《2.2二次函数的图象与性质》（第1课时）优秀教案 数学北师大版 九年级下册

第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时
一、教学目标
1．经历探索二次函数y=x2图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2．能用描点法画出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质，说出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3．建立二次函数表达式与图象之间的联系，理解表达式中的系数对图象的影响.
二、教学重点及难点
重点：二次函数y=x2与y=-x2的图象特点．
难点：二次函数y=x2的图象特点的探索过程．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
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五、教学过程
【复习引入】
回忆一次函数的性质是如何研究的 一次函数的图象是什么？
师生活动：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质，一次函数的图象是一条直线．
2．通过研究一次函数性质，利用类比的方法来研究二次函数的性质。先研究什么 二次函数的图象是什么呢
师生活动：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，二次函数的图象是我们这节课将要学习的内容．
设计意图：复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质作铺垫．
【探究新知】
做一做 画出二次函数y=x2的图象．
师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．
解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维。体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识的理解，充分调动学生学习的积极性．
议一议 对于二次函数y=x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是多少？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线．
（2）图象与x轴有交点，交点坐标是（0，0）．
（3）当x＜0时，y的值随x值的增大而减小；当x＞0时，y的值随x值的增大而增大．
（4）当x=0时，y的值最小，最小值是0，通过观察图象可以得到．
（5）图象是轴对称图形，对称轴是y轴，对称点有很多，如（-1，1）和（1，1），（-2，4）和（2，4）等．
设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．
归纳
二次函数y=x2的性质：二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0．
（二次函数y=x2图象）
设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识．注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点.
做一做 画出二次函数y=-x2的图象，并观察二次函数y=-x2的图象是什么形状？它的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？
师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然后小组讨论、交流得出答案．
解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
由图象可知二次函数y=-x2的图象是一条开口向下的抛物线；图象有最高点，其顶点坐标为（0，0）；当x=0时，y有最大值，最大值为0；对称轴是y轴；当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，当x＞0时，y的值随x值的增大而减小；图象与x轴有一个交点，交点坐标为（0，0）．
（二次函数y=-x2图象）
二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象形状相同，但是开口向下，这两个函数的图象关于x轴成轴对称．
（二次函数y=x2和y=-x2图象）
设计意图：培养学生主动学习的能力，增强自信心．
【典例精析】
例 下列说法正确的是（ ）．
A．抛物线y=x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大
B．抛物线y=-x2图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大
C．抛物线y=x2与y=-x2开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x的增大而增大
D．当x＜0时，y=x2中y的值随x的值增大的变化情况与x＞0时，y=-x2中y的值随x的值增大的变化情况相同
师生活动：学生独立完成本题，教师找学生代表回答并讲解出现的问题．
答案：D．
设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
【课堂练习】
1．下列关于抛物线y=x2和y=-x2的关系的说法错误的是（ ）．
A．抛物线y=x2与y=-x2有相同的顶点和对称轴
B．抛物线y=x2与y=-x2关于x轴成轴对称
C．抛物线y=x2与y=-x2与x轴交点相同
D．点A(-1，1)既在抛物线y=x2上，又在抛物线y=-x2上
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=-1与y=-x2的图象为（ ）．
3．已知a＜-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）．
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
4．在同一直角坐标系中，抛物线y=x2，y=-x2的共同特点是（ ）．
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小
D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点
5．若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是________．
6．设直线y=ax+b与抛物线y=x2的交点A，B的横坐标分别为3，-1．
（1）求a，b的值；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．
师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．
参考答案：
1．D．2．C．3．C．4．D．5．(-2，4)．
6．解：（1）当x=3时，y=32=9；当x=-1时，y=(-1)2=1．
故点A，B的坐标分别为(3，9)，(-1，1)．
又∵点A，B在直线y=ax+b上，
∴解得
（2）如图，抛物线y=x2的顶点C就是坐标原点O(0，0)．
∵a=2，b=3，
∴直线的解析式为y=2x+3．
设直线y=2x+3与y轴的交点为D，则点D的坐标为(0，3)．
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=×3×1+×3×3=6．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．二次函数y=x2的图象与性质：
（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0．
2．二次函数y=-x2的图象与性质：
（1）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，即当x=0时，y有最大值0．
3．二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象形状相同，但开口相反，这两个函数的图象关于x轴成轴对称．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.2 二次函数的图象与性质（1）
1．二次函数y=x2的图象与性质
2．二次函数y=-x2的图象与性质
3．二次函数y=x2y=-x2的图象区别