学科：数学
专题：解直角三角形
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，CD⊥AB，BC＝1．
(1)如果∠BCD＝30 ，求AC；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD．
( http: / / www. / )
题二：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．
(1)试写出α的四个三角函数值；
(2)若∠B=α，求BD的长？
满分冲刺
题一：
题面：如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是( )
A．200米 B．200米 C．220米 D．100(＋1)米
题二：
题面：如图，在锐角△ABC中，∠B=60°，sinA sinB＝，且AC=6．
求(1)∠A的度数；(2)AB的长．
题三：
题面：如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为( )
A．2 B．2 C． D．3
( http: / / www. / )
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：(1); (2) ( http: / / www. / ).
详解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°.
∵∠DCB=30°，∴∠B=60°.
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=.
∵BC=1，∴，则AC=.
(2)在Rt△BDC中，tan∠BCD=.
设BD=k，则CD=3k，
又BC=1，由勾股定理得：k2＋(3k)2=1，解得：k= ( http: / / www. / )或k= (舍去).
∴CD=3k= ( http: / / www. / ).
题二：
答案：(1)sinα=，cosα=，tanα=，cotα=2．(2)3
详解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，∴AD=．
(1)sinα=，
cosα=，
tanα=，
cotα==2．
(2)∵∠B=α，∠C=90°，
∴△ABC∽△DAC．
∴．
∴BC==4．
∴BD=BC CD=4 1=3．
满分冲刺
题一：
答案：D.
详解：由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝100，
∵ CD⊥AB于点D，
∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴ AD＝＝＝100.
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD＝100.
∴ AB＝AD＋DB＝100＋100＝100(＋1)(米). 故选D.
题二：
答案：(1)∠A=45°(2)6+2
详解：(1)∵∠B=60°，
∴sinB=sin60°=，
再代入sinA sinB＝，得sinA=，
∴∠A=45°．
(2)作AB边上的高CD，如图：
∵∠A=45°，AC=6，
∴AD=CD=6 sin45°=6×=6．
∴=tan∠B，
∴=，
∴DB=2，
∴AD+DB=6+2．
题三：
答案：C.
详解：∵△ABC是等边三角形，点P在∠ABC的平分线上，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF cos30°=2×.
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2 ( http: / / www. / ).
在Rt△BEP中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP= ( http: / / www. / ).故选C.学科：数学
专题：解直角三角形
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是 ，tan∠BCD的值是 .
题二：
题面：已知如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AC=BD=5，tan∠CAD=，求AB的值．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积.
题二：
题面：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=6，BC=10．则AC= 8 ，sina= .
题三：
题面：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC= ( http: / / www. / )，求AB的长.
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：;
详解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，CD⊥AB，
∴AB=．
在Rt△ABC与Rt△ACD中，∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠ACB=90°．
∴∠B=∠ACD．Rt△ABC∽Rt△ACD，∠BCD=∠A．
故sin∠ACD=sin∠B==，
tan∠BCD=tan∠A==．
题二：
答案：
详解：∵AD⊥BC，
△ADC为Rt△，又在Rt△ADC中
tan∠CAD＝，
∴设CD=x，AD=2x，
由：CD2+AD2=AC2得
x2+4x2=25，
∵x＞0∴x=,
∴在Rt△ADB中
AB==，
即AB长为
满分冲刺
题一：
答案：
详解：过点B作BE⊥AC，
∵∠A=135°，
∴∠BAE=180° ∠A=180° 135°=45°，
∴∠ABE=90° ∠BAE=90° 45°=45°，
在Rt△BAE中，
∵AB=20，
∴BE=，
∵AC=30，
∴S△ABC=AC BE=×30×=．
题二：
答案：8；.
详解：在Rt△ABC中，AC==8；
AB2=BD BC，
∴BD=3.6，CD=6.4，
在Rt△ACD中，sina==．
题三：
答案：3+ ( http: / / www. / ).
详解：过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC＝，
∴CD=AC×sinA=，AD=AC×cosA= ( http: / / www. / ).
在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=，∴AB=AD+BD=3+ ( http: / / www. / ).学科：数学
专题：三角函数综合问题
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.(结果保留根号)
金题精讲
题面：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ．
( http: / / www. / )
满分冲刺
题一：
题面：如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD= ．
题二：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
题三：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．
(1)求证：BD=BF；
(2)若BC=6，AD=4，求sinA的值．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：6+2
详解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=30°，∵sinC=，∴BC==4， ∵cosC=，∴AC=BC·cosC=2，∴△ABC的周长是6+2．
金题精讲
答案：12.
详解：∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°.∴四边形FCGE是矩形.
∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B.∴EG=BG.
同理AF=EF，∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12.
满分冲刺
题一：
答案：
详解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，
∴AB=．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A=．
题二：
答案：8．
详解：设DE为x，则CD=x，AC=9 x，
∵sinB=，
∴BD=x，
tanB=，
∴，，
解得x=3，
∴BC=x+x=8．
题三：
答案：(1)见详解(2)
详解：(1)证明：连结OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF
(2)解：设⊙O半径为r，由(1)知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴＝，
即，
∴r2 r 12=0，
解之得r1=4，r2= 3(舍去)．
在Rt△AOE中，
∴sinA=．学科：数学
专题：锐角三角函数的应用
金题精讲
题一：
题面：如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30 ，从C点向塔底B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45 ，则塔AB的高为
A．50 ( http: / / www. / )m B．100m C． ( http: / / www. / )m D．m
( http: / / www. / )
题二：
题面：在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C 如图 ，那么，由此可知，B、C两地相距 m．
满分冲刺
题一：
题面：如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 海里.
( http: / / www. / )
题二：
题面：如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度． 结果精确到1米，参考数据：
( http: / / www. / )
题三：
题面：已知，如图，斜坡PQ坡度为i=1： ，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为 .
思维拓展
题面：如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB 结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50 ．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：D
详解：根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC= ( http: / / www. / )AB 和BC=AB+100求解即可求出答案：
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB
∵CD=100，∴BC=AB+100 ∴AB+100= ( http: / / www. / )AB，解得AB= 故选D
题二：
答案：200
详解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90° 60°=30°
∴∠ACB=180° ∠ABC ∠BAC=180° 120° 30°=30°
∴∠ACB=∠BAC ∴BC=AB=200 m
满分冲刺
题一：
答案： ( http: / / www. / )
详解：作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC=30°，AP=4×2=8 ∴PC=AP×sin30°=8×=4
∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC=45°
∴PB=PC÷ ( http: / / www. / )
∴乙货船的速度为 海里/小时
( http: / / www. / )
题二：
答案：15米.
详解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米，∴AE=BE=20米
在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20
∴AF=EF－AE=20 ( http: / / www. / )－20≈15
∴AF的长约为15米
题三：
答案：8米．
详解：由已知得图：
则得Rt△CAQ和Rt△MBC，BC=NQ=1米，BN=CQ，
tan∠ACQ=tan∠BMC=1：=，
∴AC==，
∴CQ===，
∴BN=，
∴BM==，
∴MN=BN+BM=+=8，
故答案为：8米．
思维拓展
答案：300米
详解：∵在Rt△ABC中，，∴
∵在Rt△ADB中，，∴BD=2AB
∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB =200，解得：AB=300
答：小山岗的高度为300米 学科：数学
专题：锐角三角函数
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
金题精讲
题面：已知：如图,△ABC中,∠B＝30°,P为AB边上一点,PD⊥BC于D．当BP∶PA＝2∶1时, 求sin∠1、cos∠1、tan∠1.
满分冲刺
题一
题面：已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC＝30°,延长CA至D点,使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法,求tan22.5°．
题二
1.题面：已知：如图,∠AOB＝90°,AO＝OB,C、D是上的两点,∠AOD＞∠AOC,求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
2.题面：已知：如图,CA⊥AO,E、F是AC上的两点,∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
题三
化简：(其中0°＜＜90°)
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：
金题精讲
答案：
满分冲刺
题一
答案：(1)∠D＝15°,∠DBC＝75°；
(2)
(3)
题二
答案：1.(1)略 (2)略 (3)增大 (4)减小
2.(1)略 (2)增大．
题三
答案：
PAGE学科：数学
专题：锐角三角函数
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：已知：如图，△ABC中，AC 10，sinC ，sinB ，求AB．
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB 1．若OC∥BA，∠AOC 36°，则( )
A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
满分冲刺
题一：
题面：如图，△ABC中，∠C 90°，点D在AC上，已知∠BDC 45°，BD ( http: / / www. / )，AB 20，求∠A的度数.
题二：
题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
题三：
题面：已知cosα+cosβ ，sinα+sinβ ，则cos(α β) ______
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：24．
详解：作AD⊥BC于D点，如图所示，
在Rt△ADC中，AC 10，sinC ，
∴AD ACsinC 10× 8，
在Rt△ABD中，sinB ，AD 8，
则AB 24．
金题精讲
答案：C.
详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长.
∵AB∥OC，∴∠BAO ∠AOC 36°.
在Rt△BOA中，∵∠AOB 90°，AB 1，
∴BO ABsin36° sin36°.故本选项错误.
B、由A可知，选项错误.
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离.
在Rt△BOA中，∵∠BAO 36°，∠AOB 90°，∴∠ABO 54°.
∴AO AB sin54° sin54°.
在Rt△ADO中， AD AO sin36° AB sin54° sin36° sin54° sin36°.故本选项正确.
D、由C可知，选项错误.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：∠A 30°.
详解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC 45°，BD ( http: / / www. / )，
∴BC BD sin∠BDC .
∵∠C 90°，AB 20，∴.
∴∠A 30°.
题二：
答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
详解：(1)由图①，知
sin∠B1AC1 ，sin∠B2AC2 ，sin∠B3AC3 ．
∵AB1 AB2 AB3且B1C1＞B2C2＞B3C3，
∴＞＞．
∴sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3．
而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3，
而对于cos∠B1AC1 ，
cos∠B2AC2 ，
cos∠B3AC3 ．
∵AC1＜AC2＜AC3，
∴cos∠B1AC1＜cos∠B2AC2＜cos∠B3AC3．
而∠B1AC1＞∠B2AC2＞∠B3AC3．
由图②知sin∠B3AC ，
∴sin2∠B3AC ．
∴1 sin2∠B3AC 1 ．
同理，sin∠B2AC ，1 sin2∠B2AC ，
sin∠B1AC ，1 sin2∠B1AC ．
∵AB3＞AB2＞AB1，∴<<．
∴1 sin2∠B3AC＜1 sin2∠B2AC＜1 sin2∠B1AC．
∴sin2∠B3AC＞sin2∠B2AC＞sin2∠B1AC．
∵∠B3AC，∠B2AC，∠B1AC均为锐角，
∴sin∠B3AC＞sin∠B2AC＞sin∠B1AC．
而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．
而对于cos∠B3AC ，
cos∠B2AC ，
cos∠B1AC ．
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＜＜．
∴cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．
而∠B3AC＞∠B2AC＞∠B1AC．
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
(2)由(1)知
sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，
cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．
题三：
答案： ．
详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2 cos2α+2cosαcosβ+cos2β ①，
(sinα+sinβ)2 sin2α+2sinαsinβ+sin2β ②，
①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ) 1，
即cosαcosβ+sinαsinβ ，
则cos(α β) cosαcosβ+sinαsinβ ．学科：数学
专题：解直角三角形
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
准确掌握直角三角形可解的条件.
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______
直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边 两条直角边a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______
直角边a和斜边c b＝______，由______求∠A，∠B＝______
金题精讲
题一
题面：解答下列问题
（1）已知：如图1，Rt中，，于D．若，求；
（2）已知：如图2，在△ABC中，CD⊥AC于D，sin∠A=，tan∠B=3， AB=2，求BC的长．
题二
题面：已知：如图，∠C=∠ABD=90°，∠BAC=30°，AB=BD，BC=1，求：
（1）∠CAD= ______；
（2）∠CAD的三角函数值.
满分冲刺
题一
题面：已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
题二
题面：已知：如图，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，锐角∠A＝ ，∠B＝ ．
(1)求AB的长；
(2)求证：
题三
题面：已知：△ABC中，∠A＝30°，AC＝10，，求AB的长．
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：90°－∠A，c ·sinA， c ·cosA；
金题精讲
题一
答案：（1）30 （2）
题二
答案：（1）75 （2），，
满分冲刺
题一
答案：
题二
答案：(1) AB＝
(2)略
题三
答案：或
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专题：锐角三角函数的应用
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
金题精讲
题一：
题面：在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为
A． 4 ( http: / / www. / )+1.6 m B． 12+1.6 m C． 4+1.6 m D．4 ( http: / / www. / )m
题二：
题面：某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图) 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙 乙马上从C处入海，径直向B处游去 甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去 若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲乙的游泳速度都是2米/秒 问谁先到达B处？请说明理由
(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
( http: / / www. / )
满分冲刺
题一：
题面：兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D地用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为
A ( http: / / www. / ) B C ( http: / / www. / ) D
题二：
题面：水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD 如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为 ( http: / / www. / )米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米
已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
求加固后的大坝背水坡面DE的坡度
题三：
题面：如图，小明在坡度为1：2.4的山坡AB上的A处测得大树CD顶端D的仰角为45°，CD垂直于水平面，测得坡面AB长为13米，BC长为9米，A、B、C、D在一个平面内，求树高CD．
思维拓展
题面：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为
( http: / / www. / )
A.米 B.12米 C. ( http: / / www. / )米 D．10米
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：A
详解：如图，作AK⊥CD于点K，
∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK=12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°
∵，∴
∴CD=CK+DK=4+1.6= 4 ( http: / / www. / )+1.6 米 故选A
题二：
答案：乙先到达B处
详解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°
∵，∴BD=CD tan∠BCD=40×tan55°≈57.2
∵，∴
∴，
∴
答：乙先到达B处
满分冲刺
题一：
答案：D
详解：如图，在Rt△AFG中，，∠AFG=60°，
∴
在Rt△ACG中，，∠ACG=30°，
∴
又∵CF=CG－FG=30，即，解得
∴
∴这幢教学楼的高度AB为 ( http: / / www. / ) m 故选D
题二：
答案：(1)4800立方米; (2).
详解： 1 如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G
在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，，
∴，即DG= ( http: / / www. / )
又∵CE=8，∴S△DCE
又∵需加固的大坝长为150米，∴需要填方：
答：需要填土石方 ( http: / / www. / )立方米
2 在Rt△DGC中，DC=，DG= ( http: / / www. / )，
∴ ∴GE=GC+CE=32
∴DE的坡度
答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为
( http: / / www. / )
题三：
答案：26米
详解：作AD⊥BC的延长线于点D，AE垂直大树于点E，
∵山坡AB的坡比为1：2.4，
∴=1：2.4，
设AD=x，则BD=2.4x，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2=132，即x2+ 2.4x 2=132，
解得x=5，
则BD=2.4x=12米，
∵BC=9米，
∴DC=12+9=21米，
∵四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=21米，
∵在山坡AB上的A处测得大树CD顶端D的仰角为45°，
∴=tan45°，
∴DE=AE tan45°=21米，
则DC=ED+EC=21+5=26米．
思维拓展
答案：A.
详解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFD=30°
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4
∴BD=BF+EF+ED=12+2 ( http: / / www. / )
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD= ( http: / / www. / ) 故选A 学科：数学
专题：三角函数综合问题
重难点易错点解析
题面：一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC= ( http: / / www. / )，试求CD的长.
金题精讲
题面：如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．(结果保留根号)
( http: / / www. / )
满分冲刺
题一：
题面：在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，则在等式：①AB2=BD BC；②AC2=BC CD；③AD2=BD DC；④AB AC=AD BC中，正确的有 ①②③④ (填序号)．
题二：
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=AC=9，DE⊥CD交BC于点E，tan∠DCB=，则BE= ．
题三：
题面：如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若△ABF的面积为，sin∠ABC=，求⊙O的半径．
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：12－.
详解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC= ( http: / / www. / )，
∴BC=AC=，∠ABC=45°.
∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=45°.
∴BM=BC×sin45°= ( http: / / www. / )，CM=BM=12.
在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°.
∴MD=BM÷tan60°=.∴CD=CM－MD=12－ ( http: / / www. / ).
金题精讲
答案：；.
详解：∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°.
∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°.
∴ ∠A＝∠DBC＝36°.
又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC.∴
设AD＝x，则BD＝BC＝x．则，解得：x＝(舍去)或.
∴x＝ .
如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝.
在Rt△AED中，cosA＝＝＝.
( http: / / www. / )
满分冲刺
题一：
答案：①②③④
详解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，
∴△ABD∽△CBA，△ADC∽△BAC，△ABD∽△CAD，
∴AB：BD=BC：AB，AC：BC=CD：AC，AD：BD=DC：AD，AB：AD=BC：AC．
∴得到：①AB2=BD BC；②AC2=BC CD；③AD2=BD DC；④AB AC=AD BC．
∴正确的有①②③④．
题二：
答案：3．
详解：过A作AM⊥DC于M，EN∥CD交AB于N，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，CM=CD，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DCE+∠DEC=90°，∠BDE+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠DEC，∠BDE=∠DCE，
∵EN∥CD，∠CDE=90°，
∴∠DEN=90°，
∵tan∠DCE==，
∴DE=CD，tan∠BDE==，
∴EN=CD，
∵CM=CD，DE=CD，
∴DE=CM，
在△CDE和△AMC中
∵∠AMC＝∠EDC，CM＝DE，∠ACM＝∠DEC，
∴△CDE≌△AMC
∴EC=AC=9，
∵EN∥CD，
∴△BNE∽△BDC，
∴==，
∴，
∴BE=3
题三：
答案：(1)见详解；(2)圆O的半径为3．
详解：(1)证明：连接OC，则OC⊥CE，即∠DCO+∠DCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠DCO=∠DBO，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∵在△CDE和△BDE中，
CD＝BD，∠CDE＝∠BDE＝90°，DE＝DE
∴△CDE≌△BDE(SAS)，
∴∠DCE=∠DBE，
∴∠DBO+∠DBE=90°，即BE与圆O相切；
(2)过D作DG⊥AB，可得∠DGB=90°，即∠GDB+∠ABC=90°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ODG+∠GDB=90°，
∴∠ABC=∠ODG，
∵∠DGA=∠FBA=90°，
∴DG∥FB，
∴△ADG∽△AFB，
设OB=r，
∵sin∠ABC=sin∠ODG=，
∴OD=OBsin∠ABC=r，OG=ODsin∠ODG=r，
在Rt△OGD中，由勾股定理得：DG=r，
又AG=AO+OG=r+r=r，
△ADG∽△ABF，
∴=，
即，
∴BF=，
∵S△ABF=AB BF==，解得：r=3，
∴圆O的半径为3．学科：数学
专题：锐角三角函数
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：在Rt△ABC中，∠C 90°，AB 13，AC 12，则cosB ，tanB .
金题精讲
题面：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD 5，AC 6，则tanB的值是( )
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是( )
A.+1 B. +1 C. 2.5 D.
题二：
题面：当锐角A＞60°时，∠A的正弦值( )
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
题三：
题面：若sinα+cosα ，则(sinα cosα)2 .
课后练习详解
重难点易错点解析
答案：
详解：∵Rt△ABC中，∠C 90°，AC 12，AB 13，
∴BC ．
∴cosB ，
tanB ．
金题精讲
答案：C.
详解：∵CD是斜边AB上的中线，CD 5，∴AB 2CD 10.
根据勾股定理，.
∴.故选C.
满分冲刺
题一：
答案：B.
详解：设AB x，则BE x，在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE EF x，于是BF (+1)x，在直角三角形ABF中，tan∠FAB +1 tan67.5°，选B.
题二：
答案：B.
详解：∵sin60° ，当锐角变大时，它的正弦值也变大，
∴当锐角A＞60°时，∠A的正弦值大于．故选B．
题三：
答案：0.
详解：因为sinα+cosα ，所以2sinαcosα 1，
(sinα cosα)2 1 2sinαcosα 1 1 0.学科：数学
专题：锐角三角函数的应用
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
准确掌握测量中的常用概念：
仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角等
金题精讲
题一
题面：已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
题二
题面：已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向
满分冲刺
题一
题面：在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45°，游船向东航行100米后(B处)， 测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°. 试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(，结果精确到米).
题二
题面：已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石
题三
题面：已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜xC－xB｜；
(4)求B点与C点间的距离．
思维拓展
题面：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少？
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：山高
题二
答案：(1)1000m； (2)C点在A点的北偏东30°方向上．
满分冲刺
题一
答案：137米，237米
题二
答案：面积增加24m2，需用240 000m2土石．
题三
答案：(1)A(0，1)，
(2)
(3)．
(4)
思维拓展
答案：24m
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第 - 4 - 页学科：数学
专题：三角函数综合问题
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题面：已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝
30°，AB＝2a．求BC的长．
金题精讲
题一
题面：在中，AB=AC，点E在AC上，且点D在AB上，
且连结DE、BE，求证：
满分冲刺
题一
题面：如图所示，在中，，过C作于D.
求证：
题二
题面：如图所示，在中， ， .
求证：.
题三
题面：已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
讲义参考答案
重难点易错点解析
答案：．
金题精讲
题一
答案：略
满分冲刺
题一
答案：略
题二
答案：略
题三
答案：（1）略（2）
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C
A
B
E
