3.3《垂径定理》优秀教案 数学北师大版 九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3《垂径定理》优秀教案 数学北师大版 九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 21:06:12 | ||
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文档简介
第三章 圆
3.3 垂径定理
一、教学目标
探索并证明垂径定理，发展推理能力.
二、教学重点及难点
重点：探索垂径定理及其逆定理．
难点：垂径定理及其逆定理的应用．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
《赵州桥》图片.
五、教学过程
【情境导入】
1400多年前，我国隋代建造赵州石拱桥是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？(结果精确到0.1 m)．
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这个问题．
设计意图：让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，这样有助于定理的得出．
【探究新知】
议一议 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．
答：（1）是轴对称图形，对称轴是线段CD所在的直线．
（2）发现：AM=BM，，．理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△ OAM≌Rt△ OBM．
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴．
∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD．
∴．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
设计意图：通过复合图形的轴对称性，探索垂径定理，鼓励学生探索方式的多样性，让学生在探究的过程中发现规律，在此基础上通过交流使得所有学生有所收获．
想一想 如图所示，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．
答：（1）是轴对称图形，对称轴是线段CD所在的直线．
（2）发现：AM=BM，，．理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB．
在△AOB中，
∵直径CD平分弦AB，
∴AM=BM，CD⊥AB，∠AOC=∠BOC．
∴．
∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD．
∴．
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
设计意图：让学生亲自动手，独立进行实验、探究垂径定理的一个逆定理，通过交流得出结论，在这一过程中体会研究图形的多种方法，激发学生的求知欲望，鼓励有能力的学生书写证明过程．
【典例精析】
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是所在圆的圆心），其中CD=600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：连接OC．设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD，∴．
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2．
解这个方程，得R=545．
所以，这段弯路的半径为545 m．
设计意图：对垂径定理进行应用，解题过程中使用了列方程的方法，渗透用代数方法解决几何问题的思想，培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
现在我们再回过头来看本节课开始提出的问题．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后再分析、讲解出现的问题．
教师分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA．
根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
由题设可知AB=37 .4m，CD=7.2 m．
所以(m)，OD=OC-CD=R-7.2．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
【课堂练习】
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）．
A．CM=DM B．AC=AD
C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（ ）．
A．4 B．8
C．2 D．4
4．如图，在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ）．
A．AC=BC B．
C． D．OC=CN
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB=10，CD=6，则BE的长是（ ）．
A．4 B．3
C．2 D．1
6．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为E，若EO=3，AB=8，则ED=______，⊙O的半径r=_______．
7．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为__________．
8．在直径为650 mm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如下图所示，若油面宽为600 mm，求油的最大深度．
参考答案
1．B．2．C．3．D．4．D．5．D．6．8；5．
7．(6，0)．
8．解：作OD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为C，连接AO．
∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC=BC=AB=×600=300(mm)．
在Rt△AOC中，因为(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．
六、课堂小结
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.3 垂径定理
1．垂径定理
2．垂径定理的逆定理
3.3 垂径定理
一、教学目标
探索并证明垂径定理，发展推理能力.
二、教学重点及难点
重点：探索垂径定理及其逆定理．
难点：垂径定理及其逆定理的应用．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
《赵州桥》图片.
五、教学过程
【情境导入】
1400多年前，我国隋代建造赵州石拱桥是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？(结果精确到0.1 m)．
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这个问题．
设计意图：让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，这样有助于定理的得出．
【探究新知】
议一议 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．
答：（1）是轴对称图形，对称轴是线段CD所在的直线．
（2）发现：AM=BM，，．理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△ OAM≌Rt△ OBM．
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴．
∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD．
∴．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
设计意图：通过复合图形的轴对称性，探索垂径定理，鼓励学生探索方式的多样性，让学生在探究的过程中发现规律，在此基础上通过交流使得所有学生有所收获．
想一想 如图所示，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．
答：（1）是轴对称图形，对称轴是线段CD所在的直线．
（2）发现：AM=BM，，．理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB．
在△AOB中，
∵直径CD平分弦AB，
∴AM=BM，CD⊥AB，∠AOC=∠BOC．
∴．
∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD．
∴．
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
设计意图：让学生亲自动手，独立进行实验、探究垂径定理的一个逆定理，通过交流得出结论，在这一过程中体会研究图形的多种方法，激发学生的求知欲望，鼓励有能力的学生书写证明过程．
【典例精析】
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是所在圆的圆心），其中CD=600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：连接OC．设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD，∴．
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2．
解这个方程，得R=545．
所以，这段弯路的半径为545 m．
设计意图：对垂径定理进行应用，解题过程中使用了列方程的方法，渗透用代数方法解决几何问题的思想，培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
现在我们再回过头来看本节课开始提出的问题．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后再分析、讲解出现的问题．
教师分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA．
根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
由题设可知AB=37 .4m，CD=7.2 m．
所以(m)，OD=OC-CD=R-7.2．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
【课堂练习】
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）．
A．CM=DM B．AC=AD
C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（ ）．
A．4 B．8
C．2 D．4
4．如图，在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ）．
A．AC=BC B．
C． D．OC=CN
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，若AB=10，CD=6，则BE的长是（ ）．
A．4 B．3
C．2 D．1
6．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为E，若EO=3，AB=8，则ED=______，⊙O的半径r=_______．
7．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为__________．
8．在直径为650 mm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如下图所示，若油面宽为600 mm，求油的最大深度．
参考答案
1．B．2．C．3．D．4．D．5．D．6．8；5．
7．(6，0)．
8．解：作OD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为C，连接AO．
∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC=BC=AB=×600=300(mm)．
在Rt△AOC中，因为(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．
六、课堂小结
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.3 垂径定理
1．垂径定理
2．垂径定理的逆定理