人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 新教材单元双测基础卷(含解析)

人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线新教材单元双测基础卷(原卷版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A． B．5 C． D．
5．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，则点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于( )
A． B． C． D．3
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等
10．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
12．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
三、填空题
13．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则______．
14．过抛物线的焦点F的弦AB满足（点A在x轴上方），则以AB为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.
15．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．
16．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
四、解答题
17．若椭圆经过点离心率为，过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求实数a，b的值；
（2）若，求直线AB的方程.
18．已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
20．椭圆的两个焦点，，设，分别是椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为，其内切圆周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，，为椭圆上的动点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C上一点，且M点不在坐标轴上，点，，已知直线与y轴交于点P，直线与x轴交于点Q.求证：为定值，并求出该定值.
22．已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线新教材单元双测基础卷(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
观察可知抛物线焦点在的负半轴，化成标准式求解即可
【详解】
由焦点坐标为
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线标准方程的识别，焦点坐标的求解，应熟记四种形式下对应的标准方程，属于基础题
2．若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据直线和圆线相切，可得圆心到渐近线的距离，再结合双曲线的性质，代入即可得解.
【详解】
易知双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
由题意得：圆心到渐近线的距离，
又因为，代入可得：，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查了求双曲线的离心率，考查了直线和圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了计算能力，这类题型的解题思路是根据条件直接得到之间的关系即可求得离心率，本题属于中档题.
3．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离公式列方程可得，再根据离心率公式以及可解得结果.
【详解】
取双曲线的右顶点，取双曲线的渐近线，即，
依题意得，即，
所以离心率.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的顶点、渐近线、离心率，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
4．设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线的一条渐近线：，将其与抛物线联立得：，因为只有一个公共点，所以得
5．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，则点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由题意结合圆的性质、抛物线的定义可得当抛物线焦点、点、点、圆的圆心四点共线时，点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和取最小值，由两点之间距离公式即可得解.
【详解】
抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
当在线段上时，取最小值，
所以当四点共线时，点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，如图：
由可得点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值为，
所以点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小值是.
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的性质及抛物线定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
6．已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
①动圆与两定圆都内切时：，所以
②动圆与两定圆分别内切，外切时：，所以
，
则 ，
最小值为，故选A.
7．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于( )
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】
根据抛物线几何性质及三角函数关系，结合等腰三角形性质即可求得.
【详解】
根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：
抛物线焦点为F，则，准线方程为，
直线的倾斜角等于，即，
而，所以，
由抛物线定义可知，
因而，
作于，则，，
所以，
所以在中，，
故选：C.
【点睛】
本题考查了抛物线标准方程及几何性质的简单应用，属于基础题.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
设双曲线的半焦距为，取线段的中点，根据向量关系可得为直角三角形，再利用双曲线的定义，即可得到离心率的值.
【详解】
设双曲线的半焦距为，取线段的中点，
则．
又为的中位线，为直角三角形，
又．
又．
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何中位线知识的应用.
二、多选题
9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等
【答案】AD
【分析】
根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】
双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A正确；
双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；
双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C不正确；
双曲线的焦距 ，双曲线的焦距，故D正确.
故选：AD．
10．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据椭圆的对称性可得出合适的选项.
【详解】
由于椭圆关于原点、轴、轴对称.
对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；
对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；
对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；
对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查直线截椭圆的弦长问题，考查椭圆对称性的应用，属于基础题.
11．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】
对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
【答案】CD
【分析】
设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.
【详解】
解：由已知，不妨设，
则
，故A错；
，得，，
，
，
，
，故B错；
由椭圆定义，的周长，故C正确；
设的内切圆半径为，
，，故D正确；
故选：CD.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.
三、填空题
13．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则______．
【答案】6
【分析】
利用椭圆的定义可得，两式相加即可求解.
【详解】
椭圆的，
由椭圆的定义得，，
两式相加得，
即，可得．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的周长问题，需掌握椭圆的定义，属于基础题.
14．过抛物线的焦点F的弦AB满足（点A在x轴上方），则以AB为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.
【答案】
【分析】
如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可.
【详解】
如图所示，取AB中点M，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足依次为C，D，N，
则AC//MN//CD，MN是梯形ABDC中位线，
根据抛物线定义得，，即N在以AB为直径的圆上，
即N即是以AB为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB不平行x轴，方程可设为，设
联立方程得， 则，
又依题意（点A在x轴上方），故，解得，故.易见N点坐标为，即，即公共点的坐标为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.
15．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．
【答案】
【分析】
在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，根据题意求得抛物线的标准方程，可求得该抛物线的焦点坐标，进而可得出结果.
【详解】
如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，，解得，
所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线方程的实际应用，考查计算能力，属于基础题.
16．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
【答案】
【分析】
由已知得出椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，可得出椭圆的方程.
【详解】
由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于基础题.
四、解答题
17．若椭圆经过点离心率为，过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求实数a，b的值；
（2）若，求直线AB的方程.
【答案】（1），
（2）
【分析】
（1）根据离心率为，可得，将点坐标带入椭圆方程可得，.
（2）分直线和x轴平行和不平行两种情况，当直线和x轴平行时，，不满足题意，当直线和x轴不平行时，设直线为，与椭圆方程联立得，设，，再代入弦长公式求解.
【详解】
（1）因为离心率为，可得，
将点代入可得，，
所以椭圆方程为；
（2）当直线和x轴平行时，直线，不满足题意，
故直线和x轴不平行，设直线为，
联立可得，
设，
则，
解得
所以直线方程为.
【点睛】
本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接求出，即可求解；
（2）利用点差法，设，，由题意得，然后，
得到斜率，再代入中点，即可出，进而求出直线l的方程
【详解】
（1）由题意可知，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，由题意得
两式相减，得，
即，
所以直线的斜率.
因为点是线段的中点，
所以，，所以
所以直线的方程为，即.
【点睛】
关键点睛：利用点差法和中点求出斜率是解题关键，属于基础题
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）或（2）
【分析】
（1）设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值.
（2）由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积.
【详解】
（1）是双曲线的两个焦点，
则
设点到另一个焦点的距离为，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点到另一个焦点的距离为或.
（2）是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.
20．椭圆的两个焦点，，设，分别是椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为，其内切圆周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，，为椭圆上的动点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）恒过定点.
【分析】
（1）根据条件，求出b，c的值，从而求出椭圆的方程；
（2）设直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及，求出m，可得直线恒过定点．
【详解】
（1）依题意，四边形的面积为，
则，即
又四边形的内切圆周长为，记内切圆半径为，
由，得，
由得，
又，且，
故或
所以椭圆的方程为或.
（2）因为，所以椭圆的方程为，则
设，，由题意知直线斜率存在，设直线方程为
则由得，
则．
Δ，
由，可得，即
即，又，
所以
整理得
解得（舍去）或
又满足式
故直线方程为
所以直线恒过定点.
【点睛】
本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，考查了向量坐标表示垂直，是一道中档题．
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C上一点，且M点不在坐标轴上，点，，已知直线与y轴交于点P，直线与x轴交于点Q.求证：为定值，并求出该定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，4.
【分析】
（1）根据离心率可得，设椭圆C的方程为，带入特殊点即可求得b从而写出椭圆的方程；（2）设点，可写出直线的两点式方程，令求出即可求得的表达式，同理求出从而求出的表达式，两式相乘化简即可得解.
【详解】
（1）由可得，可设椭圆C的方程为，
又点在椭圆C上，所以，解得，
因此，椭圆C的方程为.
（2）设椭圆上点，则，由于M点不在坐标轴上，直线和直线都存在斜率，则直线：，令，得，，
直线：，令，得，，
所以
，
，代入上式得
，
故为定值4.
【点睛】
本题考查椭圆的方程与简单几何性质、椭圆与直线的综合应用，属于中档题.
22．已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）根据题中所给的方程，求得的值，代入菱形面积公式得到答案；
（2）右焦点，直线的方程为，设，，由题设条件知，，由此可求出的面积；
（3）假设在线段上是否存在点，设直线的方程为，由题意知，将中点坐标用表示，利用，建立关于方程，再由方程有解，即可求出的范围.
【详解】
（1）由椭圆方程得，则，
所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积
；
（2）右焦点，直线的方程为，
设，，
由得，
解得，
所以；
（3）假设在线段上是否存在点，
使得以、为邻边的平行四边形是菱形，
因为直线与轴不垂直，
所以设直线的方程为，
由，可得，
所以，
设中点为，则，
，
即，
，
整理得，关于的方程有解，
所以，.
所以满足条件的点存在，且的取值范围是.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.