人教A版高二数学选择性必修第一册3.3 抛物线 学案 (含详细解析)

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人教A版高二数学选择性必修第一册3.3抛物线同步练习(原卷版)
考点一 抛物线的定义
【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．8
2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点二 抛物线的标准方程
【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【一隅三反】
1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )
A． B．
C． D．
2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A． B． C． D．
3．（2020·江西高二期末（理））抛物线的焦点为，点是上一点，,则（ ）
A． B． C． D．
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线是抛物线的一条切线，则__________．
3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
考点四 弦长
【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．1
2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点五 定点定值
【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【一隅三反】
1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
人教A版高二数学选择性必修第一册3.3抛物线同步练习(解析版)
考点一 抛物线的定义
【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，
∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为，
把代入抛物线方程可得．
不妨设在第一象限，则，
点关于准线的对称点为，连接，
则，于是
故的最小值为．
故选B．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．8
【答案】C
【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：，
求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.
2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选D.
3．（2020·全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
如图所示，利用抛物线的定义知：
当三点共线时，的值最小，且最小值为
抛物线的准线方程：，
本题正确选项：
考点二 抛物线的标准方程
【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.
【一隅三反】
1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.
2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选D
3．（2020·江西高二期末（理））抛物线的焦点为，点是上一点，,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线焦半径公式可得：所以本题正确选项：
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB=-4,①xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴将②代入①得xB=-2,xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.
【一隅三反】
1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
直线与抛物线相切，，
双曲线方程为，
可得，
所以离心率，故选B.
2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线是抛物线的一条切线，则__________．
【答案】-4
【解析】联立直线和抛物线得到 故答案为-4.
3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，
而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，
如图示：
，
直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．
考点四 弦长
【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，
，选C．
（2）由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.
【一隅三反】
1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．1
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点为，
所以代入直线方程得，即，
所以直线方程为，
与抛物线方程联立得，
所以弦长，
又点到直线的距离为，
所以的面积为,故选B.
2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线C:()可知焦点F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为，由题意得直线的方程为,设A,B
联立消化简得,则有:,,
所以由弦长公式.
故选:D.
3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C.
考点五 定点定值
【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，两点的坐标分别为，，
则，，两式相减得.
即，
又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.
即抛物线的标准方程为.
（2）设直线：与抛物线：交于点，，
则，
，∴，
∴，，
由得，即，，
直线为，∴过定点.
【一隅三反】
1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，
，的方程为.
由得.
设，，则，
∴，，
∴抛物线C的方程为.
（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），
由得，
，
，.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴，，.
∴，
∴时，此时.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.
2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
【答案】（1）；（2）－1
【解析】（1）∵椭圆的右焦点
∴抛物线C的方程为
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：与y轴交于，设直线l交抛物线于
由，
∴∴，
又由
即m=,同理，
所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1.
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