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1.5.1 全称量词与存在量词（分层练习）
【练基础】
1.（多选）下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R,2x2－3x＋4>0
B． x∈{1，－1,0},2x＋1>0
C． x∈N，使≤x
D．不存在x∈N*，使x为29的约数
【解析】 x∈R,2x2－3x＋4>0，正确，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，故A正确； x∈{1，－1,0},2x＋1>0，错误，若x＝－1，则2x＋1＝－1<0，故B错误； x∈N，使≤x，正确，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1,29都是29的约数，故D错误.
故选AC.
2.（多选）命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为( )
A．{3,4,5} B．{x|x>3}
C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}
【解析】根据中位数定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6中位数必为3，A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3，均正确.
故选ABCD.
3. 下列命题中形式不同于其他三个的是( )
A. x∈Z，x2－9
B. x∈R，x2－2x＋1≠0
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2，x－3<0
【解析】B
4. 下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】命题①含有存在量词；
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；
命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；
而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
故选B.
5. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在实数x，平方为8
C．所有菱形的四条边都相等
D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立
【解析】A，C选项为全称量词命题，A选项错误，C选项正确，B，D选项为存在量词命题.
故选C.
6. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
【解析】A项，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B项，x＝0时，x2＝0，所以B项既是存在量词命题又是真命题；C项，因为＋(－)＝0，所以C项是假命题；D项，对于任一个负数x，都有<0，所以D项是假命题.
故选B.
7. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【解析】当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}。又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4.
故选C.
8. （多选）下列命题是全称量词命题的是( )
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D. x∈R，x2＋1＝0
【解析】选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题.
选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.
故选AC.
【练综合】
1. 下列命题是存在量词命题的是( )
A．函数y＝x2的图像的顶点为(0，0)
B．正方形都是平行四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
【解析】含有存在量词的命题叫作存在量词命题，故D“存在实数大于或等于3”是存在量词命题．
故选D.
2. (多选题)下列命题是真命题的为( )
A． x∈R，－x2－1＜0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
【解析】对于A， x∈R，－x2≤0，
所以－x2－1＜0，此命题是真命题；
对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，此命题是真命题；对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，此命题是真命题．对于D，
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以≤<.故该命题是假命题．
故选ABC.
3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；
B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
C中由于＋(－)＝0，知C为假命题；
D中对 x<0, 都有<0，知D为假命题.
故选B.
4. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对为________．
【解析】当a＝，b＝时，存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题，故所求有序数对可以为.
5. 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
【解析】若x>0，由|x|>ax得a<＝1，
若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，
则实数a的取值范围是－16. 若 x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
【解析】因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，
所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立.
设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
【练思维】
1. 下列命题为真命题的是( )
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的素数都是奇数
【解析】若x＝，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0是假命题，故B错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是素数，但2不是奇数，故D错误．
故选C.
2. (多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )
A.{3，4，5} B.{x|x>2}
C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}
【解析】因为中位数为3，所以x≥3即可.
故选ACD.
3. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
【解析】由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠?，所以
解得2≤m≤3.
故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
4. 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围。
【解析】若x>0，由|x|>ax得a<＝1，若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，则实数a的取值范围是－1【练创新】
1. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
【解析】当该命题是真命题时，
只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.
又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，
所以a≥4.
因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4.
所以命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
故选C.
2. 设非空集合P，Q满足，P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是( )
A． x∈Q，有x∈P B． x∈P，有x Q
C． x Q，有x∈P D． x Q，有x P
【解析】由P∩Q＝Q，且P≠Q，知Q是P的真子集，所以 x Q，但x∈P.故D错误.
故选D.
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1.5.1 全称量词与存在量词（分层练习）
【练基础】
1.（多选）下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R,2x2－3x＋4>0
B． x∈{1，－1,0},2x＋1>0
C． x∈N，使≤x
D．不存在x∈N*，使x为29的约数
2.（多选）命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为( )
A．{3,4,5} B．{x|x>3}
C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}
3. 下列命题中形式不同于其他三个的是( )
A. x∈Z，x2－9B. x∈R，x2－2x＋1≠0
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2，x－3<0
4. 下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
5. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在实数x，平方为8
C．所有菱形的四条边都相等
D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立
6. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
7. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
8. （多选）下列命题是全称量词命题的是( )
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D. x∈R，x2＋1＝0
【练综合】
1. 下列命题是存在量词命题的是( )
A．函数y＝x2的图像的顶点为(0，0)
B．正方形都是平行四边形
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
2. (多选题)下列命题是真命题的为( )
A． x∈R，－x2－1＜0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
4. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对为________．
5. 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．
6. 若 x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
【练思维】
1. 下列命题为真命题的是( )
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的素数都是奇数
2. (多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )
A.{3，4，5} B.{x|x>2}
C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}
3. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
4. 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围。
【练创新】
1. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
2. 设非空集合P，Q满足，P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是( )
A． x∈Q，有x∈P B． x∈P，有x Q
C． x Q，有x∈P D． x Q，有x P
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