江苏省无锡市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2023·无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2021九下·江阴期中）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
3．（2023·无锡）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·无锡）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·无锡）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·无锡） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·无锡）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2023·无锡）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
10．（2023·无锡）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．（2023·慈溪模拟）分解因式： ．
12．（2023·无锡）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示 ．
13．（2023·无锡）方程的解是： ．
14．（2023·无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
15．（2023·无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点： ．
16．（2023·无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
17．（2023·无锡）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ．
18．（2023·无锡）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·无锡）
（1）计算：
（2）化简：
20．（2023·无锡）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．（2023·无锡）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
22．（2023·无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 ．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
23．（2023·无锡） 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x（组别） （A） （B） （C） （D） （E） （F）
频数 21 96 a 57 b 6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
七年级 82 81
八年级 82 82
九年级 83 80
（1） ； %；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
24．（2023·无锡）如图，已知，点M是上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是 ．
25．（2023·无锡）如图，是的直径，与相交于点．过点的切线，交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的半径．
26．（2023·无锡）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
27．（2023·无锡）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
28．（2023·无锡）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
（1）请直接写出，的值；
（2）直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根.
2．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意得x-2≠0，
∴x≠2.
故答案为：C.
【分析】观察含自变量的式子是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，A不符合题意；
B、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把代入方程，
左边，
右边，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、、不是同类项，不能合并，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确，
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的函数解析式为，
当时，，
交轴于点，
交轴于点，
当时，，
平移后的函数解析式为，
故答案为：A.
【分析】一次函数图象向下平移后解析式的比例系数是不变的，与纵轴的交点向下平移2个单位长度.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得到等腰三角形是本题解题关键，再通过等腰三角形的性质和三角形的内角和得到角之间的数量关系求得所求角度数.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据正多边形的定义可知，错误；
根据正多边形的对称性可知，错误；
如图，
由正六边形与圆的对称性可知，点是正六边形与圆的对称中心，
，
六边形是正六边形，
，
，正确；
根据正边形的轴对称性可知，正确，
故答案为：C.
【分析】各条边相等，各角相等的多边形叫做正多边形；当正多边形的边数是偶数时，这个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；当正多边形的边数是奇数时，这个正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；正边形有条对称轴.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角度数构造直角三角形是本题解题关键，通过勾股定理表示出MB、BN的代数式，再利用函数的性质求得最小值.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当时，，，
，，，
，
点为中点，
，
，
，，
，，
，
，
，
不是的中线，正确；
如图，作，
当时，，，
，
，
，
，，
，
，
，错误；
如图，作，
，
，，
，，，
，，
，
点为中点，
，
，
，
，，
，
，错误；
如图，
当时，，
，，，
，
，
，
当时， 取得最大值，正确，
故答案为：A.
【分析】结合条件，构造合适的图形是解题关键，再利用相似三角形的性质和直角三角形的性质找到线段之间的数量关系，证得结论.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-4x+x2=(2-x)2.
故答案为：(2-x)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数，n的值等于原数中整数部分的位数减1），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1.
【分析】按照解分式方程的步骤求方程的解即可.
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，作，
正方形的边长为6，
，
，，
是正三角形，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：.
【分析】先由侧面展开图的边长求出底面三角形的边长，再分别计算上、下底面面积和侧面展开图面积，然后求得表面积面积.
15．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设函数表达式为，
把 点 代入表达式得，
，
函数表达式为，
故答案为：.
【分析】从点坐标可知该函数不能是反比例函数，故可以选一次函数，自定比例系数的值，再用待定系数法求出完整表达式.
16．【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竿长尺，门宽尺，门高尺，
得，
(舍去)，，
，
门高8尺，
故答案为：8.
【分析】先根据条件表示出竿、门宽、门高的尺寸，再通过勾股定理解出答案.
17．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，轴，
轴，轴，
，
，
是等边三角形，且边长为6，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
点在曲线上 ，
设，
，
，
点恰好在曲线上，
，
故答案为：6.
【分析】通过等边三角形构造一线三垂直相似模型是本题解题关键，再利用相似三角形的性质与反比例函数比例系数的几何意义求出k的值.
18．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)将分成一个三角形和梯形，
如图，当时，，
三角形和梯形面积相等，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
；
如图，当时，，
作轴，，
当时，，，
，，
，轴，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
此方案不成立；
当时，，
，
，，
，，
，
，轴，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)将分成两个三角形，
如图，将分成两个三角形，
，
是的中点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
如图，将分成两个三角形，
连接，
是的中点，
，
，
，
此方案不成立，
故答案为：或或.
【分析】分析题意可知，过点M的直线将分成两部分，这两部分可能是两个三角形，也可能是一个三角形和梯形，根据不同的情况进行分类讨论.(1)确定图形后，先利用平行的性质得到三角形相似，再通过相似三角形的性质由三角形面积得到线段之间的关系，然后通过比例求得线段长，进而得到a的值；(2)确定图形后，利用三角形中线与面积的关系求得点D坐标，再通过函数解析式求得a的值
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简平方、算术平方根和绝对值，再进行有理数加减运算.
(2)先运用平方差公式和分配律对整式进行展开，再合并同类项化简整式.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用求根公式计算一元二次方程的解.
(2)先分别计算各个不等式的解，再求不等式组的解集.
21．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用中点的定义得到全等条件，判定三角形全等.
(2)根据全等三角形的性质和中位线的性质得到四边形两组对边平行，进而证得平行四边形.
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
【分析】(1)景区A的门票数占总门票数量的比例就是抽到景区A门票的概率.
(2)先用树状图表示所有可能的结果，再计算概率.
23．【答案】（1）90；10
（2）解：七年级的平均分最高；
八年级的中位数最大；
九年级的众数最大．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：(1)(人)，(人)，
；
，
，
故答案为：90；10.
【分析】(1)先求出总人数，再通过C组所占百分比求C组人数；所有组别的百分比之和为1.
(2)利用统计图和统计表分析实际情况.
24．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）
【知识点】扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：(1)作图步骤：
作的角平分线；
以点为圆心，任意长为半径画圆，与有两个交点；
以两个交点为圆心，足够长为半径画圆，在点上方交于一点，该交点与点的连线交于点；
以点为圆心，为半径画圆，交于点，
就是所求作的圆.
(2)、与相切，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)根据题意分析可得圆心在的角平分线上，再利用切线的性质确定圆心的位置.
(2)利用切线长定理得到扇形的圆心角度数和直角三角形的边长，再通过割补法求面积.
25．【答案】（1）解：如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）解：如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先通过切线和平行线的性质得到的度数，再利用等腰三角形的性质求得的度数.
(2)证得子母型相似三角形是本题解题关键，再通过相似三角形的性质得到半径的长度.
26．【答案】（1）解：当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
∴
解得：
∴，
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
解得：
∴，
（2）解：设利润为
当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，
当销售价格为元时，利润最大为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求出不同范围的函数表达式即可.
(2)先利用函数的性质求出不同范围内的最大利润，再进行比较得到最后利润.
27．【答案】（1）解：如图，连接、，
四边形为菱形，
，，
为等边三角形．
为中点，
，，
，．
，
为等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
（2）解：如图，连接、，延长交于点．
，，，
．
∵
，
，
．
，则，
，
，
．
∵，
．
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质得到等腰直角三角形是解题关键，再利用菱形和等腰直角三角形的性质求得梯形底边和高的长度，然后运用梯形面积公式求面积.
(2)先利用勾股定理表示出的边长及斜边上的高，进而得到的面积，再通过相似三角形的性质表示出的面积，然后通过割补法表示梯形面积得到函数表达式.
28．【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点
∴
解得：
∴，，
；
（2）解：①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．
∵，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
设直线的解析式为
∴
解得：
直线解析式为．
设，
，
，
当时，取得最大值，
的最大值为．
②如图2，已知，令，则，
在上取点，使得，
∴，
设，则，
则，
解得，
∴，即．
如图3构造，且轴，相似比为，
又∵，
设，则．
分类讨论：ⅰ当时，则，
∴与的相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
ⅱ当时，则，
∴相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
综上所示，点的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)将点坐标代入函数表达式，利用待定系数法求出表达式.
(2)先通过二次函数的性质求得的三角函数值，再利用相似三角形得到EF与EG的比例，当EG有最大值时，EF的长度也最大.
结合题意，构造合适的辅助线是解题关键，先找到倍角三角函数之间的关系，再通过相似三角形的性质求出点E坐标.
1 / 1江苏省无锡市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2023·无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根.
2．（2021九下·江阴期中）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意得x-2≠0，
∴x≠2.
故答案为：C.
【分析】观察含自变量的式子是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2023·无锡）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，A不符合题意；
B、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把代入方程，
左边，
右边，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
4．（2023·无锡）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、、不是同类项，不能合并，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确，
故答案为：D.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5．（2023·无锡）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的函数解析式为，
当时，，
交轴于点，
交轴于点，
当时，，
平移后的函数解析式为，
故答案为：A.
【分析】一次函数图象向下平移后解析式的比例系数是不变的，与纵轴的交点向下平移2个单位长度.
6．（2023·无锡） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
7．（2023·无锡）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质得到等腰三角形是本题解题关键，再通过等腰三角形的性质和三角形的内角和得到角之间的数量关系求得所求角度数.
8．（2023·无锡）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据正多边形的定义可知，错误；
根据正多边形的对称性可知，错误；
如图，
由正六边形与圆的对称性可知，点是正六边形与圆的对称中心，
，
六边形是正六边形，
，
，正确；
根据正边形的轴对称性可知，正确，
故答案为：C.
【分析】各条边相等，各角相等的多边形叫做正多边形；当正多边形的边数是偶数时，这个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；当正多边形的边数是奇数时，这个正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；正边形有条对称轴.
9．（2023·无锡）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角度数构造直角三角形是本题解题关键，通过勾股定理表示出MB、BN的代数式，再利用函数的性质求得最小值.
10．（2023·无锡）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当时，，，
，，，
，
点为中点，
，
，
，，
，，
，
，
，
不是的中线，正确；
如图，作，
当时，，，
，
，
，
，，
，
，
，错误；
如图，作，
，
，，
，，，
，，
，
点为中点，
，
，
，
，，
，
，错误；
如图，
当时，，
，，，
，
，
，
当时， 取得最大值，正确，
故答案为：A.
【分析】结合条件，构造合适的图形是解题关键，再利用相似三角形的性质和直角三角形的性质找到线段之间的数量关系，证得结论.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．（2023·慈溪模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-4x+x2=(2-x)2.
故答案为：(2-x)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
12．（2023·无锡）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示 ．
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数，n的值等于原数中整数部分的位数减1），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
13．（2023·无锡）方程的解是： ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1.
【分析】按照解分式方程的步骤求方程的解即可.
14．（2023·无锡）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
【答案】
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，作，
正方形的边长为6，
，
，，
是正三角形，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：.
【分析】先由侧面展开图的边长求出底面三角形的边长，再分别计算上、下底面面积和侧面展开图面积，然后求得表面积面积.
15．（2023·无锡）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点： ．
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：设函数表达式为，
把 点 代入表达式得，
，
函数表达式为，
故答案为：.
【分析】从点坐标可知该函数不能是反比例函数，故可以选一次函数，自定比例系数的值，再用待定系数法求出完整表达式.
16．（2023·无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竿长尺，门宽尺，门高尺，
得，
(舍去)，，
，
门高8尺，
故答案为：8.
【分析】先根据条件表示出竿、门宽、门高的尺寸，再通过勾股定理解出答案.
17．（2023·无锡）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，轴，
轴，轴，
，
，
是等边三角形，且边长为6，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
点在曲线上 ，
设，
，
，
点恰好在曲线上，
，
故答案为：6.
【分析】通过等边三角形构造一线三垂直相似模型是本题解题关键，再利用相似三角形的性质与反比例函数比例系数的几何意义求出k的值.
18．（2023·无锡）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)将分成一个三角形和梯形，
如图，当时，，
三角形和梯形面积相等，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
；
如图，当时，，
作轴，，
当时，，，
，，
，轴，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
此方案不成立；
当时，，
，
，，
，，
，
，轴，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)将分成两个三角形，
如图，将分成两个三角形，
，
是的中点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
如图，将分成两个三角形，
连接，
是的中点，
，
，
，
此方案不成立，
故答案为：或或.
【分析】分析题意可知，过点M的直线将分成两部分，这两部分可能是两个三角形，也可能是一个三角形和梯形，根据不同的情况进行分类讨论.(1)确定图形后，先利用平行的性质得到三角形相似，再通过相似三角形的性质由三角形面积得到线段之间的关系，然后通过比例求得线段长，进而得到a的值；(2)确定图形后，利用三角形中线与面积的关系求得点D坐标，再通过函数解析式求得a的值
三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·无锡）
（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】(1)先化简平方、算术平方根和绝对值，再进行有理数加减运算.
(2)先运用平方差公式和分配律对整式进行展开，再合并同类项化简整式.
20．（2023·无锡）
（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用求根公式计算一元二次方程的解.
(2)先分别计算各个不等式的解，再求不等式组的解集.
21．（2023·无锡）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用中点的定义得到全等条件，判定三角形全等.
(2)根据全等三角形的性质和中位线的性质得到四边形两组对边平行，进而证得平行四边形.
22．（2023·无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 ．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为；
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
【分析】(1)景区A的门票数占总门票数量的比例就是抽到景区A门票的概率.
(2)先用树状图表示所有可能的结果，再计算概率.
23．（2023·无锡） 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x（组别） （A） （B） （C） （D） （E） （F）
频数 21 96 a 57 b 6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
七年级 82 81
八年级 82 82
九年级 83 80
（1） ； %；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
【答案】（1）90；10
（2）解：七年级的平均分最高；
八年级的中位数最大；
九年级的众数最大．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：(1)(人)，(人)，
；
，
，
故答案为：90；10.
【分析】(1)先求出总人数，再通过C组所占百分比求C组人数；所有组别的百分比之和为1.
(2)利用统计图和统计表分析实际情况.
24．（2023·无锡）如图，已知，点M是上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是 ．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）
【知识点】扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：(1)作图步骤：
作的角平分线；
以点为圆心，任意长为半径画圆，与有两个交点；
以两个交点为圆心，足够长为半径画圆，在点上方交于一点，该交点与点的连线交于点；
以点为圆心，为半径画圆，交于点，
就是所求作的圆.
(2)、与相切，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)根据题意分析可得圆心在的角平分线上，再利用切线的性质确定圆心的位置.
(2)利用切线长定理得到扇形的圆心角度数和直角三角形的边长，再通过割补法求面积.
25．（2023·无锡）如图，是的直径，与相交于点．过点的切线，交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）解：如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先通过切线和平行线的性质得到的度数，再利用等腰三角形的性质求得的度数.
(2)证得子母型相似三角形是本题解题关键，再通过相似三角形的性质得到半径的长度.
26．（2023·无锡）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】（1）解：当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
∴
解得：
∴，
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
解得：
∴，
（2）解：设利润为
当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，
当销售价格为元时，利润最大为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求出不同范围的函数表达式即可.
(2)先利用函数的性质求出不同范围内的最大利润，再进行比较得到最后利润.
27．（2023·无锡）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
【答案】（1）解：如图，连接、，
四边形为菱形，
，，
为等边三角形．
为中点，
，，
，．
，
为等腰直角三角形，
，，
翻折，
，，
，；.
同理，
，，
∴；
（2）解：如图，连接、，延长交于点．
，，，
．
∵
，
，
．
，则，
，
，
．
∵，
．
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质得到等腰直角三角形是解题关键，再利用菱形和等腰直角三角形的性质求得梯形底边和高的长度，然后运用梯形面积公式求面积.
(2)先利用勾股定理表示出的边长及斜边上的高，进而得到的面积，再通过相似三角形的性质表示出的面积，然后通过割补法表示梯形面积得到函数表达式.
28．（2023·无锡）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
（1）请直接写出，的值；
（2）直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点
∴
解得：
∴，，
；
（2）解：①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．
∵，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
设直线的解析式为
∴
解得：
直线解析式为．
设，
，
，
当时，取得最大值，
的最大值为．
②如图2，已知，令，则，
在上取点，使得，
∴，
设，则，
则，
解得，
∴，即．
如图3构造，且轴，相似比为，
又∵，
设，则．
分类讨论：ⅰ当时，则，
∴与的相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
ⅱ当时，则，
∴相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
综上所示，点的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)将点坐标代入函数表达式，利用待定系数法求出表达式.
(2)先通过二次函数的性质求得的三角函数值，再利用相似三角形得到EF与EG的比例，当EG有最大值时，EF的长度也最大.
结合题意，构造合适的辅助线是解题关键，先找到倍角三角函数之间的关系，再通过相似三角形的性质求出点E坐标.
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