人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 期末复习制胜宝典基础卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 期末复习制胜宝典基础卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 15:24:19 | ||
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文档简介
人教A版2019选择性必修第一册
第三章圆锥曲线期末复习制胜宝典基础卷(原卷版)
1．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
2．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
4．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点 远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．直线=与椭圆=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
8． “实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）
A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5
10．双曲线与椭圆有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或 D．
11．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．1
13．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：
①椭圆是“黄金椭圆”；②若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若，则该椭圆为“黄金椭圆”．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是__．
18．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
19．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.
20．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.
21．已知双曲线的方程为，则的右焦点到它的渐近线的距离为__________．
22．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
23．若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．
24．经过点和的双曲线的标准方程是________.
25．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．
26．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．
27．如图，已知直线交抛物线于，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积.
28．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
29．如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．
30．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.
31．已知点和点，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D，E两点，求线段的长.
32．已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
33．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
34．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
35．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
36．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断的形状，并说明理由.
人教A版2019选择性必修第一册
第三章圆锥曲线期末复习制胜宝典基础卷(解析版)
1．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
【答案】B
【分析】根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【解答】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
2．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比的斜率大，找到的关系，再求离心率的范围.
【解答】双曲线的焦点在轴，一条渐近线方程为，
这条渐近线比直线的斜率大，即，．
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、求离心率范围的问题.
3．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
【答案】B
【分析】由题意直接得轨迹为两条射线．
【解答】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，
而|F1F2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．
故选B．
【点评】本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题．
4．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点 远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意用表示，从而可求出，进而可求出椭圆的离心率.
【解答】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令地心为椭圆的右焦点，设标准方程为()，
则地心的坐标为(，0)，其中.由题意，得，，
解得，，所以.
故选:D.
【点评】本题考查了椭圆离心率的求解，属于基础题.
5．若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出、的等量关系，进而可求得该椭圆的离心率.
【解答】由于椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则，
则离心率，
故选：B.
【点评】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.
【解答】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：
所以
故选：B
【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
7．直线=与椭圆=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意，可得直线=恒过定点，利用点在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交．
【解答】由题意得直线=恒过定点，而点在椭圆=的内部，所以直线与椭圆相交.故选A．
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．
8． “实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，分两种情况讨论，则即可判断两者之间的关系.
【解答】解：若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，因此；
若，当时，此时双曲线的焦点在轴上；
当，此时双曲线的焦点在轴上；
因此“”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点评】考查必要不充分条件的判断，基础题.
9．已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）
A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，由几何知识可知，，即可求出．
【解答】如图所示：延长F2M交PF1于D
由几何知识可知，垂直平分，而，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．
10．双曲线与椭圆有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或 D．
【答案】A
【分析】利用两曲线有相同的焦点列出方程，结合的范围求值即可．
【解答】由题意知解得
故选：A
【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查学生计算能力，属于基础题．
11．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义结合选项得出答案．
【解答】当时，，满足双曲线的定义，所以点的轨迹是双曲线.
故选：A
【点评】本题考查双曲线的定义的应用，动点到两定点的距离差的绝对值小于两定点的距离为解题的关键．
12．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.
【解答】由双曲线方程可知，
因为，所以，解得： ，
又，所以.
故选：D
【点评】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：
1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.
13．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：
①椭圆是“黄金椭圆”；②若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若，则该椭圆为“黄金椭圆”．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】定义离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及、列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”
【解答】①由题意得，故，故椭圆是“黄金椭圆”；
②，即，故，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”；
③由得，化简可知，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”；
④由，得，则（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”
故选：C
【点评】本题考查了椭圆的离心率，结合椭圆方程中参数关系及离心率公式求离心率，并根据新定义判断命题是否成立
14．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
【答案】A
【分析】由椭圆方程求出其焦点坐标和离心率，从而可求出双曲线的焦点和离心率，进而可求出的值，即可得双曲线的方程
【解答】椭圆4x2＋y2＝64，即，焦点为，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36
故选：A
15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.
【解答】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．
．
从而．
因此在椭圆中长轴长，
短轴长，
．
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.
16．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义，结合，解得|，然后根据椭圆的几何性质，由求解.
【解答】根据椭圆定义，
将代入得|，
根据椭圆的几何性质，，
故，即，
故，又，
所以椭圆离心率的取值范围为
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.
17．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是__．
【答案】1
【分析】由椭圆定义和勾股定理得到|PF1||PF2|，再利用三角形面积公式可得答案.
【解答】由椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|＝4a2＝16，
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2（a2﹣c2）＝2b2＝2，
则△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|＝b2＝1．
故答案为：1．
18．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点与准线，设A(-1，a)，B(m，n)，由题意以及抛物线的定义可得m+1=，从而由|AB|=即可求解.
【解答】抛物线C:y2=4x的焦点F(1，0)和准线l:x=-1，
设A(-1，a)，B(x，y)，∵=3，∴，
∴x+1=，|AB|=.
故答案为：
19．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.
【答案】
【分析】求出双曲线的渐近线以及焦点，从而可得直线与双曲线的渐近线交于点，利用三角形的面积公式即可求解.
【解答】由双曲线方程知其渐近线方程为：，焦点，，
则直线与双曲线的渐近线交于点，，不妨设，
则.
故答案为：
20．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.
【答案】
【分析】由椭圆的定义以及离心率的定义即可求得.
【解答】解：，
又点在椭圆上，
，
.
故答案为：.
21．已知双曲线的方程为，则的右焦点到它的渐近线的距离为__________．
【答案】1
【分析】求出双曲线的焦点、渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答】由题得：其焦点坐标为，．渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离．
故答案为：1
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
22．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
【答案】
【分析】实轴长为，设，代入方程中即可求解.
【解答】解：由题知，得，
设，代入椭圆，
即，解得，
所以，得，
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
【点评】考查椭圆标准方程的求法，基础题．
23．若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．
【答案】
【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可．
【解答】设点M ，∵|MO|=
∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1
∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=
∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为
故答案为.
【点评】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M的坐标是关键.
24．经过点和的双曲线的标准方程是________.
【答案】
【分析】依题意设双曲线的方程为，即可得到方程组，解得即可；
【解答】解：设双曲线的方程为，则，解得，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，属于基础题.
25．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．
【答案】8
【分析】先将抛物线，转化为标准方程，求得焦点坐标，由斜率为1，得到直线方程，然后与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.
【解答】由抛物线得，
所以焦点坐标为，
因为斜率为1，
所以过焦点的直线方程为，
由消去，得．
设该直线与抛物线的交点的坐标分别为，
则，
所以直线被抛物线截得的弦长为．
故答案为：8
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及弦长公式的应用，属于基础题.
26．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．
【答案】2
【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，根据焦点坐标与顶点坐标求得三角形面积.
【解答】椭圆方程可化为．
，从而．
因此，两焦点为，短轴的个端点为．
∴构成的三角形的面积为．
故答案为：2.
【点评】本题主要考查椭圆的简单几何性质，属基础题.
27．如图，已知直线交抛物线于，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积.
【答案】，
【分析】首先联立，得到，，，设为抛物线这段曲线上一点，得到，从而得到，再计算面积的最大值即可.
【解答】由解得或，
所以，，.
设为抛物线这段曲线上一点，为点到直线的距离，
则有，
因为，所以当时，.
.
当时，，即.
28．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
【答案】．
【解答】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
29．如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．
【答案】x2－＝1(x≤－1)
【分析】根据题意，设圆P的半径为R，分别表示出|PF|与|PE|的长，通过分析两条线段的代数关系，再结合圆锥曲线的基本定义，进而求得圆心P的轨迹方程
【解答】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R，
则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2，
所以|PF|－|PE|＝2.
由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支，
因为a＝1，c＝2，所以b＝，
所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
【点评】本题考查圆锥曲线轨迹方程的求法，以圆为载体，内切为切入点，结合大圆与小圆的半径关系，同时结合了圆锥曲线第一定义，从几何的角度求出了轨迹方程，相比于纯代数运算降低了解题难度
30．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.
【答案】.
【分析】设F为右焦点，过F作垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作于M.由射影定理知，可得的关系，可求得双曲线的离心率.
【解答】如图所示，不妨设F为右焦点，过F作垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作于M.
由已知得M为的中点，由射影定理知，
又，渐近线的方程为，所以，于是，
即，因此，故.
【点评】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.
31．已知点和点，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D，E两点，求线段的长.
【答案】.
【分析】设点，由，利用双曲线的定义，得到点C的轨迹是双曲线，然后求得轨迹方程，再由直线方程和双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【解答】设点，则，
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，，
故，故点C的轨迹方程是.
由消去y，整理得，
因为，所以直线与双曲线有两个交点，
设，则，
故.
【点评】本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题和直线与双曲线的位置关系以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
32．已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
【答案】．
【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，由直线过椭圆右焦点，求出、的长，利用椭圆定义及可求得，再由可得到答案.
【解答】直线与x轴，y轴分别交于点，
因此，， ，
因为，
所以，
所以，从而，故椭圆E的方程为．
【点评】本题主要考查椭圆的方程及定义，还要熟练的掌握椭圆的几何性质.
33．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
【答案】.
【分析】由题意知，当△的面积最大时，点与椭圆在轴上的顶点重合，即可得出结论．
【解答】解：因为当点P为短轴端点时，最大，所以，因此，由题意知，所以，于是，故椭圆的标准方程为.
【点评】本题考查椭圆的基本性质，要求熟练掌握基本公式，属于基础题．
34．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.
【解答】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
【点评】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
35．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可.
（2）直线l的斜率一定存在，设其为k，可得l的方程为，利用焦半径公式求出，设，根据向量的坐标运算即可求解.
【解答】（1）双曲线方程可化为，
因此，所以双曲线的一个焦点是，
于是抛物线的焦点为，
则，
故抛物线的方程为．
（2）依题意，直线l的斜率一定存在，
设其为k，则l的方程为．
由可得，
设，
则．
因为，所以，即．
设，则由
得，
由于D在抛物线上，因此，可得．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，考查了基本运算能力，属于基础题.
36．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，由题设可得及，消得a、c齐次式，解得离心率；
（2）设椭圆的方程为，则，，，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.
【解答】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，
则、、.
由题设及，消得：即.
解得：或.
又，则.
（2）方法一：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴，，
∴，∴，
故，∴是直角三角形.
方法二：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴，，
∴，∴，
故，∴是直角三角形.
方法三：由条件得：在中，，，.
，
，
∴，
故，∴是直角三角形.
【点评】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题．
第三章圆锥曲线期末复习制胜宝典基础卷(原卷版)
1．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
2．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
4．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点 远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．直线=与椭圆=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
8． “实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）
A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5
10．双曲线与椭圆有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或 D．
11．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．1
13．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：
①椭圆是“黄金椭圆”；②若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若，则该椭圆为“黄金椭圆”．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是__．
18．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
19．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.
20．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.
21．已知双曲线的方程为，则的右焦点到它的渐近线的距离为__________．
22．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
23．若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．
24．经过点和的双曲线的标准方程是________.
25．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．
26．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．
27．如图，已知直线交抛物线于，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积.
28．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
29．如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．
30．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.
31．已知点和点，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D，E两点，求线段的长.
32．已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
33．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
34．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
35．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
36．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断的形状，并说明理由.
人教A版2019选择性必修第一册
第三章圆锥曲线期末复习制胜宝典基础卷(解析版)
1．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
【答案】B
【分析】根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【解答】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
2．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比的斜率大，找到的关系，再求离心率的范围.
【解答】双曲线的焦点在轴，一条渐近线方程为，
这条渐近线比直线的斜率大，即，．
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、求离心率范围的问题.
3．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
【答案】B
【分析】由题意直接得轨迹为两条射线．
【解答】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，
而|F1F2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．
故选B．
【点评】本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题．
4．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点 远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意用表示，从而可求出，进而可求出椭圆的离心率.
【解答】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令地心为椭圆的右焦点，设标准方程为()，
则地心的坐标为(，0)，其中.由题意，得，，
解得，，所以.
故选:D.
【点评】本题考查了椭圆离心率的求解，属于基础题.
5．若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出、的等量关系，进而可求得该椭圆的离心率.
【解答】由于椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则，
则离心率，
故选：B.
【点评】本题考查椭圆离心率的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.
【解答】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：
所以
故选：B
【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
7．直线=与椭圆=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意，可得直线=恒过定点，利用点在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交．
【解答】由题意得直线=恒过定点，而点在椭圆=的内部，所以直线与椭圆相交.故选A．
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．
8． “实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，分两种情况讨论，则即可判断两者之间的关系.
【解答】解：若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，因此；
若，当时，此时双曲线的焦点在轴上；
当，此时双曲线的焦点在轴上；
因此“”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点评】考查必要不充分条件的判断，基础题.
9．已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）
A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，由几何知识可知，，即可求出．
【解答】如图所示：延长F2M交PF1于D
由几何知识可知，垂直平分，而，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．
10．双曲线与椭圆有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B．1或 C．1或 D．
【答案】A
【分析】利用两曲线有相同的焦点列出方程，结合的范围求值即可．
【解答】由题意知解得
故选：A
【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查学生计算能力，属于基础题．
11．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义结合选项得出答案．
【解答】当时，，满足双曲线的定义，所以点的轨迹是双曲线.
故选：A
【点评】本题考查双曲线的定义的应用，动点到两定点的距离差的绝对值小于两定点的距离为解题的关键．
12．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.
【解答】由双曲线方程可知，
因为，所以，解得： ，
又，所以.
故选：D
【点评】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：
1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.
13．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法：
①椭圆是“黄金椭圆”；②若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；③设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；④设椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若，则该椭圆为“黄金椭圆”．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】定义离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及、列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”
【解答】①由题意得，故，故椭圆是“黄金椭圆”；
②，即，故，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”；
③由得，化简可知，解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”；
④由，得，则（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”
故选：C
【点评】本题考查了椭圆的离心率，结合椭圆方程中参数关系及离心率公式求离心率，并根据新定义判断命题是否成立
14．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
【答案】A
【分析】由椭圆方程求出其焦点坐标和离心率，从而可求出双曲线的焦点和离心率，进而可求出的值，即可得双曲线的方程
【解答】椭圆4x2＋y2＝64，即，焦点为，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36
故选：A
15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.
【解答】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．
．
从而．
因此在椭圆中长轴长，
短轴长，
．
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.
16．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义，结合，解得|，然后根据椭圆的几何性质，由求解.
【解答】根据椭圆定义，
将代入得|，
根据椭圆的几何性质，，
故，即，
故，又，
所以椭圆离心率的取值范围为
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.
17．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是__．
【答案】1
【分析】由椭圆定义和勾股定理得到|PF1||PF2|，再利用三角形面积公式可得答案.
【解答】由椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|＝4a2＝16，
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2（a2﹣c2）＝2b2＝2，
则△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|＝b2＝1．
故答案为：1．
18．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点与准线，设A(-1，a)，B(m，n)，由题意以及抛物线的定义可得m+1=，从而由|AB|=即可求解.
【解答】抛物线C:y2=4x的焦点F(1，0)和准线l:x=-1，
设A(-1，a)，B(x，y)，∵=3，∴，
∴x+1=，|AB|=.
故答案为：
19．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.
【答案】
【分析】求出双曲线的渐近线以及焦点，从而可得直线与双曲线的渐近线交于点，利用三角形的面积公式即可求解.
【解答】由双曲线方程知其渐近线方程为：，焦点，，
则直线与双曲线的渐近线交于点，，不妨设，
则.
故答案为：
20．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.
【答案】
【分析】由椭圆的定义以及离心率的定义即可求得.
【解答】解：，
又点在椭圆上，
，
.
故答案为：.
21．已知双曲线的方程为，则的右焦点到它的渐近线的距离为__________．
【答案】1
【分析】求出双曲线的焦点、渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答】由题得：其焦点坐标为，．渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离．
故答案为：1
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
22．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
【答案】
【分析】实轴长为，设，代入方程中即可求解.
【解答】解：由题知，得，
设，代入椭圆，
即，解得，
所以，得，
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
【点评】考查椭圆标准方程的求法，基础题．
23．若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____．
【答案】
【分析】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可．
【解答】设点M ，∵|MO|=
∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1
∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-（-）=
∵点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为
故答案为.
【点评】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M的坐标是关键.
24．经过点和的双曲线的标准方程是________.
【答案】
【分析】依题意设双曲线的方程为，即可得到方程组，解得即可；
【解答】解：设双曲线的方程为，则，解得，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，属于基础题.
25．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．
【答案】8
【分析】先将抛物线，转化为标准方程，求得焦点坐标，由斜率为1，得到直线方程，然后与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.
【解答】由抛物线得，
所以焦点坐标为，
因为斜率为1，
所以过焦点的直线方程为，
由消去，得．
设该直线与抛物线的交点的坐标分别为，
则，
所以直线被抛物线截得的弦长为．
故答案为：8
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及弦长公式的应用，属于基础题.
26．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．
【答案】2
【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，根据焦点坐标与顶点坐标求得三角形面积.
【解答】椭圆方程可化为．
，从而．
因此，两焦点为，短轴的个端点为．
∴构成的三角形的面积为．
故答案为：2.
【点评】本题主要考查椭圆的简单几何性质，属基础题.
27．如图，已知直线交抛物线于，两点，试在抛物线这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积.
【答案】，
【分析】首先联立，得到，，，设为抛物线这段曲线上一点，得到，从而得到，再计算面积的最大值即可.
【解答】由解得或，
所以，，.
设为抛物线这段曲线上一点，为点到直线的距离，
则有，
因为，所以当时，.
.
当时，，即.
28．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
【答案】．
【解答】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
29．如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．
【答案】x2－＝1(x≤－1)
【分析】根据题意，设圆P的半径为R，分别表示出|PF|与|PE|的长，通过分析两条线段的代数关系，再结合圆锥曲线的基本定义，进而求得圆心P的轨迹方程
【解答】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R，
则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2，
所以|PF|－|PE|＝2.
由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支，
因为a＝1，c＝2，所以b＝，
所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
【点评】本题考查圆锥曲线轨迹方程的求法，以圆为载体，内切为切入点，结合大圆与小圆的半径关系，同时结合了圆锥曲线第一定义，从几何的角度求出了轨迹方程，相比于纯代数运算降低了解题难度
30．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.
【答案】.
【分析】设F为右焦点，过F作垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作于M.由射影定理知，可得的关系，可求得双曲线的离心率.
【解答】如图所示，不妨设F为右焦点，过F作垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作于M.
由已知得M为的中点，由射影定理知，
又，渐近线的方程为，所以，于是，
即，因此，故.
【点评】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.
31．已知点和点，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D，E两点，求线段的长.
【答案】.
【分析】设点，由，利用双曲线的定义，得到点C的轨迹是双曲线，然后求得轨迹方程，再由直线方程和双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【解答】设点，则，
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，，
故，故点C的轨迹方程是.
由消去y，整理得，
因为，所以直线与双曲线有两个交点，
设，则，
故.
【点评】本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题和直线与双曲线的位置关系以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
32．已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
【答案】．
【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，由直线过椭圆右焦点，求出、的长，利用椭圆定义及可求得，再由可得到答案.
【解答】直线与x轴，y轴分别交于点，
因此，， ，
因为，
所以，
所以，从而，故椭圆E的方程为．
【点评】本题主要考查椭圆的方程及定义，还要熟练的掌握椭圆的几何性质.
33．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
【答案】.
【分析】由题意知，当△的面积最大时，点与椭圆在轴上的顶点重合，即可得出结论．
【解答】解：因为当点P为短轴端点时，最大，所以，因此，由题意知，所以，于是，故椭圆的标准方程为.
【点评】本题考查椭圆的基本性质，要求熟练掌握基本公式，属于基础题．
34．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.
【解答】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
【点评】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
35．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，O是坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点F作直线l，与抛物线相交于A，B两点，，若，且D在抛物线上，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可.
（2）直线l的斜率一定存在，设其为k，可得l的方程为，利用焦半径公式求出，设，根据向量的坐标运算即可求解.
【解答】（1）双曲线方程可化为，
因此，所以双曲线的一个焦点是，
于是抛物线的焦点为，
则，
故抛物线的方程为．
（2）依题意，直线l的斜率一定存在，
设其为k，则l的方程为．
由可得，
设，
则．
因为，所以，即．
设，则由
得，
由于D在抛物线上，因此，可得．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，考查了基本运算能力，属于基础题.
36．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断的形状，并说明理由.
【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，由题设可得及，消得a、c齐次式，解得离心率；
（2）设椭圆的方程为，则，，，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.
【解答】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，
则、、.
由题设及，消得：即.
解得：或.
又，则.
（2）方法一：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴，，
∴，∴，
故，∴是直角三角形.
方法二：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴，，
∴，∴，
故，∴是直角三角形.
方法三：由条件得：在中，，，.
，
，
∴，
故，∴是直角三角形.
【点评】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题．