北京市顺义区2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市顺义区2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 596.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 13:29:20 | ||
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文档简介
顺义区2022-2023学年度第二学期期末质量监测
高二数学试卷
考生须知
1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．
2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．数列是等差数列，若，则（ ）
A． B．5 C．9 D．15
5．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ）
A．48种 B．96种 C．144种 D．192种
6．下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．
其中运算结果正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．当时，函数取得极大值 B．当时，函数取得极小值
C．当时，函数取得极大值 D．当时，函数取得极小值
10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．计算：________．（用数字作答）
12．函数的定义域是________．
13．在二项式的展开式中，常数项是________．（用数字作答）
14．若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是________．
15．已知，函数．
给出下列四个结论：
①当，函数无零点；
②当时，函数恰有一个零点；
③存在实数，使得函数有两个零点；
④存在实数，使得函数有三个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本题13分）
已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求．
17．（本题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值．
18．（本题15分）
两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，14，15，16，17，20
假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不多于14天的概率；
（Ⅱ）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
19．（本题13分）
已知为等差数列，为其前项和．若，设．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（本题15分）
已知函数．
（Ⅰ）若对任意时，成立，求实数的最大值；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求证：．
21．（本题15分）
已知整数数列满足：①；②．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求证：数列中总包含无穷多等于1的项；
（Ⅲ）若为中第一个等于1的项，求证：．
顺义区2022-2023学年度第二学期期末质量监测
高二（数学）参考答案
一、选择题
CRABD，CADDR
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分
11．2 12． 13．20 14．，3 15．①②③
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题13分）
解：（Ⅰ）
令，可得
（Ⅱ）令，可得 ①
令，可得 ②
①式减②式可得，
17．（本题14分）
解：（Ⅰ）函数
又
曲线在点处的切线方程为即
（Ⅱ）
令解得昜
当变化时，的变化情况如表所示：
2
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
又时，时，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最小值为．
18．（本题15分）
解：（Ⅰ）设甲的康复时间不多于14天为事件C，
组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立
又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个
甲的康复时间不多于14天的概率
（Ⅱ）甲康复效果不佳的概率，
乙康复效果不佳的概率
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数
的可能取值是0，1，2
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2
的分布列为
0 1 2
的数学期望为
（Ⅲ）
19．（本题13分）
证明：（Ⅰ）设等差数列的通项公式为，公差为
又，则
即数列是等比数列，公比为2，首项．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列是等比数列，公比为2，首项
数列的前项和
20．（本题15分）
解：（Ⅰ）
令解得
在单减，在上单增
在取得极小值，也是最小值
时，成立．
只需即可
实数的最大值为1．
（Ⅱ）证明：设
在上单调递减
即．
（Ⅲ）法一：
证明：存在时，便得成立
令，由可知
由（Ⅱ）知在上单调递减
即
即
，由知
即
法二：
在上单调递减，在上单调递增．
存在时，使得成立
，且
令
在上单调递增
又
即即
在上单调递增
即
21．（本题15分）
解：（Ⅰ）
若，则或0
若，则，此时不满足
，此时
当时，不满足
，故或
（Ⅱ）证明：方法一：最小数原理
首先．
否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，
从而，与的最小性矛盾．
记为的最小值，则为奇数并且．
根据的最小性，可知．
根据可知．
注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，
从而数列中总包含无穷多等于1的项；
方法二：无穷递降法
首先．否则，
记为中第一个小于等于0的项，则或，
从而，与的最小性矛盾．
断言：存在．
若否，注意到根据可知，
后以，而，当时，矛盾．
高二数学试卷
考生须知
1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．
2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．数列是等差数列，若，则（ ）
A． B．5 C．9 D．15
5．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ）
A．48种 B．96种 C．144种 D．192种
6．下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．
其中运算结果正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．当时，函数取得极大值 B．当时，函数取得极小值
C．当时，函数取得极大值 D．当时，函数取得极小值
10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．计算：________．（用数字作答）
12．函数的定义域是________．
13．在二项式的展开式中，常数项是________．（用数字作答）
14．若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是________．
15．已知，函数．
给出下列四个结论：
①当，函数无零点；
②当时，函数恰有一个零点；
③存在实数，使得函数有两个零点；
④存在实数，使得函数有三个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本题13分）
已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求．
17．（本题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值．
18．（本题15分）
两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，14，15，16，17，20
假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不多于14天的概率；
（Ⅱ）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
19．（本题13分）
已知为等差数列，为其前项和．若，设．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（本题15分）
已知函数．
（Ⅰ）若对任意时，成立，求实数的最大值；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求证：．
21．（本题15分）
已知整数数列满足：①；②．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求证：数列中总包含无穷多等于1的项；
（Ⅲ）若为中第一个等于1的项，求证：．
顺义区2022-2023学年度第二学期期末质量监测
高二（数学）参考答案
一、选择题
CRABD，CADDR
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分
11．2 12． 13．20 14．，3 15．①②③
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题13分）
解：（Ⅰ）
令，可得
（Ⅱ）令，可得 ①
令，可得 ②
①式减②式可得，
17．（本题14分）
解：（Ⅰ）函数
又
曲线在点处的切线方程为即
（Ⅱ）
令解得昜
当变化时，的变化情况如表所示：
2
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
又时，时，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最小值为．
18．（本题15分）
解：（Ⅰ）设甲的康复时间不多于14天为事件C，
组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立
又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个
甲的康复时间不多于14天的概率
（Ⅱ）甲康复效果不佳的概率，
乙康复效果不佳的概率
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数
的可能取值是0，1，2
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1
表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2
的分布列为
0 1 2
的数学期望为
（Ⅲ）
19．（本题13分）
证明：（Ⅰ）设等差数列的通项公式为，公差为
又，则
即数列是等比数列，公比为2，首项．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列是等比数列，公比为2，首项
数列的前项和
20．（本题15分）
解：（Ⅰ）
令解得
在单减，在上单增
在取得极小值，也是最小值
时，成立．
只需即可
实数的最大值为1．
（Ⅱ）证明：设
在上单调递减
即．
（Ⅲ）法一：
证明：存在时，便得成立
令，由可知
由（Ⅱ）知在上单调递减
即
即
，由知
即
法二：
在上单调递减，在上单调递增．
存在时，使得成立
，且
令
在上单调递增
又
即即
在上单调递增
即
21．（本题15分）
解：（Ⅰ）
若，则或0
若，则，此时不满足
，此时
当时，不满足
，故或
（Ⅱ）证明：方法一：最小数原理
首先．
否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，
从而，与的最小性矛盾．
记为的最小值，则为奇数并且．
根据的最小性，可知．
根据可知．
注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，
从而数列中总包含无穷多等于1的项；
方法二：无穷递降法
首先．否则，
记为中第一个小于等于0的项，则或，
从而，与的最小性矛盾．
断言：存在．
若否，注意到根据可知，
后以，而，当时，矛盾．
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