苏教版选择性必修第一册2.3圆与圆的位置关系 同步教学课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
第2章 圆与方程
2.3　圆与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
素养要求
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　(1)圆与圆相切包含哪几种情况？
提示　内切和外切两种情况.
(2)两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？
提示　将两个方程化成一般式，然后作差即可求得.
2.填空　圆与圆的位置关系
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：通过两圆方程联立方程组的公共解的个数进行判断.
相交
内切或外切
外离或内含
温馨提醒　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的具体位置关系.
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
(3)两圆的公切线位置的5种情况(如图所示).
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.
B
3.做一做　圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
题型一　圆与圆的位置关系的判断
解　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径.
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
思维升华
训练1 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？
解　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，
(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围.
例2 已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是
_________________________________________.
题型二　两圆相切问题
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析　设圆C的半径为r，
∴当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
思维升华
训练2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19
C.9 D.－11
C
解析　C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为
(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25).
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，
题型三　与两圆相交有关的问题
例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆是否相交，若相交，求公共弦所在直线的方程及公共弦长.
解　将两圆方程配方化为标准方程，得
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴两圆相交.
将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
处理两圆相交的有关问题的方法
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
思维升华
解　由题意将C1，C2两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1，1)，
课堂小结
1.掌握1个知识点
圆与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)圆与圆的位置关系的判断方法.
(2)求两圆公共弦长的方法.
3.重视1个易错点
判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.圆C1：x2＋y2＝9和C2：x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　)
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
B
因为|r1－r2|＝1＜C1C2＜3＋4＝r1＋r2，
所以两圆相交.
2.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(　　)
A.x＋y＋2＝0 B.x＋y－2＝0
C.5x＋3y－2＝0 D.不存在
A
3.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为(　　)
A.2 B.－5
C.2或－5 D.不确定
C
解析　两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3，2，
4.(多选)若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)与圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)相切，则实数a的值可以为(　　)
A.±3r B.±r C.±4r D.±2r
AB
解析　圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(a，0)，半径为r，圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为2r.当两圆外切时，有|a|＝3r，此时a＝±3r(r>0)；当两圆内切时，有|a|＝r，此时a＝±r(r>0).综上，当a＝±3r(r>0)时两圆外切；当a＝±r(r>0)时，两圆内切.故选AB.
5.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　)
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
CD
6.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为______________.
x＋y－3＝0
解析　∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
7.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.
8.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是______________________.
x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
9.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长.
10.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
解　当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件.
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
11.(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　 　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
ABD
解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，所以线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
12.已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为____________.
(－2，－1)
13.已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
解　把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
若方程C表示圆，则5－m>0，
解得m<5；
所以m的取值范围为(－∞，5).
(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
解　把圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0化为标准方程得(x－4)2＋(y－6)2＝16，圆心坐标为(4，6)，半径为4，又圆C的圆心为(1，2)，
14.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；
解　C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0.
由题意知，圆心(3，4)到直线l1的距离等于半径2，
解　依题意，设D(a，a＋2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知CD＝5，
解得a＝－1或a＝6.∴D(－1，1)或D(6，8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
本课结束