人教版高中数学选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 阶段性测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 阶段性测试（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 13:35:50 | ||
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文档简介
人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程阶段性测试
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(2013·重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为
( )
A.-16 B.-4 C.16 D.4
3.(2013·珠海高二检测)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
4.(2013·安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.2 C.4 D.
5.设α∈(0,),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,]
C.(,) D.[,)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于 .
7.(2013·汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.
10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.
11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值.
(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.
答案解析
1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
∴b2=a2-c2=36-16=20,
∴其标准方程为+=1.
2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.
∴由25-m=32,得m=16.
【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何
【解析】∵焦点坐标为(0,3),∴焦点在y轴上且c=3.
由m-25=9,得m=34.
3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,
|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,△ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+
|CA|+|CF|=4a=4.
4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为△MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.
【解析】选C.∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点,
∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.
∵|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴ON=4.
5.【解析】选C.由题意可知<,∴sinα>cosα>0,
又∵α∈(0,),解得<α<.
【变式备选】(2013·邵阳高二检测)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.m>n>0 0<< mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,故选C.
6.【解析】由条件可知,2c=4,即c=2,∴(m-2)-(10-m)=c2=4,解得m=8.
答案:8
7.【解题指南】由椭圆的定义可以求出△ABF2的周长,从而结合已知求出|AB|.
【解析】由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=20,
又∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=8.
答案:8
8.【解析】设|OF2|=c,∴c2=,即c=2.
∴a2=b2+4,又点P的坐标为(1,±),点P在椭圆上,
∴+=1.解得b2=2.
答案:2
【误区警示】解题过程中,往往不能将a,b,c的意义与△POF2的边长联系起来,从而很难列出方程组求解.
9.【解题指南】建立适当的坐标系,设出椭圆标准方程,而后求解椭圆中的a,b,c即可.
【解析】如图,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,
两式相加,得8+4=4a,
∴a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.
在直角三角形AMC中,
∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,
∴c2=6,b2=4.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.
(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.
【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,
即2a=8,∴a=4.
∴b2=a2-c2=16-4=12.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2|·|y0|=2,
∴|y0|=,y0=±,
代入椭圆方程+=1得,x0=±2,
∴P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).
11.【解析】(1)∵椭圆方程为+y2=1,
∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.
又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴|PF1|·|PF2|≤()2=()2=4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,
∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,
∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·
|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,
∴|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)2
=×16=8,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.
∴|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.
【拓展提升】揭秘焦点三角形
椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:
设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.
(1)|MF1|+|MF2|=2a.
(2)|MF1||MF2|≤=a2.
(3)|MF1||MF2|=2a2-.
(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).
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（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.(2013·重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为
( )
A.-16 B.-4 C.16 D.4
3.(2013·珠海高二检测)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
4.(2013·安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.8 B.2 C.4 D.
5.设α∈(0,),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,]
C.(,) D.[,)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于 .
7.(2013·汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.
10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.
11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值.
(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.
答案解析
1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
∴b2=a2-c2=36-16=20,
∴其标准方程为+=1.
2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.
∴由25-m=32,得m=16.
【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何
【解析】∵焦点坐标为(0,3),∴焦点在y轴上且c=3.
由m-25=9,得m=34.
3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,
|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,△ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+
|CA|+|CF|=4a=4.
4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为△MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.
【解析】选C.∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点,
∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.
∵|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴ON=4.
5.【解析】选C.由题意可知<,∴sinα>cosα>0,
又∵α∈(0,),解得<α<.
【变式备选】(2013·邵阳高二检测)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.m>n>0 0<< mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,故选C.
6.【解析】由条件可知,2c=4,即c=2,∴(m-2)-(10-m)=c2=4,解得m=8.
答案:8
7.【解题指南】由椭圆的定义可以求出△ABF2的周长,从而结合已知求出|AB|.
【解析】由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=20,
又∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=8.
答案:8
8.【解析】设|OF2|=c,∴c2=,即c=2.
∴a2=b2+4,又点P的坐标为(1,±),点P在椭圆上,
∴+=1.解得b2=2.
答案:2
【误区警示】解题过程中,往往不能将a,b,c的意义与△POF2的边长联系起来,从而很难列出方程组求解.
9.【解题指南】建立适当的坐标系,设出椭圆标准方程,而后求解椭圆中的a,b,c即可.
【解析】如图,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,
两式相加,得8+4=4a,
∴a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.
在直角三角形AMC中,
∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,
∴c2=6,b2=4.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.
(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.
【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,
即2a=8,∴a=4.
∴b2=a2-c2=16-4=12.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2|·|y0|=2,
∴|y0|=,y0=±,
代入椭圆方程+=1得,x0=±2,
∴P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).
11.【解析】(1)∵椭圆方程为+y2=1,
∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.
又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,
∴|PF1|·|PF2|≤()2=()2=4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,
∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,
∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·
|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,
∴|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)2
=×16=8,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.
∴|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.
【拓展提升】揭秘焦点三角形
椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:
设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.
(1)|MF1|+|MF2|=2a.
(2)|MF1||MF2|≤=a2.
(3)|MF1||MF2|=2a2-.
(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).
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