人教版高中数学选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
3.3　抛物线
3．3.1　抛物线及其标准方程
[学习目标]　
1.了解抛物线的形成过程，理解抛物线的定义．　
2.了解抛物线标准方程的推导过程，理解不同建系方法对标准方程的影响．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　抛物线的标准方程有几种形式？
问题2　二次函数y＝ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线？它的焦点坐标和准线方程分别是什么？　　　
[预习自测]
1．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．直线　　　　　　 B．抛物线
C．直线或抛物线 D．椭圆
解析：定点F与定直线l的关系不确定．
当定点F在定直线l上时，轨迹是过定点F且与定直线l垂直的直线；
当定点F不在定直线l上时，轨迹是抛物线．
C
2．抛物线x2＝20y的焦点到准线的距离为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：由题知，2p＝20，所以p＝10.p的几何意义即为焦点到准线的距离．
B
3．已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上．若p＝2，则其标准方程为____________．
解析：∵抛物线的焦点在x轴的负半轴上，∴设抛物线的标准方程为y2＝－2px.又∵p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
y2＝－4x
4．抛物线y＝2x2的准线方程为____________．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做 ，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
抛物线
焦点
准线
[例1]　(1)到点(0,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
(2)在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
分析：看到点与直线，要考虑抛物线定义及其注意事项．
B
A
[解析]　(1)根据抛物线的定义，所求点的轨迹是抛物线．
(2)因为点(1,1)在直线x＋2y＝3上，所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．
　在利用到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线时，注意先判断定点是否在定直线上．如果在定直线上，则动点的轨迹为过该点且与已知直线垂直的直线．
　1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
解析：如图，设点P为满足条件的一点，由题意可得点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，所以点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．
D
　抛物线的标准方程
　与建立椭圆、双曲线的标准方程一样，需要建立恰当的坐标系，能够使抛物线方程形式简单．其建系方式为，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段FK的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy，这样抛物线的标准方程有以下四种不同的形式．
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
[例2]　根据下列条件，求出抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3,1)；
(2)准线与直线x＝1的距离为3.
分析：根据不同的条件，选择合适的形式，注意分类讨论．
　首先判断抛物线的开口方向，再设抛物线的标准方程．当知道开口方向向左、右(或上、下)但还不具体时，可设成y2＝2mx(m≠0)或x2＝2my(m≠0)的形式，其中m≠0，与p的几何含义略有差异，但这样设方程，有助于简化运算．
(2)焦点在x轴上，且焦点到准线的距离为3.
解析：因为抛物线的焦点在x轴上，且焦点到准线的距离为3，所以p＝3，抛物线的开口向左或向右，所以其标准方程为y2＝6x或y2＝－6x.
　抛物线的应用
1．抛物线上的点到焦点的距离称为 ．
焦半径
2.
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点 P的坐标为(2,2)．
　1.与抛物线的定义有关的长度问题的解题策略．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，或将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离．
(2)注意抛物线的焦半径的应用．
2．解决实际问题时，要建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的方程再根据方程解决实际问题．
　3.如图，某大桥有一个中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线以上部分船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？请说明理由．
解析：无法通过．理由如下：如图，建立平面
直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ay.
由题意知A(10，－2)在抛物线上，
即100＝－2a，∴a＝－50，即抛物线的方程为x2＝－50y，
让货船中间位置对齐y轴向前航行，船宽16米，而当x＝8时，64＝－50y，得y＝－1.28，即B(8，－1.28)，此时B点离水面的高度为6－1.28＝4.72(米)，而吃水线以上船体高度为5米，所以无法直接通过．又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7,150×7＝1 050(吨)．
1 050>1 000，故用多装货物的方法也无法通过．
　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是 ．
[例4]　证明：y＝x2－2x＋1的图象是抛物线．
分析：用适当的方式将y＝x2－2x＋1转化为抛物线标准方程的形式．
[证明]　对y＝x2－2x＋1的右边进行配方，得
y＝(x－1)2，将其向左平移1个单位，得到
y＝x2，图象是抛物线，所以y＝x2－2x＋1图象为抛物线．
抛物线
　我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线．抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线的问题．由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将y＝ax2＋bx＋c转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线．
因此，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．
　4.证明y＝x2－4x＋1的图象是抛物线．
证明：对y＝x2－4x＋1的右边进行配方得y＝(x－2)2－3将其向左平移2个单位，向上平移3个单位，得到y＝x2，图象是抛物线，所以y＝x2－4x＋1的图象是抛物线．
1．知识清单：(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程．
(3)抛物线的应用．
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线的关系．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：用定义判断轨迹时，容易忽略点与直线的位置关系．
课时作业 巩固提升