人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 单元测试提升卷(含解析)

人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元测试提升卷(原卷版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设M为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）
A．16， B．18， C．16， D．18，
2．直线 绕原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面（与两个圆锥面的交线为，），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．2
5．在平面直角坐标系中，若方程表示椭圆，方程表示双曲线，则对于任意满足条件的实数，，椭圆与双曲线的（ ）.
A．焦距相同 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点相同
6．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
10．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
11．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是( )
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线的斜率为 D．
12．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点.可得方程的解为__________．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是____________．
15．如图，已知椭圆和双曲线交于、、、四个点，和分别是的左右焦点，也是的左右焦点，并且六边形是正六边形．若椭圆的方程为，则双曲线的方程为____________．
16．已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，若.则以为圆心，为半径的圆的面积为________.
四、解答题
17．已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，离心率为.
（1）若为椭圆上任意一点，且横坐标为，求证：；
（2）不经过和的直线与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
19．在直角坐标系中，点，为直线：上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左 右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.
21．已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.
22．已知抛物线上的点到焦点F的距离为3.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元测试提升卷(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设M为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）
A．16， B．18， C．16， D．18，
【答案】D
【解析】
试题分析：，，所以的周长为,根据余弦定理：,
即,所以，故选D.
考点：椭圆的几何性质
2．直线 绕原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据旋转后直线的夹角得出其直线方程，结合渐近线方程，利用离心率公式，化简即可得出答案.
【详解】
直线绕原点逆时针方向旋转后得直线的倾斜角为，则旋转后的直线方程为
所以，双曲线的离心率.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
3．已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
利用抛物线的定义，将的最小值转化为焦点到直线的距离即可求得．
【详解】
解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以过焦点作直线的垂线，
则该点到直线的距离为最小值，如图所示；
由，直线，所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．
4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面（与两个圆锥面的交线为，），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易得，夹角即所求双曲线渐近线的夹角.
【详解】
∵圆锥的底面半径为1，母线长均为2，
∴,
又双曲线的两条渐近线分别平行于，，
∴，即3b2＝a2，
∴离心率e
故选：
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．在平面直角坐标系中，若方程表示椭圆，方程表示双曲线，则对于任意满足条件的实数，，椭圆与双曲线的（ ）.
A．焦距相同 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点相同
【答案】A
【分析】
由曲线的方程表示椭圆和双曲线，得m,n的范围，进而确定焦点位置及焦距，进而对照选项答案可得．
【详解】
由表示椭圆，则
且焦距为2
由表示双曲线，则 ，即为焦点在y轴上的双曲线，故其焦距为，故BCD错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响
6．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】
先根据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.
【详解】
由题意可得，即，
渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，
焦点为，，由双曲线的定义可得，
由圆可得，半径，，
连接，交双曲线于，交圆于，
此时取得最小值，且为，
则的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意知，所以，即，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程由韦达定理得出，，代入化简得直线的方程即可求出所过的定点.
【详解】
设直线的方程为，，，
由 得，
由根与系数的关系可得：，，
若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），
可得，所以，即，
所以，
，
所以，
即，解得或（舍）
所以直线的方程为，恒过点，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），得出，设直线的方程为，，即
，联立方程，结合韦达定理即可求解.
8．已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆，都在椭圆内，可得圆上的点，都在椭圆内，由此列关于，的不等式组得答案．
【详解】
由圆，得，
得圆的圆心为，半径为，
由圆，得，
得圆的圆心为，半径为，
要使圆，都在椭圆内，
则，解得．
椭圆离心率的范围是．
故选：．
【点评】
本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【答案】BC
【分析】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为；分动圆可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果.
【详解】
由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为．
当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．
①若均内切，则，
此时，
当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
当时，点在线段的垂直平分线上．
②若均外切，则，
此时，则点的轨迹与①相同．
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则．同理，当与圆内切，与圆外切时，．
此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
故选：BC．
【点睛】
本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.
10．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为 B．椭圆的短轴长为
C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为
【答案】AD
【分析】
由题意可求得的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得的值，进而可判断出A、B选项的正误；利用圆的几何性质可判断C选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径长为，
由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则，可得，
设椭圆的左焦点为点，由椭圆的定义可得，，
所以，，
当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，
则，，解得，
所以，椭圆的焦距为，A选项正确；
椭圆的短轴长为，B选项错误；
，
当且仅当、、、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，C选项错误；
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到该直线的距离为，则直线与圆相离，不合乎题意；
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，
由题意可得，整理得，解得.
D选项正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的距离和与差的最值问题，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是( )
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线的斜率为 D．
【答案】ABC
【分析】
对A,根据椭圆对称性判断即可.
对B,根据的最值判定即可.
对C,根据倾斜角的正切值判定即可.
对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可.
【详解】
对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.
故 A正确.
对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.
对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.
对D, 设则.
又由C可知直线的斜率为,故.所以.
故.故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.
12．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
A选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD选项根据B选项的结论进行变形来判断.
【详解】
由题图可得，故A不正确；
，故B正确；
由得，即，
即，故C正确，D不正确．
故选：BC
【点睛】
本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.
三、填空题
13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点.可得方程的解为__________．
【答案】
【分析】
由已知可将解方程的问题转为为双曲线的点坐标问题，求出双曲线的方程，可得点在曲线上，可得的值，可得答案.
【详解】
解：将化简可得：
，可得点到点，的距离之差的绝对值为4，故可得点到点，的距离之差的绝对值为4，
故可得该曲线为双曲线，且，，，可得，
所以该双曲线的标准方程为：，由点在曲线上，
可得，可得，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及简单性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是____________．
【答案】
【分析】
先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出的最小值，进而可求出的值，得出抛物线方程．
【详解】
由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由，得，整理得，
所以，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为，故，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．
15．如图，已知椭圆和双曲线交于、、、四个点，和分别是的左右焦点，也是的左右焦点，并且六边形是正六边形．若椭圆的方程为，则双曲线的方程为____________．
【答案】
【分析】
先根据椭圆的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中
【详解】
设
因此，即
故答案为：
【点睛】
本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，若.则以为圆心，为半径的圆的面积为________.
【答案】
【分析】
延长交于点，由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线，结合双曲线定义可求得，利用中位线性质可求得，进而得到结果.
【详解】
延长，交于点，如下图所示：
，为的角平分线，
又，，为线段的垂直平分线，.
由双曲线定义知：，，，
分别为中点，，
以为圆心，为半径的圆的面积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.
四、解答题
17．已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.
【答案】（Ⅰ）曲线的方程；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据中垂线的概念，可得，然后根据椭圆的定义，可得结果.
（Ⅱ）根据面积最大，找到点，得到直线方程，然后联立椭圆的方程，计算，同时利用圆的弦长公式计算，根据，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）由题可知：圆
圆心，半径为
又为线段的中点，在上且
所以为的中垂线，所以
又
所以点的轨迹为椭圆，
设曲线的方程
则
由
所以曲线的方程
（Ⅱ）如图
假设点在轴上方，设点
当面积最大时，则轴
所以点
则直线方程为：，即
点到直线的距离为
所以
所以
所以
【点睛】
本题考查椭圆的定义，以及直线、圆、椭圆的综合应用，熟练圆锥曲线中弦长公式以及圆的弦长公式，考验分析能力以及计算能力，属中档题.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，离心率为.
（1）若为椭圆上任意一点，且横坐标为，求证：；
（2）不经过和的直线与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4.
【分析】
（1）根据题意，先求出椭圆方程，设，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；
（2）先由直线与圆相切，得到，设，，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出，再由（1）的结论，得到，，进而可求出周期，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意，可得，又，∴，，所以椭圆；
设，则.
∵，∴.
（2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为，
则，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离为1，即，∴.
设，，由消去，整理得，
则，，，
因此
；
由（1）得，，
所以，
因此的周长为；
即周长为定值4.
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.
19．在直角坐标系中，点，为直线：上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是，和.
【分析】
(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.
(2)设直线的方程为,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.
【详解】
(1)连接,则,
则根据抛物线的定义,
点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线.
则点的轨迹的方程为.
(2)设直线的方程为,,,
联立整理得：,
,
,,
直线的方程为,
同理：直线的方程为,
令得,,,
设中点的坐标为,则,,
所以.
.
圆的半径为.
所以以为直径的圆的方程为.
展开可得,
令,可得,解得或.
所以以为直径的圆经过定点和.
(2)①当直线不与轴垂直时,设其方程为,,,
由得,,
所以,
,.
所以,
,
直线的方程为,同理可得,直线的方程为,
令得,,,
所以以为直径的圆的方程为,
即,
即,
令,可得,解得或.
所以以为直径的圆经过定点和.
②当直线与轴垂直时,,,以为直径的圆的方程为
,也经过点和.
综上,以为直径的圆经过定点和.
【点睛】
本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.
20．如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左 右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.
【分析】
（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；
（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到，，表示出直线和的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果.
【详解】
（1），，则，
设焦距为，离心率，，，
因此所求的椭圆方程为
（2）设直线方程为，设，，
由得，
，，
直线方程是，直线方程是，
由，
可得
，解得：
此直线与直线的交点落在定直线上.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立后的结果，利用韦达定理，通过计算，确定点横坐标为定值，即可求解.
21．已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点为.
【分析】
（1）设右焦点，右顶点，求出，根据题中条件，由直线与圆位置关系，列出方程，求出，即可得出椭圆方程；
（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，
设直线和的方程分别为和，设，，联立直线与椭圆方程，表示出，两点坐标，设轴上存在一定点，使得成立，根据斜率公式，由韦达定理，列出方程求解，得出，即可得出结果.
【详解】
（1）设右焦点，右顶点，
因为，所以，
因为椭圆的左顶点，
故直线方程为，即，
由题意知，，
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，
设直线和的方程分别为和，设，，
联立，得，
因为直线和椭圆交于，两点，
所以，即，
即，，
同理.
设轴上存在一定点，使得成立，
则，即，即，
因为，
，
即，
解得.
因此轴上存在一定点，使得成立.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据，得到，得出，坐标之间关系，再由直线与椭圆联立后的结果，结合韦达定理，由斜率之和为，列出方程求解，即可求解.
22．已知抛物线上的点到焦点F的距离为3.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的焦半径公式求得，代入点的坐标求出；
（2）设，，代入抛物线方程相减珀利用中点坐标得直线斜率，从而可得直线方程．
【详解】
（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，
，，解得：.
（2）设，，
则，两式作差得：，
，
为的中点，，，
直线的方程为：，即.
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径公式，考查抛物线中的点差法．圆锥曲线上点差法可以把弦中点坐标与弦所在直线斜率建立关系．