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广东省清远市2022-2023学年高二下学期数学期末教学质量检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ex-2x，则f'(2)=（ ）
A．e2-4 B．e2-2 C．e2+e D．e2+2
【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】由题意可得，所以.
故答案为：B.
【分析】先求函数的导函数，进而可得结果.
2．（2023高二下·清远期末）已知随机变量ξ~N(5，σ2)，若P(3≤ξ≤7)=0.4，则P(ξ>7)=（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题意可知：.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性运算求解.
3．（2023高二下·清远期末）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳和篮球课程，甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为每位同学均有2门课程可以选择，所以 不同的选法共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分步乘法计数原理运算求解.
4．（2023高二下·清远期末）已知x和y之间的几组数据如下表：
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 2 2 1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=-x+a，则预测当x=5时，y=（ ）
A．-0.2 B．-0.8 C．-1.2 D．-2.2
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】根据题意可得：，
可知 经验回归方程为=-x+过点，可得，
即=-x+，
令，可得.
故答案为：D.
【分析】先求x，y的平均数，根据经验回归方程过样本中心点可得 ，进而代入 x=5 即可得结果.
5．（2023高二下·清远期末）袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件A为” 第1次摸到白球 “，事件B为” 第2次摸到黑球 “，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意利用独立事件概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
6．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ln x+ax2-3x在(，3)上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．[，+∞) B．(0，] C．[，+∞) D．(0，]
【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
由题意可知：在内恒成立，
整理得，
可得当时，取到最大值，
则，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可得在内恒成立，利用参变分离结合二次函数运算求解.
7．（2023高二下·清远期末）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（ ）
A．180 B．320 C．345 D．360
【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法有种；
若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法有种；
若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法有种；
所以 不同的安排方法种数是.
故答案为：D.
【分析】分类讨论救援队的组成可能，结合排列组合运算求解.
8．（2023高二下·清远期末）已知直线y=kx+b与函数f(x)=x2+ln x的图象相切，则k-b的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 f(x)=x2+ln x ，且 ，
设切点坐标为，切线斜率，
可得切线方程为，
整理得，
所以，
则，
构建，
可知g(x) 的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则 在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即 k-b的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数求最值即可.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．（2023高二下·清远期末）已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则（ ）
A．a= B．a= C．E(X)= D．D(X)=
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，解得，故A错误，B错误；
可得，
故C、D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据概率和为1求a，进而根据期望、方差公式运算求解.
10．（2023高二下·清远期末）已知f'(x)为函数f(x)的导函数，若函数y=f'(x)-1的图象大致如图所示，则（ ）
A．f(x)有3个极值点 B．x=-4是f(x)的极大值点
C．x=0是f(x)的极大值点 D．f(x)在(0，4)上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意可得：当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
可得ABD正确，C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据导函数与原函数单调性之间的关系可得原函数单调性，进而可得极值点，即可得结果.
11．（2023高二下·清远期末）已知(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0=1 B．a1+a2+a3+…+a9=0
C．a1+a3+a5+a7+a9=-256 D．2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】对A，令，可得，故A正确；
对B，令，可得，
所以，故B错误；
对C，令，可得，
所以 ，故C正确；
对D，令，可得，
所以，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意利用赋值法运算求解.
12．（2023高二下·清远期末）已知a=-1，b=ln ，c=，则（ ）
A．a>b B．a>c C．c>b D．b>c
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，故，即；
构建，则当时恒成立，
则在上单调递减，可得，
即，故，即；
综上所述：.
ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】构建，结合导数分析可得，构建，结合导数分析可得，即可得结果.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．（2023高二下·清远期末）(-2x)6展开式中的常数项为 .(用数字作答)
【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】(-2x)6展开式中的 通项为，
令，解得，则.
故答案为：240.
【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.
14．（2023高二下·清远期末）已知随机变量X~B(3，)，则D(X)= .
【答案】
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由题意可得：.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的方差公式直接求解即可.
15．（2023高二下·清远期末）如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
【答案】
【知识点】简单复合函数的导数
【解析】【解答】由题意可知：ts后，，则，
所以，
可得，则，
所以 端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为m/s.
故答案为：.
【分析】根据题意求得，求导，根据导数的意义运算求解.
16．（2023高二下·清远期末）某校举行了足球比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，每场比赛获胜的球队得2分，失败的球队得0分，平局则双方球队各得1分，积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队)，但该球队的胜场数比其他球队都要少，则参加比赛的球队数最少为 .
【答案】6
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】设获得冠军的球队为甲，其胜n场、平m场，则总得分为，
由题意可知：其余各队至少胜场，得分不少于，
则，可得，即甲对至少平3场，
若甲队与乙队踢成平局，则乙队得分至少，
则，可得，即甲对至少平4场，
若有5支球队参加比赛，则甲队的得分为4分，其他球队至少胜一场，则其他球队的得分不低于4分，不合题意，
若有5支球队参加比赛，且得分如下图，符合题意；
甲 乙 A B C D 得分
甲 1 1 1 1 2 6
乙 1 2 0 0 2 5
A 1 0 0 2 2 5
B 2 2 2 0 0 5
C 1 2 0 2 0 5
D 0 0 0 2 2 4
所以参加比赛的球队数最少为6.
故答案为：6.
【分析】根据题中比赛规则，设甲队胜n场、平m场，分析可得甲对至少平4场，进而再取球队数5，6分析判断.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·清远期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
附：χ2=，n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 10.828
在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.
（1）求p，q的值；
（2）依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关
【答案】（1）解：由题可知
解得p=180，q=120
（2）解：零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联
根据列联表及(1)中数据，经计算得到χ2=≈7.609<10.828=x0.001.
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意计算值，并与临界值对比分析.
18．（2023高二下·清远期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C=csin A.
（1）求C的大小；
（2）若a>2，且b-c=1，求△ABC周长的最小值.
【答案】（1）解：因为acos C=csin A，所以sin Acos C=sin Csin A.
又sin A≠0，所以cos C=sin C，即tan C=
又C∈(0，π)，所以C=.
（2）解：由(1)知cos C==，则a2+b2-c2=ab.
因为b-c=1，所以c=，则b=
△ABC的周长为a+b+c=a+=3a+3+=3[(a-2)+]+9.
因为a>2，所以a-2+≥2，当且仅当a=2+时，等号成立
故△ABC周长的最小值为9+6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角整理即可；
（2）利用余弦定理整理得b=，进而结合基本不等式运算求解.
19．（2023高二下·清远期末）如图，将三棱锥A-BCD的侧棱AB放到平面α内，AC⊥CB，AB⊥BD，AC=CB，AB=BD，平面ABC⊥平面ABD.
（1）证明：平面ACD⊥平面BCD.
（2）若AB=2，平面ABD与平面α夹角的正切值为，求平面ACD与平面α夹角的余弦值.
【答案】（1）解：证明：因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AB⊥BD，所以BD⊥平面ABC.
又AC 平面ABC，所以BD⊥AC.
因为AC⊥BC，BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD.
又AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BCD.
（2）解：记点D在平面α内的投影为E，连接BE，DE，取AB的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=2，平面ABD与平面α夹角的正切值为，
所以DE=，BE=，
则A(1，0，0)，D(-1，，)，C(0，-，)，
从而=(-2，，)，=(-1，-，).
设平面ACD的法向量为m=(x0，y0，z0)，则令y0=，得m=(5，，3).
平面α的一个法向量为n=(0，0，1).
cos===. ，故平面ACD与平面α夹角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD⊥平面ABC，进而根据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求面面夹角.
20．（2023高二下·清远期末）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，集合
（1）求集合A；
（2）若 求数列 的前 30 项和.
【答案】（1）解：当n=1时，a1=S1=21-1=1.
当 时， .
因为 ， 所以 ，
由 得 ， 即 ，
故 .
（2）解： 由(1)可知，
焦合 中不大于 30 的元表有 $2，4，8，16$，
则数列 的前 30 项和
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据 an 与 Sn 的关系可求得，进而可求集合A；
（2）根据题意可得，利用分组求和运算求解.
21．（2023高二下·清远期末）nbsp；已知 是椭圆 的左顶点，过点 的直线与椭圆 交于P， Q( 异于点 ， 当直线的斜率不存在时，..
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△APQ面积的取值范围.
【答案】（1）解：由题可知，a=2.
当直线l的斜率不存在时，由|PQ|=3，得+=1，则b2=3，
故椭圆C的方程为+=1
（2）解：法一：当直线l的斜率不存在时，△APQ的面积S=×3×[1-(-2)]=.
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
联立方程组消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
则x1+x2=，x1x2=.
|PQ|==，
点A到直线l的距离d=，
则△APQ的面积S=|PQ|d==.
因为k2>0，所以0<<，
则0<--+1<1，0<<.
综上所述，△APQ面积的取值范围为(0，].
法二：依题意可设直线l的方程为x=ty+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
联立方程组消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0，
则y1+y2=-，y1y2=-.
|PQ|==.
点A到直线l的距离d=，
则△APQ的面积S=|PQ|d==.
因为≥1，所以3+≥4，所以0<≤.
故△APQ面积的取值范围为(0，]
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设直线l的方程为y=k(x-1)（或x=ty+1），P(x1，y1)，Q(x2，y2).利用韦达定理求|PQ|，进而可求面积及，结合基本不等式求范围.
22．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x.
（1）若m=0，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x2<1.
【答案】（1）解：因为m=0，所以f(x)=ex+x-xln x，f'(x)=ex+1-ln x-1=ex-ln x，
则f(1)=e+1，f'(1)=e，
故f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(e+1)=e(x-1)，即ex-y+1=0
（2）证明：因为f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x，所以f'(x)=ex+m+m+1-ln x-1=ex+m+m-ln x.
由f(x)有两个极值点x1，x2，得方程ex+m+m-ln x=0有两个不相等的正实数根x1，x2，
即方程xex=(ln x-m)=ln =ln 有两个不相等的正实数根x1，x2.
令g(x)=xex，则g'(x)=(x+1)ex.当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(-1，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增.当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0.
由xex=ln ·有两个不相等的正实数根x1，x2，可得x=ln ，即m=ln x-x有两个不相等的正实数根x1，x2.
由m=ln x1-x1=ln x2-x2，得=1.
要证x1x2<1，只需证<，即证<.
不妨令00.
令h(t)=2ln t-t+，0则h(t)>h(1)=0，从而x1x2<1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）根据题意分析可得方程ex+m+m-ln x=0有两个不相等的正实数根x1，x2，整理得xex=ln ·有两个不相等的正实数根x1，x2，利用同构的思想结合函数g(x)=xex分析可得m=ln x-x有两个不相等的正实数根x1，x2，整理得<，换元可得ln t-t+>0.构建函数h(t)=2ln t-t+，0二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
广东省清远市2022-2023学年高二下学期数学期末教学质量检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ex-2x，则f'(2)=（ ）
A．e2-4 B．e2-2 C．e2+e D．e2+2
2．（2023高二下·清远期末）已知随机变量ξ~N(5，σ2)，若P(3≤ξ≤7)=0.4，则P(ξ>7)=（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．（2023高二下·清远期末）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳和篮球课程，甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
4．（2023高二下·清远期末）已知x和y之间的几组数据如下表：
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 2 2 1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=-x+a，则预测当x=5时，y=（ ）
A．-0.2 B．-0.8 C．-1.2 D．-2.2
5．（2023高二下·清远期末）袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ln x+ax2-3x在(，3)上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．[，+∞) B．(0，] C．[，+∞) D．(0，]
7．（2023高二下·清远期末）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（ ）
A．180 B．320 C．345 D．360
8．（2023高二下·清远期末）已知直线y=kx+b与函数f(x)=x2+ln x的图象相切，则k-b的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．（2023高二下·清远期末）已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则（ ）
A．a= B．a= C．E(X)= D．D(X)=
10．（2023高二下·清远期末）已知f'(x)为函数f(x)的导函数，若函数y=f'(x)-1的图象大致如图所示，则（ ）
A．f(x)有3个极值点 B．x=-4是f(x)的极大值点
C．x=0是f(x)的极大值点 D．f(x)在(0，4)上单调递增
11．（2023高二下·清远期末）已知(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（ ）
A．a0=1 B．a1+a2+a3+…+a9=0
C．a1+a3+a5+a7+a9=-256 D．2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2
12．（2023高二下·清远期末）已知a=-1，b=ln ，c=，则（ ）
A．a>b B．a>c C．c>b D．b>c
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．（2023高二下·清远期末）(-2x)6展开式中的常数项为 .(用数字作答)
14．（2023高二下·清远期末）已知随机变量X~B(3，)，则D(X)= .
15．（2023高二下·清远期末）如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
16．（2023高二下·清远期末）某校举行了足球比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，每场比赛获胜的球队得2分，失败的球队得0分，平局则双方球队各得1分，积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队)，但该球队的胜场数比其他球队都要少，则参加比赛的球队数最少为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023高二下·清远期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
附：χ2=，n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 10.828
在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.
（1）求p，q的值；
（2）依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关
18．（2023高二下·清远期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C=csin A.
（1）求C的大小；
（2）若a>2，且b-c=1，求△ABC周长的最小值.
19．（2023高二下·清远期末）如图，将三棱锥A-BCD的侧棱AB放到平面α内，AC⊥CB，AB⊥BD，AC=CB，AB=BD，平面ABC⊥平面ABD.
（1）证明：平面ACD⊥平面BCD.
（2）若AB=2，平面ABD与平面α夹角的正切值为，求平面ACD与平面α夹角的余弦值.
20．（2023高二下·清远期末）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，集合
（1）求集合A；
（2）若 求数列 的前 30 项和.
21．（2023高二下·清远期末）nbsp；已知 是椭圆 的左顶点，过点 的直线与椭圆 交于P， Q( 异于点 ， 当直线的斜率不存在时，..
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△APQ面积的取值范围.
22．（2023高二下·清远期末）已知函数f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x.
（1）若m=0，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x2<1.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】由题意可得，所以.
故答案为：B.
【分析】先求函数的导函数，进而可得结果.
2．【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题意可知：.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性运算求解.
3．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为每位同学均有2门课程可以选择，所以 不同的选法共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分步乘法计数原理运算求解.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程
【解析】【解答】根据题意可得：，
可知 经验回归方程为=-x+过点，可得，
即=-x+，
令，可得.
故答案为：D.
【分析】先求x，y的平均数，根据经验回归方程过样本中心点可得 ，进而代入 x=5 即可得结果.
5．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件A为” 第1次摸到白球 “，事件B为” 第2次摸到黑球 “，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意利用独立事件概率乘法公式结合条件概率公式运算求解.
6．【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】因为的定义域为，且，
由题意可知：在内恒成立，
整理得，
可得当时，取到最大值，
则，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可得在内恒成立，利用参变分离结合二次函数运算求解.
7．【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法有种；
若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法有种；
若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法有种；
所以 不同的安排方法种数是.
故答案为：D.
【分析】分类讨论救援队的组成可能，结合排列组合运算求解.
8．【答案】B
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 f(x)=x2+ln x ，且 ，
设切点坐标为，切线斜率，
可得切线方程为，
整理得，
所以，
则，
构建，
可知g(x) 的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则 在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即 k-b的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数求最值即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，解得，故A错误，B错误；
可得，
故C、D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据概率和为1求a，进而根据期望、方差公式运算求解.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意可得：当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
可得ABD正确，C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据导函数与原函数单调性之间的关系可得原函数单调性，进而可得极值点，即可得结果.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】对A，令，可得，故A正确；
对B，令，可得，
所以，故B错误；
对C，令，可得，
所以 ，故C正确；
对D，令，可得，
所以，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意利用赋值法运算求解.
12．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，故，即；
构建，则当时恒成立，
则在上单调递减，可得，
即，故，即；
综上所述：.
ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】构建，结合导数分析可得，构建，结合导数分析可得，即可得结果.
13．【答案】240
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】(-2x)6展开式中的 通项为，
令，解得，则.
故答案为：240.
【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.
14．【答案】
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由题意可得：.
故答案为：.
【分析】根据二项分布的方差公式直接求解即可.
15．【答案】
【知识点】简单复合函数的导数
【解析】【解答】由题意可知：ts后，，则，
所以，
可得，则，
所以 端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为m/s.
故答案为：.
【分析】根据题意求得，求导，根据导数的意义运算求解.
16．【答案】6
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】设获得冠军的球队为甲，其胜n场、平m场，则总得分为，
由题意可知：其余各队至少胜场，得分不少于，
则，可得，即甲对至少平3场，
若甲队与乙队踢成平局，则乙队得分至少，
则，可得，即甲对至少平4场，
若有5支球队参加比赛，则甲队的得分为4分，其他球队至少胜一场，则其他球队的得分不低于4分，不合题意，
若有5支球队参加比赛，且得分如下图，符合题意；
甲 乙 A B C D 得分
甲 1 1 1 1 2 6
乙 1 2 0 0 2 5
A 1 0 0 2 2 5
B 2 2 2 0 0 5
C 1 2 0 2 0 5
D 0 0 0 2 2 4
所以参加比赛的球队数最少为6.
故答案为：6.
【分析】根据题中比赛规则，设甲队胜n场、平m场，分析可得甲对至少平4场，进而再取球队数5，6分析判断.
17．【答案】（1）解：由题可知
解得p=180，q=120
（2）解：零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联
根据列联表及(1)中数据，经计算得到χ2=≈7.609<10.828=x0.001.
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意计算值，并与临界值对比分析.
18．【答案】（1）解：因为acos C=csin A，所以sin Acos C=sin Csin A.
又sin A≠0，所以cos C=sin C，即tan C=
又C∈(0，π)，所以C=.
（2）解：由(1)知cos C==，则a2+b2-c2=ab.
因为b-c=1，所以c=，则b=
△ABC的周长为a+b+c=a+=3a+3+=3[(a-2)+]+9.
因为a>2，所以a-2+≥2，当且仅当a=2+时，等号成立
故△ABC周长的最小值为9+6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角整理即可；
（2）利用余弦定理整理得b=，进而结合基本不等式运算求解.
19．【答案】（1）解：证明：因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AB⊥BD，所以BD⊥平面ABC.
又AC 平面ABC，所以BD⊥AC.
因为AC⊥BC，BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD.
又AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BCD.
（2）解：记点D在平面α内的投影为E，连接BE，DE，取AB的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=2，平面ABD与平面α夹角的正切值为，
所以DE=，BE=，
则A(1，0，0)，D(-1，，)，C(0，-，)，
从而=(-2，，)，=(-1，-，).
设平面ACD的法向量为m=(x0，y0，z0)，则令y0=，得m=(5，，3).
平面α的一个法向量为n=(0，0，1).
cos===. ，故平面ACD与平面α夹角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD⊥平面ABC，进而根据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求面面夹角.
20．【答案】（1）解：当n=1时，a1=S1=21-1=1.
当 时， .
因为 ， 所以 ，
由 得 ， 即 ，
故 .
（2）解： 由(1)可知，
焦合 中不大于 30 的元表有 $2，4，8，16$，
则数列 的前 30 项和
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据 an 与 Sn 的关系可求得，进而可求集合A；
（2）根据题意可得，利用分组求和运算求解.
21．【答案】（1）解：由题可知，a=2.
当直线l的斜率不存在时，由|PQ|=3，得+=1，则b2=3，
故椭圆C的方程为+=1
（2）解：法一：当直线l的斜率不存在时，△APQ的面积S=×3×[1-(-2)]=.
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
联立方程组消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
则x1+x2=，x1x2=.
|PQ|==，
点A到直线l的距离d=，
则△APQ的面积S=|PQ|d==.
因为k2>0，所以0<<，
则0<--+1<1，0<<.
综上所述，△APQ面积的取值范围为(0，].
法二：依题意可设直线l的方程为x=ty+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
联立方程组消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0，
则y1+y2=-，y1y2=-.
|PQ|==.
点A到直线l的距离d=，
则△APQ的面积S=|PQ|d==.
因为≥1，所以3+≥4，所以0<≤.
故△APQ面积的取值范围为(0，]
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设直线l的方程为y=k(x-1)（或x=ty+1），P(x1，y1)，Q(x2，y2).利用韦达定理求|PQ|，进而可求面积及，结合基本不等式求范围.
22．【答案】（1）解：因为m=0，所以f(x)=ex+x-xln x，f'(x)=ex+1-ln x-1=ex-ln x，
则f(1)=e+1，f'(1)=e，
故f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(e+1)=e(x-1)，即ex-y+1=0
（2）证明：因为f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x，所以f'(x)=ex+m+m+1-ln x-1=ex+m+m-ln x.
由f(x)有两个极值点x1，x2，得方程ex+m+m-ln x=0有两个不相等的正实数根x1，x2，
即方程xex=(ln x-m)=ln =ln 有两个不相等的正实数根x1，x2.
令g(x)=xex，则g'(x)=(x+1)ex.当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(-1，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增.当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0.
由xex=ln ·有两个不相等的正实数根x1，x2，可得x=ln ，即m=ln x-x有两个不相等的正实数根x1，x2.
由m=ln x1-x1=ln x2-x2，得=1.
要证x1x2<1，只需证<，即证<.
不妨令00.
令h(t)=2ln t-t+，0则h(t)>h(1)=0，从而x1x2<1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）根据题意分析可得方程ex+m+m-ln x=0有两个不相等的正实数根x1，x2，整理得xex=ln ·有两个不相等的正实数根x1，x2，利用同构的思想结合函数g(x)=xex分析可得m=ln x-x有两个不相等的正实数根x1，x2，整理得<，换元可得ln t-t+>0.构建函数h(t)=2ln t-t+，0二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
