苏教版选择性必修第一册5.3第二课时 导数与函数的单调性(二) 课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
第5章 导数及其应用
第二课时　导数与函数的单调性(二)
课标要求
能利用导数研究含参数函数的单调性及根据函数的单调性求参数值(范围).
素养要求
通过利用导数研究含参数函数的单调性及根据函数的单调性求参数值(范围)，提升学生的数学运算素养与直观想象素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件.”这种说法对吗？
提示　前者是后者的充分而不必要条件.
2.填空　函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内__________；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内__________；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________.
温馨提醒　单调性的充分必要性是导数研究的热点，原因就是能够与恒成立问题(方程恒有解，不等式恒成立)相结合，能充分考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及转化与化归思想.
单调递增
单调递减
常数函数
3.做一做　函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.常函数 D.既不是增函数也不是减函数
A
解析　函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ
＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　含参数函数的单调性
(1)含参函数的单调性，主要以两种形式呈现，即判断单调性与求函数的单调区间(含有参数)，实质上这两种形式是一致的，只不过是换了一种说法.
(2)利用导数处理含参函数的单调性常用的技巧，一般是根据导函数的特点，通过因式分解的形式，对参数进行分类讨论，分层处理.
思维升华
题型二　根据函数的单调性求参数值(范围)
B
A
已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号不能恒成立.
思维升华
训练2 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　)
A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B.(－3，－1)∪(1，3)
C.(－2，2) D.不存在这样的实数k
B
解析　由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间
(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，∴k－1<2∴1A
题型三　函数单调性的应用
例3 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　)
A.e－2 022f(－2 022)f(0)
B.e－2 022f(－2 022)C.e－2 022f(－2 022)>f(0)，e2 022f(2 022)>f(0)
D.e－2 022f(－2 022)>f(0)，e2 022f(2 022)解析　(1)构造函数h(x)＝exf(x)，
则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2 022)同理，h(2 022)>h(0)，即e2 022f(2 022)>f(0)，故选A.
(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)
A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞)
B
解析　构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
迁移1　把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较
e2 022f(－2 022)和f(0)的大小.
迁移2　把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1).
故所求不等式的解集为(0，2).
思维升华
训练3 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.bC
解析　奇函数f(x)在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，且f′(x)>0.
又g(x)＝xf(x)，则x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
易知g(x)＝xf(x)为偶函数，∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
又2得g(20.8)课堂小结
1.掌握2种思想方法
(1)对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.
2.注意1个易错点
由函数单调性求参数范围时，函数单调递增 f′(x)≥0，函数单调递减 f′(x)≤0，不要忽略“等号”.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　)
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确
B
A
A
4.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1，2)上为增函数，则a＝(　　)
B
5.(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)
AB
(a，a＋1)
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是_______________________.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　由题意设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x).
∵当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴g(x)是定义在R上的偶函数.
又f(2)＝0，则g(2)＝2f(2)＝0，∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0＝g(2)，
∴|x|>2，解得x<－2或x>2，
∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
9.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解　∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.
又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1，3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
解　f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
10.试讨论函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
11.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0)
D.(0，1)∪(1，＋∞)
A
当x>0，g(x)>0时，f(x)>0，00，x<－1.
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
C
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
1
14.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
本课结束