3.8《圆内接正多边形》优秀教案 数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.8《圆内接正多边形》优秀教案 数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 21:13:35 | ||
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文档简介
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
一、教学目标
1．了解圆内接正多边形的概念
2．会用尺规作圆的内接正方形和正六边形.
二、教学重点及难点
重点：了解有关概念，会进行计算．
难点：探索正多边形的中心角、边心距、边长之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件，圆规。
四、相关资源
多张《生活中的正多边形》图片，引入视频
五、教学过程
【情境导入】
观看下列美丽的图案：
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
设计意图：结合美丽的图片，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受数学美．
【探究新知】
如下图，我们把顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
如下图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．
注：还可以借助其他正多边形对这些概念举一反三。实际上，正多边形的中心指的是其外接圆（或内切圆）的圆心，半径指的是其外接圆的半径，边心距是指的是其内切圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角．
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师鼓励学生探索用多种方法作出圆的内接正六边形．
答：方法1，因为正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形．
方法2，为了减少累积误差，通常像下图这样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．
设计意图：通过画正多边形，培养学生的画图能力．利用尺规作圆内接正六边形的方法不止一种，可鼓励学生探索多种方法．
想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并尝试完成．
答：在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到了圆内接正四边形．
议一议 如何用直尺和圆规作一个已知圆的内接正五边形呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成．
答：（1）作⊙C；（2）作直径AB；
（3）过点C作AB的垂线交⊙C于点P；
（4）取BC的中点D；
（5）以点D为圆心，以DP为半径作弧交AB于点E；
（6）以点P为圆心，以PE为半径作弧交⊙C于点F；
（7）在⊙C上依次截取等于PF的弦，就可以作出圆的内接正五边形．
设计意图：加深学生对正多边形与圆相关知识的理解，进一步熟悉如何画正多边．
【典例精析】
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：如图，连接OD．
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD==60°．∴△COD为等边三角形．
∴CD=OC=4．在Rt△COG中，OC=4，CG=BC=×4=2，
∴OG=．
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为．
设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．正n边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
【课堂练习】
1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上的一点，则∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．120°
C．30° D．30°或150°
2．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
3．正六边形的边心距与边长之比为（ ）．
A．∶3 B．∶2
C．1∶2 D．∶2
4．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为___________．
5．如图，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN，则∠MON=_______度．
6．分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．B．
4．100π-．5．45．
6．解：如图所示，连接OB，OC．过点O作OG⊥BC交BC于点G．
∵△ABC为圆内接正三角形，∴∠BAC=60°．∴∠BOC=120°．
∴∠COG=60°．∴∠OCG=30°．在Rt△COG中，边心距OG=(cm)，
由勾股定理，得CG=(cm)．∴边长BC=2CG=(cm)．
设计意图：让学生在练习过程中，进一步熟悉本节课的重点内容．
六、课堂小结
1．圆内接正多边形及其相关概念
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形；这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.8 圆内接正多边形
1．圆内接正多边形及其相关概念
2．正多边形
3.8 圆内接正多边形
一、教学目标
1．了解圆内接正多边形的概念
2．会用尺规作圆的内接正方形和正六边形.
二、教学重点及难点
重点：了解有关概念，会进行计算．
难点：探索正多边形的中心角、边心距、边长之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件，圆规。
四、相关资源
多张《生活中的正多边形》图片，引入视频
五、教学过程
【情境导入】
观看下列美丽的图案：
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
设计意图：结合美丽的图片，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受数学美．
【探究新知】
如下图，我们把顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
如下图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．
注：还可以借助其他正多边形对这些概念举一反三。实际上，正多边形的中心指的是其外接圆（或内切圆）的圆心，半径指的是其外接圆的半径，边心距是指的是其内切圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角．
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师鼓励学生探索用多种方法作出圆的内接正六边形．
答：方法1，因为正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形．
方法2，为了减少累积误差，通常像下图这样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．
设计意图：通过画正多边形，培养学生的画图能力．利用尺规作圆内接正六边形的方法不止一种，可鼓励学生探索多种方法．
想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并尝试完成．
答：在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到了圆内接正四边形．
议一议 如何用直尺和圆规作一个已知圆的内接正五边形呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成．
答：（1）作⊙C；（2）作直径AB；
（3）过点C作AB的垂线交⊙C于点P；
（4）取BC的中点D；
（5）以点D为圆心，以DP为半径作弧交AB于点E；
（6）以点P为圆心，以PE为半径作弧交⊙C于点F；
（7）在⊙C上依次截取等于PF的弦，就可以作出圆的内接正五边形．
设计意图：加深学生对正多边形与圆相关知识的理解，进一步熟悉如何画正多边．
【典例精析】
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：如图，连接OD．
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD==60°．∴△COD为等边三角形．
∴CD=OC=4．在Rt△COG中，OC=4，CG=BC=×4=2，
∴OG=．
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为．
设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．正n边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
【课堂练习】
1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上的一点，则∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．120°
C．30° D．30°或150°
2．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
3．正六边形的边心距与边长之比为（ ）．
A．∶3 B．∶2
C．1∶2 D．∶2
4．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为___________．
5．如图，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN，则∠MON=_______度．
6．分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．B．
4．100π-．5．45．
6．解：如图所示，连接OB，OC．过点O作OG⊥BC交BC于点G．
∵△ABC为圆内接正三角形，∴∠BAC=60°．∴∠BOC=120°．
∴∠COG=60°．∴∠OCG=30°．在Rt△COG中，边心距OG=(cm)，
由勾股定理，得CG=(cm)．∴边长BC=2CG=(cm)．
设计意图：让学生在练习过程中，进一步熟悉本节课的重点内容．
六、课堂小结
1．圆内接正多边形及其相关概念
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形；这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.8 圆内接正多边形
1．圆内接正多边形及其相关概念
2．正多边形