人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆 第二课时 学案(含详细解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆 第二课时 学案(含详细解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 894.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 13:36:32 | ||
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文档简介
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人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆第二课时同步练习(原卷版)
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【一隅三反】
1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】（2020·上海高二课时练习）为何值时，直线和曲线有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
考点三 弦长
【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________
2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________.
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆第二课时同步练习(解析版)
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【答案】 ∪
【解析】 依题意得，＋>1，解得k<－或k>.
【一隅三反】
1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】 9
【解析】 依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】（2020·上海高二课时练习）为何值时，直线和曲线有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
【答案】见解析
【解析】由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点．
【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】由题意，直线，可得直线恒过点，
又由，所以点在椭圆的内部，
所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B．
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆联立方程组可化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0，
要使得直线与椭圆恒有两个公共点，
则△=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20[m2-（1-5k2）m]＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C
2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
【答案】A
【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点
∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆
∵直线与曲线：恒有公共点
∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴
故选A.
3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
【答案】D
【解析】由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，
结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，
解得：－＜m＜，故选：D．
考点三 弦长
【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由消去，并整理得……①
∵直线与椭圆有公共点
∴，可解得：
故所求实数的取值范围为
（2）设直线与椭圆的交点为，
由①得： ，
当时，直线被椭圆截得的弦长为
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，
结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2
故C：.
(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立
得. 设，．
∴
∴
2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，
设,则，且，解得.
，
∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:.
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【答案】（1）.（2）（3）
【解析】（1）设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
（2）已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，∴，
∴e2，∴e＝.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.
2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________.
【答案】
【解析】设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知,
把代入,
作差整理得，
这条弦所在的直线方程为，
即，故答案为.
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
【答案】－
【解析】设直线的方程为：，由，整理得
：，所以，，
所以，所以
，，所以
4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
【答案】.
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由，两式相减可得：
化简可得：，因为直线l的斜率为，所以
即所以离心率 故答案为
5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，令，，则，
∴，，∴，.故选A.
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人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆第二课时同步练习(原卷版)
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【一隅三反】
1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】（2020·上海高二课时练习）为何值时，直线和曲线有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
考点三 弦长
【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________
2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________.
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
人教A版高二数学选择性必修第一册3.1.2椭圆第二课时同步练习(解析版)
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．
【答案】 ∪
【解析】 依题意得，＋>1，解得k<－或k>.
【一隅三反】
1.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】 9
【解析】 依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】（2020·上海高二课时练习）为何值时，直线和曲线有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
【答案】见解析
【解析】由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点．
【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】由题意，直线，可得直线恒过点，
又由，所以点在椭圆的内部，
所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B．
【一隅三反】
1．（2019·全国高二课时练习）直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆联立方程组可化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0，
要使得直线与椭圆恒有两个公共点，
则△=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20[m2-（1-5k2）m]＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C
2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
【答案】A
【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点
∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆
∵直线与曲线：恒有公共点
∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴
故选A.
3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5 B．m＜－，或m＞
C．m＜ D．－＜m＜
【答案】D
【解析】由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，
结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，
解得：－＜m＜，故选：D．
考点三 弦长
【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆及直线：
（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由消去，并整理得……①
∵直线与椭圆有公共点
∴，可解得：
故所求实数的取值范围为
（2）设直线与椭圆的交点为，
由①得： ，
当时，直线被椭圆截得的弦长为
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，
结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2
故C：.
(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立
得. 设，．
∴
∴
2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，
设,则，且，解得.
，
∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:.
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
（3）直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【答案】（1）.（2）（3）
【解析】（1）设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
（2）已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
（3）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，∴，
∴e2，∴e＝.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.
2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________.
【答案】
【解析】设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知,
把代入,
作差整理得，
这条弦所在的直线方程为，
即，故答案为.
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
【答案】－
【解析】设直线的方程为：，由，整理得
：，所以，，
所以，所以
，，所以
4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
【答案】.
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由，两式相减可得：
化简可得：，因为直线l的斜率为，所以
即所以离心率 故答案为
5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，令，，则，
∴，，∴，.故选A.
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