《1.1锐角三角函数》（第2课时）优秀教案 数学北师大版 九年级下册
文档属性
| 名称 | 《1.1锐角三角函数》（第2课时）优秀教案 数学北师大版 九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 20:59:13 | ||
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第2课时
一、教学目标
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.
2．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明.
3．能够运用tan A，sin A，cos A表示直角三角形中两边的比.
4．能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.
二、教学重点及难点
重点：理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明，能用sinA，cosA表示直角三角形两边的比，能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算．
难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习正切和坡度》动画，《正弦定义》动画，《余弦定义》动画.
五、教学过程
【复习引入】
上节课我们通过梯子的倾斜程度，共同学习了正切和坡度，请回忆它们的具体内容.
正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=．
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．
当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？这节课我们就来探讨这个问题．
设计意图：通过复习，让学生回忆上节课所学的正切的相关知识，为本节课的学习做好铺垫．
【探究新知】
议一议 如下图所示，B1C1⊥AC1，垂足为C1，B2C2⊥AC1，垂足为C2．
（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和呢？
（3）如果改变B2在梯子B1A上的位置呢？你由此可得出什么结论？
（4）如果改变AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
师生活动：教师出示问题，引导学生思考、讨论，最后师生共同得出答案．
答：（1）Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；（2）=，=；
（3）如果改变B2在梯子B1A上的位置，仍能得到=，=；
结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值、倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关．
（4）如果改变AB1的倾斜角的大小，仍能得到=，=；
结论：如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是唯一确定的，这是一种函数关系．
设计意图：经历探索新知的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力．
教师讲解：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
【数学探究】正弦的定义，通过对动画的操作探究，可以归纳出正弦函数的定义，同时能够直观形象的展示变化过程。
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即sinA=．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cosA=．
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）．当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化．
想一想 在下图中，梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
设计意图：让学生进一步思考梯子倾斜角的正弦值和余弦值与梯子倾斜程度之间的关系，从而使学生明白梯子倾斜角的正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度．
【典例精析】
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长．
师生活动：教师出示例题，学生思考并解答．
解：在Rt△ABC中，
∵，即，
∴BC=200×0.6=120．
设计意图：利用正弦的定义求对边的长，培养学生应用所学知识解决问题的能力．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=，AC=10，AB等于多少？sinB呢？
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
解：在Rt△ABC中，∵cos A=，AC=10，∴．
∴AB=，sin B=．
设计意图：利用余弦、正弦定义的进一步应用同时渗透了sin (90°－A）=cos A，培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．如图，AD是Rt △ABC斜边BC上的高，下列是关于锐角α的三角函数的说法：（1）sin α=；（2）cos α=；（3）tan α=；（4）cos α=，其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知甲、乙两坡的坡角分别为α，β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（ ）．
A．tan α＜tan β B．sin α＜sin β C．cos α＜cos β D．cos α＞cos β
4．如图，CD是Rt △ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD的值是（ ）．
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C=90°，BC=8 cm，sin A=，则AB的长是________cm．
6．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sin B，cos B，tan B．
7．在△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=20，求△ABC的周长和面积．
参考答案
1．C．2．D．3．C．4．D．5．10．
6．解：如下图所示，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，
∴BD=BC=．
∴在Rt△ABD中，．
∴sin B=，cos B=，tan B=．
7．△ABC的周长为60，△ABC的面积为150．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．正弦、余弦的概念
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即sinA=．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cosA=．
2．梯子的倾斜程度与三角函数的关系
tan A的值越大，梯子越陡；sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
3．三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦和正切都是锐角∠A的三角函数（trigonometric function），即sin A，cos A，tan A都叫做锐角A的三角形函数．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.1 锐角三角函数（2）
1．正弦、余弦的概念
sinA=，cosA=．
2．梯子的倾斜程度与三角函数的关系
tan A的值越大，梯子越陡；
sin A的值越大，梯子越陡；
cos A的值越小，梯子越陡．
3．三角函数的概念
1.1 锐角三角函数
第2课时
一、教学目标
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.
2．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明.
3．能够运用tan A，sin A，cos A表示直角三角形中两边的比.
4．能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.
二、教学重点及难点
重点：理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明，能用sinA，cosA表示直角三角形两边的比，能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算．
难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习正切和坡度》动画，《正弦定义》动画，《余弦定义》动画.
五、教学过程
【复习引入】
上节课我们通过梯子的倾斜程度，共同学习了正切和坡度，请回忆它们的具体内容.
正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=．
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．
当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？这节课我们就来探讨这个问题．
设计意图：通过复习，让学生回忆上节课所学的正切的相关知识，为本节课的学习做好铺垫．
【探究新知】
议一议 如下图所示，B1C1⊥AC1，垂足为C1，B2C2⊥AC1，垂足为C2．
（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和呢？
（3）如果改变B2在梯子B1A上的位置呢？你由此可得出什么结论？
（4）如果改变AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
师生活动：教师出示问题，引导学生思考、讨论，最后师生共同得出答案．
答：（1）Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；（2）=，=；
（3）如果改变B2在梯子B1A上的位置，仍能得到=，=；
结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值、倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关．
（4）如果改变AB1的倾斜角的大小，仍能得到=，=；
结论：如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是唯一确定的，这是一种函数关系．
设计意图：经历探索新知的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力．
教师讲解：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
【数学探究】正弦的定义，通过对动画的操作探究，可以归纳出正弦函数的定义，同时能够直观形象的展示变化过程。
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即sinA=．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cosA=．
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）．当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化．
想一想 在下图中，梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
设计意图：让学生进一步思考梯子倾斜角的正弦值和余弦值与梯子倾斜程度之间的关系，从而使学生明白梯子倾斜角的正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度．
【典例精析】
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长．
师生活动：教师出示例题，学生思考并解答．
解：在Rt△ABC中，
∵，即，
∴BC=200×0.6=120．
设计意图：利用正弦的定义求对边的长，培养学生应用所学知识解决问题的能力．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=，AC=10，AB等于多少？sinB呢？
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
解：在Rt△ABC中，∵cos A=，AC=10，∴．
∴AB=，sin B=．
设计意图：利用余弦、正弦定义的进一步应用同时渗透了sin (90°－A）=cos A，培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．如图，AD是Rt △ABC斜边BC上的高，下列是关于锐角α的三角函数的说法：（1）sin α=；（2）cos α=；（3）tan α=；（4）cos α=，其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知甲、乙两坡的坡角分别为α，β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（ ）．
A．tan α＜tan β B．sin α＜sin β C．cos α＜cos β D．cos α＞cos β
4．如图，CD是Rt △ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD的值是（ ）．
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C=90°，BC=8 cm，sin A=，则AB的长是________cm．
6．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sin B，cos B，tan B．
7．在△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=20，求△ABC的周长和面积．
参考答案
1．C．2．D．3．C．4．D．5．10．
6．解：如下图所示，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，
∴BD=BC=．
∴在Rt△ABD中，．
∴sin B=，cos B=，tan B=．
7．△ABC的周长为60，△ABC的面积为150．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．正弦、余弦的概念
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即sinA=．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cosA=．
2．梯子的倾斜程度与三角函数的关系
tan A的值越大，梯子越陡；sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
3．三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦和正切都是锐角∠A的三角函数（trigonometric function），即sin A，cos A，tan A都叫做锐角A的三角形函数．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.1 锐角三角函数（2）
1．正弦、余弦的概念
sinA=，cosA=．
2．梯子的倾斜程度与三角函数的关系
tan A的值越大，梯子越陡；
sin A的值越大，梯子越陡；
cos A的值越小，梯子越陡．
3．三角函数的概念