《3.4圆周角和圆心角的关系》（第2课时）优秀教案 数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 《3.4圆周角和圆心角的关系》（第2课时）优秀教案 数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 752.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 21:14:45 | ||
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文档简介
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
一、教学目标
1．运用圆周角定理及其推论，并能理解直径所对圆周角的结论.
2．了解圆的内接四边形的定义和性质.
3．体会由一般到特殊的思想方法.
二、教学重点及难点
重点：圆周角定理的推论的应用，圆内接四边形的性质的应用．
难点：理解推论的“题设”与“结论”并能熟练运用．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
《直角尺测量工件》动画.
五、教学过程
【情境导入】
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
带着这个问题，让我们开始今天的学习吧！
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，初步了解本节课要学习的内容．
设计意图：创设问题情境，引起学生的思考，激发学生的好奇心和求知欲．
【探究新知】
想一想 （1）在下图中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
（2）在下图中，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，然后讨论、交流，教师引导，最后师生共同得出答案．
答：（1）它所对的圆周角是90°；∵BC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°．
∵∠BAC=∠BOC（圆周角定理），∴∠BAC=×180°=90°．
（2）弦BC是直径；如图，连接OB，OC．∵圆周角∠A=90°，由圆周角定理可得∠A所对弧上的圆心角∠BOC的度数应为180°，即BOC应是一条线段．∴弦BC是直径．
结论：推论2 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
设计意图：让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角定理的推论2．
议一议 （1）在下图中，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
（2）如图，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，然后讨论、交流，教师引导，最后师生共同得出答案．
答：（1）∠BAD+∠BCD=180°；理由：
方法1：∵AC为⊙O的直径，∴∠B=∠D=90°．又∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-∠B-∠D=360°-90°-90°=180°．
方法2：∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角的和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．
（2）若点C的位置发生变化，仍有∠BAD+∠BCD=180°．∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角总和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．
在上面的两个图中，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
结论：推论3 圆内接四边形的对角互补．
设计意图：利用圆周角定理研究圆内接四边形的性质，引导学生采用从特殊到一般的推理方法得出结论，引导学生写出证明过程．
想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案，最后教师总结、归纳．
答：∠A=∠DCE；∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，根据同角的补角相等，∴∠A=∠DCE．
归纳 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
设计意图：进一步研究圆内接四边形外角的性质，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【典例精析】
例1 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：如图，连接OD．
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，(cm)．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．
又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=(cm)．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
例2 圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3︰2︰7，求四边形ABCD各内角的度数．
师生活动：教师出示例题，根据学生情况适当的分析、引导，学生完成本题．
教师分析：若设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x，由圆内接四边形的性质可知3x+7x=180°．解得x=18°．于是可求出各角．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即3x+7x=180°．∴x=18°．
∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°．
又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°-36°=144°．
设计意图：提高学生分析问题、解决问题的能力，让学生在思考的基础上，参与对问题的讨论，锻炼学生的表达能力，培养学生的合作意识，引导学生感受数学的价值．
【课堂练习】
1．如图，A，D是⊙O上的两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）．
A．35° B．55°
C．65° D．70°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（ ）．
A．36° B．56°
C．72° D．144°
3．如图所示，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，点D是的中点，则∠DAC的度数是____________．
4．如下图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为_________．
5．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
6．如图，在⊙O中，弦AB=2 cm，圆周角∠ACB=30°，求⊙O的直径．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．B．2．D．3．29°．4．50°．
5．答：图（2）是半圆形；理由：90°的圆周角所对的弦是直径．
6．解：如图，连接BO，并延长作出直径BD，连接AD，则∠DAB=90°．
由∠D与∠ACB都是所对的圆周角可知∠D=∠ACB=30°．
∴．又∵AB=2 cm，∴BD=4 cm．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．圆内接四边形的概念
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．
2．圆周角定理的推论
推论2 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3 圆内接四边形的对角互补．
3．圆内接四边形外角的性质
圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.4 圆周角和圆心角的关系（2）
1．圆内接四边形
2．圆周角定理的推论
3．圆内接四边形外角的性质
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
一、教学目标
1．运用圆周角定理及其推论，并能理解直径所对圆周角的结论.
2．了解圆的内接四边形的定义和性质.
3．体会由一般到特殊的思想方法.
二、教学重点及难点
重点：圆周角定理的推论的应用，圆内接四边形的性质的应用．
难点：理解推论的“题设”与“结论”并能熟练运用．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
《直角尺测量工件》动画.
五、教学过程
【情境导入】
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
带着这个问题，让我们开始今天的学习吧！
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，初步了解本节课要学习的内容．
设计意图：创设问题情境，引起学生的思考，激发学生的好奇心和求知欲．
【探究新知】
想一想 （1）在下图中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
（2）在下图中，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，然后讨论、交流，教师引导，最后师生共同得出答案．
答：（1）它所对的圆周角是90°；∵BC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°．
∵∠BAC=∠BOC（圆周角定理），∴∠BAC=×180°=90°．
（2）弦BC是直径；如图，连接OB，OC．∵圆周角∠A=90°，由圆周角定理可得∠A所对弧上的圆心角∠BOC的度数应为180°，即BOC应是一条线段．∴弦BC是直径．
结论：推论2 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
设计意图：让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角定理的推论2．
议一议 （1）在下图中，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
（2）如图，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，然后讨论、交流，教师引导，最后师生共同得出答案．
答：（1）∠BAD+∠BCD=180°；理由：
方法1：∵AC为⊙O的直径，∴∠B=∠D=90°．又∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-∠B-∠D=360°-90°-90°=180°．
方法2：∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角的和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．
（2）若点C的位置发生变化，仍有∠BAD+∠BCD=180°．∵∠BAD与∠BCD所对的圆心角总和为360°，∴∠BAD+∠BCD=×360°=180°．
在上面的两个图中，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
结论：推论3 圆内接四边形的对角互补．
设计意图：利用圆周角定理研究圆内接四边形的性质，引导学生采用从特殊到一般的推理方法得出结论，引导学生写出证明过程．
想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案，最后教师总结、归纳．
答：∠A=∠DCE；∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，根据同角的补角相等，∴∠A=∠DCE．
归纳 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
设计意图：进一步研究圆内接四边形外角的性质，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【典例精析】
例1 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：如图，连接OD．
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，(cm)．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．
又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=(cm)．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
例2 圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3︰2︰7，求四边形ABCD各内角的度数．
师生活动：教师出示例题，根据学生情况适当的分析、引导，学生完成本题．
教师分析：若设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x，由圆内接四边形的性质可知3x+7x=180°．解得x=18°．于是可求出各角．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即3x+7x=180°．∴x=18°．
∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°．
又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°-36°=144°．
设计意图：提高学生分析问题、解决问题的能力，让学生在思考的基础上，参与对问题的讨论，锻炼学生的表达能力，培养学生的合作意识，引导学生感受数学的价值．
【课堂练习】
1．如图，A，D是⊙O上的两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）．
A．35° B．55°
C．65° D．70°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（ ）．
A．36° B．56°
C．72° D．144°
3．如图所示，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，点D是的中点，则∠DAC的度数是____________．
4．如下图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为_________．
5．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
6．如图，在⊙O中，弦AB=2 cm，圆周角∠ACB=30°，求⊙O的直径．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．B．2．D．3．29°．4．50°．
5．答：图（2）是半圆形；理由：90°的圆周角所对的弦是直径．
6．解：如图，连接BO，并延长作出直径BD，连接AD，则∠DAB=90°．
由∠D与∠ACB都是所对的圆周角可知∠D=∠ACB=30°．
∴．又∵AB=2 cm，∴BD=4 cm．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．圆内接四边形的概念
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．
2．圆周角定理的推论
推论2 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3 圆内接四边形的对角互补．
3．圆内接四边形外角的性质
圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.4 圆周角和圆心角的关系（2）
1．圆内接四边形
2．圆周角定理的推论
3．圆内接四边形外角的性质