点到平面的距离，
即直线到平面的距离为．
20．解：
（1）由题意知，椭圆的焦点在轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，所以，
所以椭圆的标准方程为
（2）由题意知，，，直线，，斜率均存在，
所以直线：，与椭圆方程联立得，
对，恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为．
21．解：
（1）由频率分布直方图得：
，
解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人），
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴的分布列为：
0 1 2 3
．
22．解：
（1），
①当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当，令，可得，此时函数的减区间为，增区间；
（2）令（），由，有，可得，
曲线在处的切线方程为，
曲线在处的切线方程为，
联立两条切线方程，消去，有，
有，
有，
有，
有，即，
可得，代入，
有，
要证，
令（），有，
可知函数单调递增，由，可知，，
故．