#3.7《切线长定理》优秀教案 数学北师大版 九年级下册
文档属性
| 名称 | #3.7《切线长定理》优秀教案 数学北师大版 九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 21:09:05 | ||
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文档简介
第三章 圆
3.7 切线长定理
一、教学目标
探索并证明切线长定理，发展推理能力．
二、教学重点及难点
重点：切线长定理及其运用．
难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
三、教学用具
多媒体课件，圆规。
四、相关资源
微课，知识导图.
五、教学过程
【复习导入】
通过学习圆的切线的性质定理和圆的切线的判定定理，知道了过圆上任意一点都可以作该圆的一条切线，并且只能作一条．那么过圆外一点作圆的切线，能作几条呢？它们又有哪些性质呢？这节课我们就来探究这个问题．
师生活动：教师出示问题，学生尝试从圆外一点画圆的切线得出只能画2条的结论．
设计意图：回顾前面所学知识，引出本节课所学内容．
【探究新知】
议一议 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．
答：（1）这个图形是轴对称图形，它的对称轴是过P点和圆心O的一条直线．
（2）能，PA=PB；理由：如图，连接OA，OB，OP．
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°．
在Rt△AOP和Rt△BOP中．
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP．
∴PA=PB．
教师也可引导学生用轴对称性来探索切线长定理．
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
注意：切线是直线，它是无限长的；切线长是用线段的长来定义的，这条线段的一个端点是切点，另一个端点是切线上的一点，不能笼统地说切线长，而应该说某点到圆的切线长．
结论：切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
设计意图：引导学生用轴对称性探究切线长定理，使学生加深对定理的理解，有助于学生记忆定理．
想一想 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，学生得出答案．
答：利用切线长定理可得：圆外切四边形ABCD的两组对边之和相等，即AD+BC=AB+CD．
设计意图：利用切线长定理研究圆外接四边形边之间的关系，培养学生运用所学知识解决问题的能力和归纳总结能力．
【典例精析】
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案．
解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF，设OD=r．
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，∴AB=．
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF．
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形．∴CE=CF=r．∴BE=24-r，AF=10-r．
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r．而AB=26，∴34-2r=26．
∴r=4，即⊙O的半径为4．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识，运用切线长定理和勾股定理解决问题．
【课堂练习】
1．如图，AE切⊙D于点E，若AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）．
A． B．15
C． D．20
2．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）．
A．50 B．52 C．54 D．56
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，连接AB与PO，PO与⊙O交于点C，下列结论中，正确的有___________．
①PA=PB；②PO平分∠APB；③AB被OP垂直平分．
4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°.连接AC，则∠A的度数是________．
5．如图，P是⊙O直径BC延长线上的一点，PA与⊙O相切于点A，CD⊥PB，且PC=CD，CD=3，则PB=________．
6．已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm．过点P画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长= ．
7．已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE=2，CD=1，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆O的半径r．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．C．2．B．3．①②③．4．35°．
5．+9．6．cm．
7．解：连接AO，BO，CO．
∵⊙O是△ABC的内切圆，且D，E，F是切点，
∴AF=AE=2，BD=BF=3，CE=CD=1．∴AB=5，BC=4，AC=3．
又∵S△ABC=6，∴．
∴r=1．∴所求的内切圆O的半径为1．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识．
六、课堂小结
1．切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.7 切线长定理
1．切线长
2．切线长定理
3.7 切线长定理
一、教学目标
探索并证明切线长定理，发展推理能力．
二、教学重点及难点
重点：切线长定理及其运用．
难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
三、教学用具
多媒体课件，圆规。
四、相关资源
微课，知识导图.
五、教学过程
【复习导入】
通过学习圆的切线的性质定理和圆的切线的判定定理，知道了过圆上任意一点都可以作该圆的一条切线，并且只能作一条．那么过圆外一点作圆的切线，能作几条呢？它们又有哪些性质呢？这节课我们就来探究这个问题．
师生活动：教师出示问题，学生尝试从圆外一点画圆的切线得出只能画2条的结论．
设计意图：回顾前面所学知识，引出本节课所学内容．
【探究新知】
议一议 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．
答：（1）这个图形是轴对称图形，它的对称轴是过P点和圆心O的一条直线．
（2）能，PA=PB；理由：如图，连接OA，OB，OP．
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°．
在Rt△AOP和Rt△BOP中．
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP．
∴PA=PB．
教师也可引导学生用轴对称性来探索切线长定理．
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
注意：切线是直线，它是无限长的；切线长是用线段的长来定义的，这条线段的一个端点是切点，另一个端点是切线上的一点，不能笼统地说切线长，而应该说某点到圆的切线长．
结论：切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
设计意图：引导学生用轴对称性探究切线长定理，使学生加深对定理的理解，有助于学生记忆定理．
想一想 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，学生得出答案．
答：利用切线长定理可得：圆外切四边形ABCD的两组对边之和相等，即AD+BC=AB+CD．
设计意图：利用切线长定理研究圆外接四边形边之间的关系，培养学生运用所学知识解决问题的能力和归纳总结能力．
【典例精析】
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案．
解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF，设OD=r．
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，∴AB=．
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF．
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形．∴CE=CF=r．∴BE=24-r，AF=10-r．
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r．而AB=26，∴34-2r=26．
∴r=4，即⊙O的半径为4．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识，运用切线长定理和勾股定理解决问题．
【课堂练习】
1．如图，AE切⊙D于点E，若AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（ ）．
A． B．15
C． D．20
2．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）．
A．50 B．52 C．54 D．56
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，连接AB与PO，PO与⊙O交于点C，下列结论中，正确的有___________．
①PA=PB；②PO平分∠APB；③AB被OP垂直平分．
4．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°.连接AC，则∠A的度数是________．
5．如图，P是⊙O直径BC延长线上的一点，PA与⊙O相切于点A，CD⊥PB，且PC=CD，CD=3，则PB=________．
6．已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm．过点P画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长= ．
7．已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE=2，CD=1，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆O的半径r．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．C．2．B．3．①②③．4．35°．
5．+9．6．cm．
7．解：连接AO，BO，CO．
∵⊙O是△ABC的内切圆，且D，E，F是切点，
∴AF=AE=2，BD=BF=3，CE=CD=1．∴AB=5，BC=4，AC=3．
又∵S△ABC=6，∴．
∴r=1．∴所求的内切圆O的半径为1．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识．
六、课堂小结
1．切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.7 切线长定理
1．切线长
2．切线长定理