人教A版2019选择性必修第一册：椭圆的标准方程与几何性质专题测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019选择性必修第一册：椭圆的标准方程与几何性质专题测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-22 17:31:41 | ||
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文档简介
人教A版2019选择性必修第一册
椭圆的标准方程与几何性质专题测试(原卷版)
一、单选题
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．4
C． D．
2．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则
A． B．
C． D．
3．椭圆的短轴长为
A． B．10
C．8 D．6
4．椭圆的焦点坐标为
A． B．
C． D．
5．椭圆的长轴长、短轴长分别为
A．5，3 B．3，5
C．10．6 D．6，10
6．若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
7．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是
A． B．
C． D．
8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则
A． B．
C． D．
11．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
12．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
13．若椭圆的左焦点为，则
A．2 B．3
C． D．9
14．椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A． B．
C．2 D．
15．已知，分别是椭圆的左、右两焦点，过点的直线交椭圆于点，，若为等边三角形，则的值为
A．3 B．
C． D．
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
17．方程的化简结果是
A． B．
C． D．
18．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
20．设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为
A． B．
C． D．
21．已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
22．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
23．椭圆的右焦点到直线的距离是
A． B．
C．1 D．
24．已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为
A． B．
C．或 D．以上都不对
25．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
A．3 B．5
C．7 D．8
26．已知椭圆：()，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
27．已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
28．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
29．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
30．已知椭圆，点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切与椭圆的焦点，与轴相交于，，若为正三角形，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
31．已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为
A． B．
C． D．
32．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
33．已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为
A． B．
C． D．
34．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
35．若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为
A． B．
C． D．不确定
二、多选题
1．已知椭圆C：，则下列结论正确的是
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
2．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
5．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
6．已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
7．关于、的方程，（其中）对应的曲线可能是
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．圆
8．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的有
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．椭圆：的焦距是2
10．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是
A． B．
C． D．
三、填空题
1．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是__________．
3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是__________．
4．椭圆的一个焦点是，则__________．
5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________．
6．椭圆的离心率为__________．
7．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为__________．
8．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
9．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为__________．
10．若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为__________．
11．如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为__________．
12．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是__________．
13．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．
14．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则__________．
15．已知椭圆：()的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的标准方程为__________．
四、双空题
1．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为__________；若，则的最小值为__________．
2．椭圆的焦距是__________，离心率是__________．
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为__________，面积的取值范围是__________．
4．椭圆与直线相交于两点，是线段的中点，若，的斜率为，则__________，离心率__________．
5．已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为2，则椭圆的短轴长为__________，标准方程为__________．
6．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则__________，__________．
7．椭圆的离心率为__________，长轴长__________．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为__________；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为__________．
9．椭圆的长轴长是__________，离心率是__________．
10．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
五、解答题
1．已知圆，经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点M，N，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积取到最大值时，求直线l的方程．
2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点 若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．
4．已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上一个动点，面积的最大值是
（1）求椭圆的方程；
（2），，，是椭圆上不同的四点，与相交于点，，的最小值．
6．已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点． 当的斜率为时，坐标原点到的距离为．
（1）求、的值；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．
7．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点 ，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，且、、、四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．
9．已知椭圆：过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，，若，求的值．
10．已知椭圆：，右焦点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点，，求(为坐标原点)的面积．
11．已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率．
12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积．
人教A版2019选择性必修第一册
椭圆的标准方程与几何性质专题测试(解析版)
一、单选题
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．4
C． D．
【试题来源】河南省开封市2020-2021学年高二上学期五县联考期中（文）
【答案】D
【解析】即，所以长轴长为．故选D．
2．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文）
【答案】C
【解析】由题意有，可得，
有，有，有．故选C．
3．椭圆的短轴长为
A． B．10
C．8 D．6
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】椭圆，可知焦点在轴上，，，所以，
所以椭圆的短轴长为8．故选C．
4．椭圆的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】A
【解析】由可得，因此，且焦点在轴上，
所以焦点坐标为．故选A．
5．椭圆的长轴长、短轴长分别为
A．5，3 B．3，5
C．10．6 D．6，10
【试题来源】山东省济南回民中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】椭圆化为标准形式为，
，，故选C．
6．若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文）
【答案】C
【解析】，，，因为点到两定点，的距离之和为2，的轨迹是线段，故选C．
7．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】C
【解析】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，，即，故选C.
8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】A
【解析】方程化为，因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，故选A．
9．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文）
【答案】D
【解析】为正三角形，点必在轴上，且，
，又，，
又点在椭圆上，，化简得，
解得，又，．故选D．
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省沧州市七校联盟2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】在椭圆中，，由椭圆的定义可得，
所以，．故选C．
11．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
【试题来源】四川省绵阳市涪城区东辰国际学校2020-2021学年高二上学期期中（理）
【答案】A
【分析】本题首先可根据椭圆定义得出以及，然后根据得出为直角三角形，即可求出的面积．
【解析】因为椭圆方程为，所以由椭圆的定义可知，，
因为，所以，因为，所以为直角三角形，则，故选A．
12．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测（文）
【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，
所以，故选D．
13．若椭圆的左焦点为，则
A．2 B．3
C． D．9
【试题来源】湖北省武汉市华科附联考体2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，
因为，解得．故选C.
14．椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A． B．
C．2 D．
【试题来源】河南省开封市2020-2021学年高二上学期五县联考期中（理）
【答案】B
【解析】设点的坐标为，其中，由，可得，
又由
，当时，取得最小值，最小值为．故选B．
15．已知，分别是椭圆的左、右两焦点，过点的直线交椭圆于点，，若为等边三角形，则的值为
A．3 B．
C． D．
【试题来源】黑吉两省十校2020-2021学年高二（上）期中（理）
【答案】B
【解析】由题意可得，，则．
又为等边三角形，得直线与轴垂直，，则，
，则，可得，
即，求得．故选B.
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】A
【解析】椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为，，
若为等边三角形，由椭圆的对称性知，即，
又，可得，．故选A．
17．方程的化简结果是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省蚌埠第三中学2020-2021学年高二上学期11月教学质量检测（理）
【答案】B
【解析】设，，，
则由得，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，这里，，，所以，所以该椭圆方程为．
故方程的化简结果是．故选B.
18．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】B
【解析】因为线段的垂直平分线交线段于点，
所以，而，
所以，又，，即是到定点距离和为定长6的动点，
所以且长轴在y轴上，故的轨迹方程为，故选B.
19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级上学期期中考试
【答案】D
【解析】因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，所以，
因为，所以，可得，
所以椭圆的离心率为，故选D．
20．设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古包头市回民中学2020-2021学年第一学期高二期中考试（理）
【答案】D
【解析】因为，所以 ，P是C上一点，由椭圆的定义得，
又，所以，又，则，
所以在中，由余弦定理得，
即，整理得，
解得，则，所以椭圆C的方程为，故选D.
21．已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省宁德市部分达标中学2020-2021学年高二上学期期中联合考试
【答案】B
【解析】因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，
又的中点是，所以直线的方程为，即．
联立，可得．
设，，则，又，整理得，
即，可得．故选B．
22．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】B
【分析】由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．
【解析】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距，故选B．
23．椭圆的右焦点到直线的距离是
A． B．
C．1 D．
【试题来源】山东省济南第十一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二年级
【答案】B
【解析】在椭圆中，，则，所以椭圆的右焦点为，则椭圆的右焦点到直线的距离为，故选B．
24．已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为
A． B．
C．或 D．以上都不对
【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2020-2021学年第一学期高二第二学程考试（理）
【答案】C
【解析】因为椭圆的短轴长为，所以，
因为离心率为，所以，
所以椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为或，故选C.
25．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
A．3 B．5
C．7 D．8
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】D
【解析】由题意知，所以，
所以，故选D．
26．已知椭圆：()，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】B
【解析】设椭圆的右焦点是，坐标原点为，由椭圆的定义得，
则，则点的轨迹是以、为焦点的椭圆，故选B．
27．已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】D
【解析】如图所示：
设，则，，
所以，所以，当且仅当时取等号，因为的最小值为，所以，设，则，
所以，所以，故选D．
28．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】B
【解析】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，
由椭圆的对称性可知，，
设点的坐标为，点的坐标为，显然
则点的坐标为．
①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，
有
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，，
，
，
，
，因为，所以，
则的取值范围为．故选B.
29．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】【新教材精创】提高练-人教B版高中数学选择性必修第一册
【答案】D
【分析】解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解．
【解析】由，消可得得，解得，
分别代入得，，，，，
，，，，
，，，，
把代入式并整理得，
两边同除以并整理得，解得，．故选D.
【名师点睛】求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）．
30．已知椭圆，点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切与椭圆的焦点，与轴相交于，，若为正三角形，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】D
【解析】不妨设在第一象限，以为圆心的圆与轴相切于椭圆右焦点，则，又在椭圆上，则，圆的半径，为正三角形，，，即，解得．故选D．
31．已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】C
【解析】由题知，设点，则，
又右焦点，且有直线经过点，所以，
，所以，
解得，所以：，所以椭圆方程为．故选C.
32．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2018届福建省漳州市高三毕业班第三次调研（文）
【答案】C
【解析】直线，即为，可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，
由，可得的中点为，设，，，，
则，，两式相减可得，
由．，可得，由，即有，
则椭圆的离心率，．故选C.
33．已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】D
【解析】设，则=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，所以===，
又==，所以=，又9==，解得=9，=18，
所以椭圆方程为，故选D
34．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】C
【解析】椭圆()焦点在轴上，故，即，
解得，又，，
故，其中对勾函数在上递减，上递增，故，，故，则．故选C．
【名师点睛】求椭圆离心率（或取值范围）常见方法：
（1）直接法：由a，b，c的值或者关系，直接计算离心率；
（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围．
35．若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为
A． B．
C． D．不确定
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】A
【解析】由得，，得，，
所以，，
因为的内切圆的周长为，所以内切圆的半径，
设，则，
即，得，
所以满足条件是短轴的个端点，故选A．
二、多选题
1．已知椭圆C：，则下列结论正确的是
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
【试题来源】广东省深圳市皇御苑学校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】CD
【解析】由椭圆方程化为标准方程可得，所以 ，所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率．故选CD.
2．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳市皇御苑学校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】设椭圆的焦距，短轴长和长轴长分别为2c，2b，2a．
由条件得解得．若焦点在横轴上椭圆的标准方程为，
若焦点在纵轴上椭圆的标准方程为．故选AD．
3．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省曲阳县第一高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】AD
【解析】由已知可得椭圆的，又长轴为短轴的，
故椭圆方程为或，设弦的两端点为，，
当椭圆方程为时，则有，
两式相减得，整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；
当椭圆方程为时，则有，
两式相减得，整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得．故选AD．
4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】ABC
【解析】对于、由，，所以，所以选项正确；
对于、由，，得到：，所以选项正确；
对于、由，，得，
即，所以选项正确；对于、根据选项知，，
所以，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项错误．故选．
5．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
【试题来源】山东省青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】ACD
【解析】由已知椭圆标准方程为，则，所以．
长轴长为，A正确；两焦点为，B错误；离心率为，C正确；代入椭圆方程得，解得，所以，D正确．故选ACD．
6．已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【试题来源】山东省济南市市中区实验中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选AD．
7．关于、的方程，（其中）对应的曲线可能是
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．圆
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】ABCD
【解析】分以下几种情况讨论：
①当时，，，此时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
②当时，，此时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
③当时，即当时，此时，方程表示的曲线为圆；
④当时，，此时，方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆．故选ABCD．
8．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省淮安市阳光学校2020-2021学年高二上学期第二次月考
【答案】CD
【解析】当时，焦点在轴上，此时，，所以，
所以，解得，符合题意；
当时，焦点在轴上，此时，，所以，
所以，解得，符合题意；
综上所述：正数的值可以时或，故选CD.
9．下列说法正确的有
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．椭圆：的焦距是2
【试题来源】山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AC
【解析】A．方程，即和表示两条直线，故A正确；
B．若方程表示焦点在轴的椭圆，则，解得，
若方程表示焦点在轴的椭圆时，则，解得，
所以或，故B不正确；
C．若点满足方程，则点也满足方程，
所以曲线关于坐标原点对称，故C正确；
D． 椭圆：，，则，所以焦距是4，故D不正确．故选AC.
10．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省武汉市华科附联考体2020-2021学年高二上学期期中
【答案】BCD
【解析】，可得，所以，
是的平分线，，又，，
，，可得，
故都有可能，故选BCD．
【名师点睛】求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的方程或不等式，从而求出的值或范围．
三、填空题
1．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．
【试题来源】广东省中山市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次统测
【答案】
【解析】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，
所以，所以，
由于，所以当时，离心率的最大值为，故答案为．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是__________．
【试题来源】湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】16
【解析】由椭圆的定义知所以．
故答案为16．
3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是__________．
【试题来源】北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级上学期期中考试
【答案】8
【解析】的周长为
，故答案为8．
4．椭圆的一个焦点是，则__________．
【试题来源】江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】10
【解析】由题可得椭圆的焦点在轴上，，解得．故答案为10．
5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________．
【试题来源】山东省德州市德城区第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果．
【解析】由题意得，解可得或；
解可得或；综上可得的取值范围是．
故答案为．
【名师点睛】方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：．
6．椭圆的离心率为__________．
【试题来源】山东省济南回民中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】因为椭圆方程为，所以，
所以离心率，故答案为．
7．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）
【答案】
【解析】由可得，，即，
则，解得或（舍），故答案为.
8．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
【试题来源】山东省青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】或
【解析】当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得，当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得．故答案为或.
9．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】由得，，所以，，
所以，设，，所以，
所以，因为，所以
所以，所以，所以的面积为．
故答案为．
10．若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】设、，因为，，
所以，
所以，所以．故答案为
【名师点睛】求椭圆离心率的关键是得到关于的等量关系式，根据以及斜率公式可得到所要的等量关系式．
11．如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】，即，设，则，设直线的斜率为()，
则直线的方程为，即，又，则，即，则，
解得(舍去)或，又，则，解得，
则．故答案为.
12．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是__________．
【试题来源】湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【解析】因为可化为，所以曲线的对称中心为，把代入方程，得，整理得．因为，所以，从而．故答案为．
【名师点睛】本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长与离心率的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用进行转化是是解题的基本方法．
13．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．
【试题来源】广东省广州市天河区天河中学2020-2021学年高二上学期第二次月考
【答案】
【分析】先设椭圆的下焦点为，由椭圆的定义知，利用，即可得到的最大值．
【解析】如图所示：
设椭圆的下焦点为，，，，
又，即，，
又，当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，
， ，
，的最大值为．故答案为．
14．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（理）（人教A版）
【答案】
【解析】由题意得内切圆的半径，设，
因此的面积为，
设，则，
因为满足条件的点恰好有两个，所以为椭圆短轴端点，即，
所以，而，所以，所以．故答案为．
15．已知椭圆：()的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的标准方程为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】圆方程为，与直线相切，所以，则，
所以，故椭圆方程为．故答案为．
四、双空题
1．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为__________；若，则的最小值为__________．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】9 4
【解析】由可得，，则，
由椭圆定义可知，，
当时取等号．．
，
又（当且仅当在线段上时取等号），
．故答案为9；4．
2．椭圆的焦距是__________，离心率是__________．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】由题知椭圆，，，．
所以焦距是，离心率为．故答案为，.
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为__________，面积的取值范围是__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷414
【答案】
【解析】因为的坐标为，且，可得，设，
所以，（），由题意得，
整理可得动点的轨迹方程为；
直线MN的斜率，设平行与MN的椭圆切线方程为，
与椭圆联立可得（），即，
，解得，
所以该切线与直线MN的距离，，
所以面积的最大值，
所以随着P在椭圆上运动，的面积取值范围为．
故答案为；．
4．椭圆与直线相交于两点，是线段的中点，若，的斜率为，则__________，离心率__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷409
【答案】
【解析】设，代入椭圆方程并作差得
，即，
将，代入上式得．
由消去得，
所以，因为，
所以即，所以，
将代入，得，所以，此时椭圆为，椭圆的离心率，
故答案为 ； .
5．已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为2，则椭圆的短轴长为__________，标准方程为__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷409
【答案】
【解析】（1）由题得，所以椭圆的短轴长为；
（2）因为，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为．
6．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则__________，__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷403
【答案】
【解析】因为线段的中点在轴上，所以可得轴，即，
所以，所以，
所以，故答案为；.
7．椭圆的离心率为__________，长轴长__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷403
【答案】 6
【解析】由题意，则，
所以离心率为，长轴长为．故答案为；6．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为__________；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为__________．
【试题来源】内蒙古包头市第一中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文）
【答案】8
【解析】由知，，所以，，，
所以，，
根据椭圆的定义可得，，
所以的周长为．
因为
，
设的内切圆半径为，则，
所以，解得．故答案为；．
9．椭圆的长轴长是__________，离心率是__________．
【试题来源】浙江省浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】6
【解析】由椭圆方程得，长轴长为，
，离心率为．故答案为6；．
10．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】（1）因为方程即表示焦点在x轴上的椭圆，
所以．
（2）设，则，．
故答案为；
五、解答题
1．已知圆，经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点M，N，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积取到最大值时，求直线l的方程．
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由，令得，，
由点，，共线，知为中点，则，，，，所求椭圆方程为；
（2）可知，由，可得直线l的斜率为，
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，，，
，
又点A到直线l的距离为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，直线l的方程为或．
2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点 若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】（1）；（2）存在，或．
【解析】（1）直线的一般方程为．
依题意，解得，故椭圆的方程为.
假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为则直线的方程为．
由，得，由，
得，记的坐标分别为，
则，
而．
要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，
则，且，，
所以．
所以，整理解得或，
所以存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆，
方程为或．
【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是找到，列出，考查了分析能力、计算能力．
3．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知可得，解得．
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设，，联立方程
消去y得．
当，即时，．
所以．
又，即，
即，即，
化简整理得．
【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
4．已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点．
【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，圆的圆心坐标为，
又由点，可得，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
可得点，即，所以椭圆C的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，显然不满足条件．
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组，消去y整理得，
，得．①
设，则．②
由，得，
又由，所以，③
由②③得(舍)，或，满足①．
此时的方程为，故直线过定点．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上一个动点，面积的最大值是
（1）求椭圆的方程；
（2），，，是椭圆上不同的四点，与相交于点，，的最小值．
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，又，
解得，故所求的椭圆方程为．
（2）由（1）得，由得．
①当直线与中有一条直线得斜率不存在时，
②当直线的斜率存在且为时，由消去得，设，
则
所以．同理可得，
，令，则
，
当即时取得最小值．
综上所述，的最小值为．
6．已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点． 当的斜率为时，坐标原点到的距离为．
（1）求、的值；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（人教A版2019）
【答案】（1），；（2）答案见解析．
【解析】（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为时，则其方程为，即，原点到距离：，所以，
又，所以，又，所以；
（2）由（1）知椭圆的方程为，设弦的中点为，
由可知，点是线段的中点，点的坐标为，
所以，①
若直线的斜率不存在，则轴，这时点与重合，，
点不在椭圆上，故直线的斜率存在，
设，，则，，
所以，即，
即，即
由得，所以，②
由①和②解得、，
所以当、时，，点坐标为，
直线的方程为，
当、时，，点坐标为，
直线的方程为．
7．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点 ，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
【试题来源】四川省成都市实验外国语学校2020-2021学年第一学期高二第二次阶段性考试
【答案】（1）；（2）是定值，．
【解析】（1）设点，
因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以，化简可得，曲线的方程为．
（2）由题知，若直线恰好过原点，则，，，
，，则，
，，则，．
若直线不过原点，设直线，，
，，，，．
则，，，，，，，，
由，得，从而；
由，得，从而；
故．
联立方程组得，整理得，判别式恒大于零，
，，
．
综上所述，．
【名师点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，且、、、四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．
【试题来源】四川北京师范大学广安实验学校2020-2021学年高三上学期模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意有．
由的面积为，即，
所以．因为，
所以．在中，，
又，所以，所以．
故椭圆的标准方程为；
（2）设点、、、的坐标分别为、、、，
设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
则，同理可得，
因为、、、互不相等，故有：
直线的斜率为，
直线的斜率为，
则
，故直线和直线的斜率互为相反数．
9．已知椭圆：过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，，若，求的值．
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由椭圆的长轴长等于4，则 ，
又椭圆过点，则，解得 ，所以椭圆的方程：.
（2）由题意，，圆是以为直径的圆，则方程为
直线：与圆相切，则，即
设，，则由 ，有
所以
又，所以，解得，即.
10．已知椭圆：，右焦点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点，，求(为坐标原点)的面积．
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）右焦点，则 ，
离心率，则， ，所以椭圆的方程为，
（2）设，，则直线的方程为 ，
由， 得 ， ，
所以 ，
原点到直线的距离为 ，
所以.
【名师点睛】本题考查由椭圆离心率求椭圆方程和椭圆中的三角形面积，解答本题的关键是由直线方程和椭圆方程联立结合根与系数关系，求出弦的长，再求出原点到直线的距离，属于中档题．
11．已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率．
【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为在椭圆上，所以，
又，，由上述方程联立可得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，设，，
由消得，
所以，因为，所以，
同理可得，因为，，
所以
．
12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积．
【试题来源】天津市滨海新区塘沽十三中2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）；．
【解析】设椭圆的方程为，由题意，，，
所以，，所以椭圆的方程为．
（2）左焦点，右焦点，设，，
则直线的方程为，由，消得，
，，
，
点到直线的距离，
所以.
椭圆的标准方程与几何性质专题测试(原卷版)
一、单选题
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．4
C． D．
2．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则
A． B．
C． D．
3．椭圆的短轴长为
A． B．10
C．8 D．6
4．椭圆的焦点坐标为
A． B．
C． D．
5．椭圆的长轴长、短轴长分别为
A．5，3 B．3，5
C．10．6 D．6，10
6．若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
7．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是
A． B．
C． D．
8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则
A． B．
C． D．
11．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
12．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
13．若椭圆的左焦点为，则
A．2 B．3
C． D．9
14．椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A． B．
C．2 D．
15．已知，分别是椭圆的左、右两焦点，过点的直线交椭圆于点，，若为等边三角形，则的值为
A．3 B．
C． D．
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
17．方程的化简结果是
A． B．
C． D．
18．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
20．设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为
A． B．
C． D．
21．已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
22．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
23．椭圆的右焦点到直线的距离是
A． B．
C．1 D．
24．已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为
A． B．
C．或 D．以上都不对
25．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
A．3 B．5
C．7 D．8
26．已知椭圆：()，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
27．已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
28．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
29．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
30．已知椭圆，点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切与椭圆的焦点，与轴相交于，，若为正三角形，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
31．已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为
A． B．
C． D．
32．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
33．已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为
A． B．
C． D．
34．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
35．若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为
A． B．
C． D．不确定
二、多选题
1．已知椭圆C：，则下列结论正确的是
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
2．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
5．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
6．已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
7．关于、的方程，（其中）对应的曲线可能是
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．圆
8．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的有
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．椭圆：的焦距是2
10．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是
A． B．
C． D．
三、填空题
1．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是__________．
3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是__________．
4．椭圆的一个焦点是，则__________．
5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________．
6．椭圆的离心率为__________．
7．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为__________．
8．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
9．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为__________．
10．若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为__________．
11．如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为__________．
12．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是__________．
13．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．
14．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则__________．
15．已知椭圆：()的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的标准方程为__________．
四、双空题
1．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为__________；若，则的最小值为__________．
2．椭圆的焦距是__________，离心率是__________．
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为__________，面积的取值范围是__________．
4．椭圆与直线相交于两点，是线段的中点，若，的斜率为，则__________，离心率__________．
5．已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为2，则椭圆的短轴长为__________，标准方程为__________．
6．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则__________，__________．
7．椭圆的离心率为__________，长轴长__________．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为__________；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为__________．
9．椭圆的长轴长是__________，离心率是__________．
10．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
五、解答题
1．已知圆，经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点M，N，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积取到最大值时，求直线l的方程．
2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点 若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．
4．已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上一个动点，面积的最大值是
（1）求椭圆的方程；
（2），，，是椭圆上不同的四点，与相交于点，，的最小值．
6．已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点． 当的斜率为时，坐标原点到的距离为．
（1）求、的值；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．
7．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点 ，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，且、、、四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．
9．已知椭圆：过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，，若，求的值．
10．已知椭圆：，右焦点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点，，求(为坐标原点)的面积．
11．已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率．
12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积．
人教A版2019选择性必修第一册
椭圆的标准方程与几何性质专题测试(解析版)
一、单选题
1．椭圆的长轴长为
A．2 B．4
C． D．
【试题来源】河南省开封市2020-2021学年高二上学期五县联考期中（文）
【答案】D
【解析】即，所以长轴长为．故选D．
2．已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文）
【答案】C
【解析】由题意有，可得，
有，有，有．故选C．
3．椭圆的短轴长为
A． B．10
C．8 D．6
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】椭圆，可知焦点在轴上，，，所以，
所以椭圆的短轴长为8．故选C．
4．椭圆的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】A
【解析】由可得，因此，且焦点在轴上，
所以焦点坐标为．故选A．
5．椭圆的长轴长、短轴长分别为
A．5，3 B．3，5
C．10．6 D．6，10
【试题来源】山东省济南回民中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】椭圆化为标准形式为，
，，故选C．
6．若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文）
【答案】C
【解析】，，，因为点到两定点，的距离之和为2，的轨迹是线段，故选C．
7．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】C
【解析】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，，即，故选C.
8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】A
【解析】方程化为，因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，故选A．
9．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文）
【答案】D
【解析】为正三角形，点必在轴上，且，
，又，，
又点在椭圆上，，化简得，
解得，又，．故选D．
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点椭圆上，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省沧州市七校联盟2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】在椭圆中，，由椭圆的定义可得，
所以，．故选C．
11．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
【试题来源】四川省绵阳市涪城区东辰国际学校2020-2021学年高二上学期期中（理）
【答案】A
【分析】本题首先可根据椭圆定义得出以及，然后根据得出为直角三角形，即可求出的面积．
【解析】因为椭圆方程为，所以由椭圆的定义可知，，
因为，所以，因为，所以为直角三角形，则，故选A．
12．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测（文）
【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，
所以，故选D．
13．若椭圆的左焦点为，则
A．2 B．3
C． D．9
【试题来源】湖北省武汉市华科附联考体2020-2021学年高二上学期期中
【答案】C
【解析】根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，
因为，解得．故选C.
14．椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A． B．
C．2 D．
【试题来源】河南省开封市2020-2021学年高二上学期五县联考期中（理）
【答案】B
【解析】设点的坐标为，其中，由，可得，
又由
，当时，取得最小值，最小值为．故选B．
15．已知，分别是椭圆的左、右两焦点，过点的直线交椭圆于点，，若为等边三角形，则的值为
A．3 B．
C． D．
【试题来源】黑吉两省十校2020-2021学年高二（上）期中（理）
【答案】B
【解析】由题意可得，，则．
又为等边三角形，得直线与轴垂直，，则，
，则，可得，
即，求得．故选B.
16．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】A
【解析】椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为，，
若为等边三角形，由椭圆的对称性知，即，
又，可得，．故选A．
17．方程的化简结果是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省蚌埠第三中学2020-2021学年高二上学期11月教学质量检测（理）
【答案】B
【解析】设，，，
则由得，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，这里，，，所以，所以该椭圆方程为．
故方程的化简结果是．故选B.
18．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】B
【解析】因为线段的垂直平分线交线段于点，
所以，而，
所以，又，，即是到定点距离和为定长6的动点，
所以且长轴在y轴上，故的轨迹方程为，故选B.
19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级上学期期中考试
【答案】D
【解析】因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，所以，
因为，所以，可得，
所以椭圆的离心率为，故选D．
20．设椭圆C：的两个焦点分别为，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古包头市回民中学2020-2021学年第一学期高二期中考试（理）
【答案】D
【解析】因为，所以 ，P是C上一点，由椭圆的定义得，
又，所以，又，则，
所以在中，由余弦定理得，
即，整理得，
解得，则，所以椭圆C的方程为，故选D.
21．已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省宁德市部分达标中学2020-2021学年高二上学期期中联合考试
【答案】B
【解析】因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，
又的中点是，所以直线的方程为，即．
联立，可得．
设，，则，又，整理得，
即，可得．故选B．
22．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】B
【分析】由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．
【解析】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距，故选B．
23．椭圆的右焦点到直线的距离是
A． B．
C．1 D．
【试题来源】山东省济南第十一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二年级
【答案】B
【解析】在椭圆中，，则，所以椭圆的右焦点为，则椭圆的右焦点到直线的距离为，故选B．
24．已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为
A． B．
C．或 D．以上都不对
【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2020-2021学年第一学期高二第二学程考试（理）
【答案】C
【解析】因为椭圆的短轴长为，所以，
因为离心率为，所以，
所以椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为或，故选C.
25．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
A．3 B．5
C．7 D．8
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】D
【解析】由题意知，所以，
所以，故选D．
26．已知椭圆：()，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】B
【解析】设椭圆的右焦点是，坐标原点为，由椭圆的定义得，
则，则点的轨迹是以、为焦点的椭圆，故选B．
27．已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】D
【解析】如图所示：
设，则，，
所以，所以，当且仅当时取等号，因为的最小值为，所以，设，则，
所以，所以，故选D．
28．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】B
【解析】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，
由椭圆的对称性可知，，
设点的坐标为，点的坐标为，显然
则点的坐标为．
①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，
有
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，，
，
，
，
，因为，所以，
则的取值范围为．故选B.
29．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】【新教材精创】提高练-人教B版高中数学选择性必修第一册
【答案】D
【分析】解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解．
【解析】由，消可得得，解得，
分别代入得，，，，，
，，，，
，，，，
把代入式并整理得，
两边同除以并整理得，解得，．故选D.
【名师点睛】求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）．
30．已知椭圆，点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切与椭圆的焦点，与轴相交于，，若为正三角形，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】D
【解析】不妨设在第一象限，以为圆心的圆与轴相切于椭圆右焦点，则，又在椭圆上，则，圆的半径，为正三角形，，，即，解得．故选D．
31．已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】C
【解析】由题知，设点，则，
又右焦点，且有直线经过点，所以，
，所以，
解得，所以：，所以椭圆方程为．故选C.
32．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】2018届福建省漳州市高三毕业班第三次调研（文）
【答案】C
【解析】直线，即为，可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，
由，可得的中点为，设，，，，
则，，两式相减可得，
由．，可得，由，即有，
则椭圆的离心率，．故选C.
33．已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】D
【解析】设，则=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，所以===，
又==，所以=，又9==，解得=9，=18，
所以椭圆方程为，故选D
34．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】C
【解析】椭圆()焦点在轴上，故，即，
解得，又，，
故，其中对勾函数在上递减，上递增，故，，故，则．故选C．
【名师点睛】求椭圆离心率（或取值范围）常见方法：
（1）直接法：由a，b，c的值或者关系，直接计算离心率；
（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围．
35．若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为
A． B．
C． D．不确定
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】A
【解析】由得，，得，，
所以，，
因为的内切圆的周长为，所以内切圆的半径，
设，则，
即，得，
所以满足条件是短轴的个端点，故选A．
二、多选题
1．已知椭圆C：，则下列结论正确的是
A．长轴长为 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
【试题来源】广东省深圳市皇御苑学校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】CD
【解析】由椭圆方程化为标准方程可得，所以 ，所以长轴长为，焦距，焦点坐标为，
短轴长为，离心率．故选CD.
2．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳市皇御苑学校2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】设椭圆的焦距，短轴长和长轴长分别为2c，2b，2a．
由条件得解得．若焦点在横轴上椭圆的标准方程为，
若焦点在纵轴上椭圆的标准方程为．故选AD．
3．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省曲阳县第一高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】AD
【解析】由已知可得椭圆的，又长轴为短轴的，
故椭圆方程为或，设弦的两端点为，，
当椭圆方程为时，则有，
两式相减得，整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；
当椭圆方程为时，则有，
两式相减得，整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得．故选AD．
4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
【试题来源】山东省临沂市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】ABC
【解析】对于、由，，所以，所以选项正确；
对于、由，，得到：，所以选项正确；
对于、由，，得，
即，所以选项正确；对于、根据选项知，，
所以，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项错误．故选．
5．已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
【试题来源】山东省青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】ACD
【解析】由已知椭圆标准方程为，则，所以．
长轴长为，A正确；两焦点为，B错误；离心率为，C正确；代入椭圆方程得，解得，所以，D正确．故选ACD．
6．已知曲线
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【试题来源】山东省济南市市中区实验中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选AD．
7．关于、的方程，（其中）对应的曲线可能是
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．圆
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】ABCD
【解析】分以下几种情况讨论：
①当时，，，此时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
②当时，，此时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
③当时，即当时，此时，方程表示的曲线为圆；
④当时，，此时，方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆．故选ABCD．
8．为使椭圆的离心率为，正数的值可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省淮安市阳光学校2020-2021学年高二上学期第二次月考
【答案】CD
【解析】当时，焦点在轴上，此时，，所以，
所以，解得，符合题意；
当时，焦点在轴上，此时，，所以，
所以，解得，符合题意；
综上所述：正数的值可以时或，故选CD.
9．下列说法正确的有
A．方程表示两条直线
B．椭圆的焦距为4，则
C．曲线关于坐标原点对称
D．椭圆：的焦距是2
【试题来源】山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AC
【解析】A．方程，即和表示两条直线，故A正确；
B．若方程表示焦点在轴的椭圆，则，解得，
若方程表示焦点在轴的椭圆时，则，解得，
所以或，故B不正确；
C．若点满足方程，则点也满足方程，
所以曲线关于坐标原点对称，故C正确；
D． 椭圆：，，则，所以焦距是4，故D不正确．故选AC.
10．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省武汉市华科附联考体2020-2021学年高二上学期期中
【答案】BCD
【解析】，可得，所以，
是的平分线，，又，，
，，可得，
故都有可能，故选BCD．
【名师点睛】求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的方程或不等式，从而求出的值或范围．
三、填空题
1．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．
【试题来源】广东省中山市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次统测
【答案】
【解析】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，
所以，所以，
由于，所以当时，离心率的最大值为，故答案为．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是__________．
【试题来源】湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】16
【解析】由椭圆的定义知所以．
故答案为16．
3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是__________．
【试题来源】北京市昌平区第一中学2020—2021学年度高二年级上学期期中考试
【答案】8
【解析】的周长为
，故答案为8．
4．椭圆的一个焦点是，则__________．
【试题来源】江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】10
【解析】由题可得椭圆的焦点在轴上，，解得．故答案为10．
5．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________．
【试题来源】山东省德州市德城区第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果．
【解析】由题意得，解可得或；
解可得或；综上可得的取值范围是．
故答案为．
【名师点睛】方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：．
6．椭圆的离心率为__________．
【试题来源】山东省济南回民中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】因为椭圆方程为，所以，
所以离心率，故答案为．
7．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）
【答案】
【解析】由可得，，即，
则，解得或（舍），故答案为.
8．已知椭圆的离心率等于，则实数__________．
【试题来源】山东省青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】或
【解析】当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得，当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得．故答案为或.
9．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】由得，，所以，，
所以，设，，所以，
所以，因为，所以
所以，所以，所以的面积为．
故答案为．
10．若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】设、，因为，，
所以，
所以，所以．故答案为
【名师点睛】求椭圆离心率的关键是得到关于的等量关系式，根据以及斜率公式可得到所要的等量关系式．
11．如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】，即，设，则，设直线的斜率为()，
则直线的方程为，即，又，则，即，则，
解得(舍去)或，又，则，解得，
则．故答案为.
12．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是__________．
【试题来源】湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】
【解析】因为可化为，所以曲线的对称中心为，把代入方程，得，整理得．因为，所以，从而．故答案为．
【名师点睛】本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长与离心率的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用进行转化是是解题的基本方法．
13．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．
【试题来源】广东省广州市天河区天河中学2020-2021学年高二上学期第二次月考
【答案】
【分析】先设椭圆的下焦点为，由椭圆的定义知，利用，即可得到的最大值．
【解析】如图所示：
设椭圆的下焦点为，，，，
又，即，，
又，当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，
， ，
，的最大值为．故答案为．
14．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（理）（人教A版）
【答案】
【解析】由题意得内切圆的半径，设，
因此的面积为，
设，则，
因为满足条件的点恰好有两个，所以为椭圆短轴端点，即，
所以，而，所以，所以．故答案为．
15．已知椭圆：()的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的标准方程为__________．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（文）（人教A版）
【答案】
【解析】圆方程为，与直线相切，所以，则，
所以，故椭圆方程为．故答案为．
四、双空题
1．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为__________；若，则的最小值为__________．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】9 4
【解析】由可得，，则，
由椭圆定义可知，，
当时取等号．．
，
又（当且仅当在线段上时取等号），
．故答案为9；4．
2．椭圆的焦距是__________，离心率是__________．
【试题来源】浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】
【解析】由题知椭圆，，，．
所以焦距是，离心率为．故答案为，.
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为__________，面积的取值范围是__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷414
【答案】
【解析】因为的坐标为，且，可得，设，
所以，（），由题意得，
整理可得动点的轨迹方程为；
直线MN的斜率，设平行与MN的椭圆切线方程为，
与椭圆联立可得（），即，
，解得，
所以该切线与直线MN的距离，，
所以面积的最大值，
所以随着P在椭圆上运动，的面积取值范围为．
故答案为；．
4．椭圆与直线相交于两点，是线段的中点，若，的斜率为，则__________，离心率__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷409
【答案】
【解析】设，代入椭圆方程并作差得
，即，
将，代入上式得．
由消去得，
所以，因为，
所以即，所以，
将代入，得，所以，此时椭圆为，椭圆的离心率，
故答案为 ； .
5．已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为2，则椭圆的短轴长为__________，标准方程为__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷409
【答案】
【解析】（1）由题得，所以椭圆的短轴长为；
（2）因为，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为．
6．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则__________，__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷403
【答案】
【解析】因为线段的中点在轴上，所以可得轴，即，
所以，所以，
所以，故答案为；.
7．椭圆的离心率为__________，长轴长__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方数学试卷403
【答案】 6
【解析】由题意，则，
所以离心率为，长轴长为．故答案为；6．
8．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为__________；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为__________．
【试题来源】内蒙古包头市第一中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文）
【答案】8
【解析】由知，，所以，，，
所以，，
根据椭圆的定义可得，，
所以的周长为．
因为
，
设的内切圆半径为，则，
所以，解得．故答案为；．
9．椭圆的长轴长是__________，离心率是__________．
【试题来源】浙江省浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】6
【解析】由椭圆方程得，长轴长为，
，离心率为．故答案为6；．
10．（1）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________；
（2）设点A，B的坐标为，，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为，则曲线C的方程是__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】
【解析】（1）因为方程即表示焦点在x轴上的椭圆，
所以．
（2）设，则，．
故答案为；
五、解答题
1．已知圆，经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线，直线l交椭圆C于两点M，N，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当的面积取到最大值时，求直线l的方程．
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由，令得，，
由点，，共线，知为中点，则，，，，所求椭圆方程为；
（2）可知，由，可得直线l的斜率为，
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，，，
，
又点A到直线l的距离为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，直线l的方程为或．
2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点 若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】（1）；（2）存在，或．
【解析】（1）直线的一般方程为．
依题意，解得，故椭圆的方程为.
假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为则直线的方程为．
由，得，由，
得，记的坐标分别为，
则，
而．
要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，
则，且，，
所以．
所以，整理解得或，
所以存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆，
方程为或．
【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是找到，列出，考查了分析能力、计算能力．
3．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．
【试题来源】吉林省通化市辉南县第一中学2020-2021学年高二第二次月考（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知可得，解得．
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设，，联立方程
消去y得．
当，即时，．
所以．
又，即，
即，即，
化简整理得．
【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
4．已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点．
【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，圆的圆心坐标为，
又由点，可得，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
可得点，即，所以椭圆C的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，显然不满足条件．
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组，消去y整理得，
，得．①
设，则．②
由，得，
又由，所以，③
由②③得(舍)，或，满足①．
此时的方程为，故直线过定点．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上一个动点，面积的最大值是
（1）求椭圆的方程；
（2），，，是椭圆上不同的四点，与相交于点，，的最小值．
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，又，
解得，故所求的椭圆方程为．
（2）由（1）得，由得．
①当直线与中有一条直线得斜率不存在时，
②当直线的斜率存在且为时，由消去得，设，
则
所以．同理可得，
，令，则
，
当即时取得最小值．
综上所述，的最小值为．
6．已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点． 当的斜率为时，坐标原点到的距离为．
（1）求、的值；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．
【试题来源】2020-2021学年【补习教材 寒假作业】高二数学（人教A版2019）
【答案】（1），；（2）答案见解析．
【解析】（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为时，则其方程为，即，原点到距离：，所以，
又，所以，又，所以；
（2）由（1）知椭圆的方程为，设弦的中点为，
由可知，点是线段的中点，点的坐标为，
所以，①
若直线的斜率不存在，则轴，这时点与重合，，
点不在椭圆上，故直线的斜率存在，
设，，则，，
所以，即，
即，即
由得，所以，②
由①和②解得、，
所以当、时，，点坐标为，
直线的方程为，
当、时，，点坐标为，
直线的方程为．
7．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点 ，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
【试题来源】四川省成都市实验外国语学校2020-2021学年第一学期高二第二次阶段性考试
【答案】（1）；（2）是定值，．
【解析】（1）设点，
因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以，化简可得，曲线的方程为．
（2）由题知，若直线恰好过原点，则，，，
，，则，
，，则，．
若直线不过原点，设直线，，
，，，，．
则，，，，，，，，
由，得，从而；
由，得，从而；
故．
联立方程组得，整理得，判别式恒大于零，
，，
．
综上所述，．
【名师点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，使得，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，且、、、四点的横坐标均不相同，若直线与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数．
【试题来源】四川北京师范大学广安实验学校2020-2021学年高三上学期模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意有．
由的面积为，即，
所以．因为，
所以．在中，，
又，所以，所以．
故椭圆的标准方程为；
（2）设点、、、的坐标分别为、、、，
设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
则，同理可得，
因为、、、互不相等，故有：
直线的斜率为，
直线的斜率为，
则
，故直线和直线的斜率互为相反数．
9．已知椭圆：过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，，若，求的值．
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由椭圆的长轴长等于4，则 ，
又椭圆过点，则，解得 ，所以椭圆的方程：.
（2）由题意，，圆是以为直径的圆，则方程为
直线：与圆相切，则，即
设，，则由 ，有
所以
又，所以，解得，即.
10．已知椭圆：，右焦点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点，，求(为坐标原点)的面积．
【试题来源】河北省石家庄市第二十七中学2020-2021学年高二上学期段考一（10月）
【答案】（1） （2）
【解析】（1）右焦点，则 ，
离心率，则， ，所以椭圆的方程为，
（2）设，，则直线的方程为 ，
由， 得 ， ，
所以 ，
原点到直线的距离为 ，
所以.
【名师点睛】本题考查由椭圆离心率求椭圆方程和椭圆中的三角形面积，解答本题的关键是由直线方程和椭圆方程联立结合根与系数关系，求出弦的长，再求出原点到直线的距离，属于中档题．
11．已知椭圆经过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率．
【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为在椭圆上，所以，
又，，由上述方程联立可得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，设，，
由消得，
所以，因为，所以，
同理可得，因为，，
所以
．
12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积．
【试题来源】天津市滨海新区塘沽十三中2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）；．
【解析】设椭圆的方程为，由题意，，，
所以，，所以椭圆的方程为．
（2）左焦点，右焦点，设，，
则直线的方程为，由，消得，
，，
，
点到直线的距离，
所以.