人教A版2019选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程 单元测试基础卷(含解析)

人教A版2019选择性必修第一册第二章直线与圆单元测试基础卷(原卷版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．若圆的半径为，则实数（ ）
A． B．-1 C．1 D．
2．若直线l的倾斜角满足，且，则其斜率k满足（ ）．
A． B．
C．，或 D．，或
3．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（ ）
A． B． C． D．
5．顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
6．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．集合，,且,则r的取值范围是()
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
评卷人 得分
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
评卷人 得分
三、填空题
13．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________.
14．已知直线与直线互相垂直，则实数的值是______．
15．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.
16．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
评卷人 得分
四、解答题
17．已知直线： .
(1)求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
(2)若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程.
18．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程.
19．已知圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）直线过点且被圆截得的弦长为，求的范围；
（3）已知圆的圆心在轴上，与圆相交所得的弦长为，且与相内切，求圆的标准方程.
20．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
21．已知P是直线上的动点，、是圆的两条切线，A、B是切点.
（1）求四边形面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
22．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.
（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
人教A版2019选择性必修第一册第二章直线与圆单元测试基础卷(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．若圆的半径为，则实数（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】B
【分析】
将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.
【详解】
由题意，圆的方程可化为，
所以半径为，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2．若直线l的倾斜角满足，且，则其斜率k满足（ ）．
A． B．
C．，或 D．，或
【答案】C
【分析】
由直线的倾斜角的范围，得到斜率的范围，求解即可.
【详解】
由，得，由，，
故，或.
所以本题答案为C.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在和上都是单调增函数．
3．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
4．下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件斜率为，且经过第一象限，依次讨论选项，即得解.
【详解】
由直线的斜率为，故可排除A，D
又B中直线在x,y轴的截距分别为，故不经过第一象限，排除B
故选：C
【点睛】
本题考查了直线的方程与图像，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
5．顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由四个点的坐标可求出，，， 根据斜率关系以及线段的长度，即可得结果.
【详解】
因为，，，，
所以，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件，考查了直线的斜率公式，属于基础题.
6．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合图形利用的斜率得到直线的斜率的取值范围，从而可得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】
设直线的斜率为，倾斜角为，
，，
由图可知，，所以或.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
7．集合，,且,则r的取值范围是()
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意知集合M与N中的两个圆内含或内切，由圆心距与半径差的关系可得结果.
【详解】
由得，∴圆与圆内切或内含，∴，即.故选C.
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，考查了集合间关系的转化，属于基础题.
8．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．
【详解】
如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标为,，半径为3，
由图象可知，当三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．
评卷人 得分
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.
【详解】
当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
【点睛】
直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.
10．（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程
【详解】
当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由已知得，所以或，
所以直线l的方程为或．
故选：AB
【点睛】
此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题
11．已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为
【答案】AD
【分析】
由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D.
【详解】
对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
两圆作差得即，
所以直线的方程为，故B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
对于D，圆的圆心，半径为1，
所以，故D正确.
故选：AD.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
【答案】ABD
【分析】
根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】
因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
评卷人 得分
三、填空题
13．已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________.
【答案】
【分析】
首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程.
【详解】
解析圆，圆心为，半径为1；
圆，圆心为，半径为5.
易知两圆内切，切点为，又两圆圆心都在轴上，
所以两圆公切线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型.
14．已知直线与直线互相垂直，则实数的值是______．
【答案】0或
【分析】
利用直线垂直的性质得到，解方程即得解.
【详解】
∵直线和直线垂直，
解得或.
故答案为：0或.
15．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.
【答案】（或写成）
【解析】
【分析】
光线从点射向y轴，即反射光线反向延长线经过关于y轴的对称点，则反射光线通过和两个点，设直线方程求解即可。
【详解】
由题意可知，所求直线方程经过点关于y轴的对称点为，则所求直线方程为，即.
【点睛】
此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。
16．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
【答案】
【分析】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.
【详解】
以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：
由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：
,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.
评卷人 得分
四、解答题
17．已知直线： .
(1)求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
(2)若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程.
【答案】(1)无论为何实数，直线恒过一定点,(2)
【解析】
试题分析：直线化为
,联立，解出即可得出结论．
设直线的方程为,,可得,由基本不等式可得．
解析：（1）证明：：．
则
所以无论为何实数，直线恒过一定点．
（2）由题知直线的斜率，设直线：，
，
，
，
即：
点睛：直线恒过定点在求解过程中先整理直线解析式，根据性质联立方程组即可求出直线恒过定点坐标，欲求面积最小值，给出面积表达式，利用基本不等式求解．
18．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程.
【答案】（1）；以为圆心，以5为半径的圆；（2）.
【分析】
（1）直接利用距离之比，列出方程即可求出点的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）利用相关点代入法即得．
【详解】
（1）由題意可得：
即．
即所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆．
（2）设且的中点为，
因为点为上一点，
即
即．
19．已知圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）直线过点且被圆截得的弦长为，求的范围；
（3）已知圆的圆心在轴上，与圆相交所得的弦长为，且与相内切，求圆的标准方程.
【答案】（1）或；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.
（2）当直线时，弦长最短，求出，当直线经过圆心时，弦长最长，即求.
（3）设圆，与圆相交于，两点，根据，求出两点的纵坐标，进而求出或在圆上，代入即可求解.
【详解】
（1）圆，即，
其圆心为，半径为1.
当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意.
当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，
即，
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
此时，切线方程为.
综上可得，圆的切线方程为或.
（2）当直线时，弦长最短，此时直线的方程为，
所以，
当直线经过圆心时，弦长最长，长为2，所以.
（3）设圆，与圆相交于，两点，
∵，∴两点的纵坐标分别为，，
将代入圆的方程，得或，
∴或在圆上.
∵圆内切于，
∴圆经过点或，
若圆经过和，则其标准方程为，
若圆经过和，则其标准方程为，
若圆经过和，则其标准方程为，
若圆经过和，则其标准方程为.
【点睛】
本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
20．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，定点
【分析】
（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；
（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；
（3）设直线：，，，利用
得到的关系，从而证得结论.
【详解】
（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：，
联立方程，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
【点睛】
本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.
21．已知P是直线上的动点，、是圆的两条切线，A、B是切点.
（1）求四边形面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析.
【分析】
（1）如图，而，所以只要当最小时，四边形面积取最小值，而的最小值为点到直线的距离；
（2）由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，而要使，就要，所以不存在
【详解】
解析（1）易知.如图，连接，
易知.
因为，
所以当最小时，最小.
的最小值即为点C到直线的距离，故，
所以，
所以，
即四边形面积的最小值为.
（2）不存在.理由：
由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，要使，则，显然不成立，所以这样的点P是不存在的.
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.
（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
【答案】（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【分析】
（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；
（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.
【详解】
（1），则，，
在扇形中，的长为，
所以，
同理，.
∵与无重叠，∴，即，则.
又三个扇形都在三角形内部，则，∴.
（2）∵，
∴
，
∴当时，取得最大值，为.
故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【点睛】
弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.