苏教版高中数学选择性必修第一册综合迎考期末模拟测试（含答案）

综合迎考　选择性必修第一册
(满分150分，时间120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－6＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．0　 B．1　
C．2　 D．3
2．在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　)
A．抛物线　 B．双曲线　
C．椭圆　 D．直线
3．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝6，则a1＋a7等于(　　)
A．2　 B．3　
C．4　 D．5
4．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
5．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与直线m间的距离为(　　)
A．　 B．2　
C．　 D．4
6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于点P.若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率是(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
7．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现有1到2020共2020个整数，将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　)
A．132项　 B．133项　
C．134项　 D．135项
8．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an.设bn＝，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　 B．　
C．　 D．(－1,2)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在公比q为整数的等比数列{an}中，设其前n项和为Sn，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，下列说法中正确的有(　　)
A．q＝2　 B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S8＝510　 D．数列{lgan}是公差为2的等差数列
10．已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y＝±x，下列结论中正确的有(　　)
A．双曲线C的方程为－y2＝1
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
11．已知函数f(x)＝，下列结论中正确的有(　　)
A．函数f(x)存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，下列结论中正确的有(　　)
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得MO＝2MA
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第13题第一个空2分、第二个空3分．
13．直线l：2x＋2y－1＝0的倾斜角为________，经过点(1,1)且与直线l平行的直线方程为________.
14．已知椭圆＋y2＝1的右焦点为F，以F为焦点的抛物线的标准方程是________.
15．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”该分钱问题中的人数为________.
16．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)．若f′(x)＞f(x)，f(2)＝1008，则不等式e2f(x＋1)－1008ex＋1＞0的解集为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知△ABC的顶点为A(2,3)，B(0，－1)，C(－2,1)．
(第17题)
(1)求直线AC的方程；
(2)从①②这两个问题中选择一个作答．
①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．
②若直线l过点B且与直线AC交于点E，BE＝3，求直线l的方程．
18．(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
19．(12分)在①＝－，②an＋1－an＝－，③an＋1＝an＋n－8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝4，________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(12分)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)是f(x)的导数．
(1)求证：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]，f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
21．(12分)某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用．模型假设如下：
假设1.传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性．潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期．
假设2.记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数．
假设3.某一固定区域(如某个城市)的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变．
(1)第一模型：无干预模型．在上述模型假设中，取m0＝1天，r0＝1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问：9天后感染总人数是多少？
(2)第二模型：无限医疗模型．
增加两个模型假设：
假设4.政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”．
假设5.潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性．
在第二模型中，取m0＝1天，r0＝1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问：多少天后感染总人数将超过1000万人？
(参考数据：1.28≈4.3，1.29≈5.2，1.210≈6.2，1.220≈38.3，1.230≈237.4，2.28≈549，2.29≈1207，2.210≈2656)
22．(12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝2x与椭圆E交于A，B两点，且AB＝2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设C，D为椭圆E上异于A，B的两个不同的点，直线AC与直线BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．
参考答案与解析
1．D　2.A　3.C　4.D　5.D　提示　圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的圆心为(2,1)，半径为r＝5.设l：ax－3y＋c＝0.又点P(－2,4)在直线l上，所以－2a－12＋c＝0，即c＝2a＋12，所以直线l为ax－3y＋2a＋12＝0，因此＝5，解得a＝4，直线l与m间的距离为＝4　6.B　提示　将x＝－c代入＋＝1，得y＝，所以P.因为∠F1PF2＝60°，所以tan60°＝＝＝，从而2ac＝b2，即2ac＝(a2－c2)，于是e2＋2e－＝0，解得e＝　7.D　提示　被3除余2且被5除余3的数构成首项为8、公差为15的等差数列，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7.由an≤2020，得n≤135　8.C　提示　an＝n，bn＝＝(n－2λ)·2n，bn＋1－bn＝(n＋1－2λ)·2n＋1－(n－2λ)·2n＝(n＋2－2λ)·2n>0恒成立，即n＋2－2λ>0恒成立，所以λ(第11题)
11．ABC　提示　f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.易知当x<－1或x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－10，f(x)单调递增．因此，f(x)有极小值f(－1)＝－e，有极大值f(2)＝.当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→0.由图象知，当－e0，所以g(x)在R上单调递增．因为g(2)＝，所以不等式e2f(x＋1)－1008ex＋1>0，可变形为>，即g(x＋1)>g(2)，从而x＋1>2，解得x>1　17.(1)kAC＝，所以直线AC的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0　(2)① 设D(m，n)，则解得所以点D的坐标是　② 设E.因为BE＝3，所以＝3，解得t＝0或t＝－，从而点E的坐标为(0,2)或　18.(1)由题意得C(2,3)．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，所以＝2，解得k＝－，从而直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0　(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心C(2,3)到直线l的距离为＝，所以弦长为2＝2　19.选择条件①：因为＝－，a1＝4，所以{an}是首项为4、公比为－的等比数列，从而an＝4×n－1＝n－3.当n为奇数时，Sn＝＝，因为随着n的增大而减小，所以Sn的最大值为S1＝4.当n为偶数时，Sn＝＝，且Sn＝<<4.综上，Sn存在最大值，且最大值为4　选择条件②：(解法1)因为an＋1－an＝－，a1＝4，所以{an}是首项为4、公差为－的等差数列，从而an＝4＋(n－1)·＝－n＋.由－n＋≥0，得n≤25，所以Sn存在最大值，且最大值为S25或S24.因为S25＝4×25＋×＝50，所以Sn的最大值为50.(解法2)因为an＋1－an＝－，a1＝4，所以{an}是首项为4、公差为－的等差数列，从而an＝4＋(n－1)·＝－n＋，Sn＝4n＋×＝－2＋，因此，当n＝24或n＝25时，Sn取得最大值，且最大值为50　选择条件③：因为an＋1＝an＋n－8，所以an＋1－an＝n－8，从而a2－a1＝－7，a3－a2＝－6，…，an－an－1＝n－9，于是an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝＝，an＝.又a1＝4也符合上式，所以an＝.当n≥16时，an>0，故Sn不存在最大值　20.(1)由题意得f′(x)＝2cosx－[cosx＋x(－sinx)]－1＝cosx＋xsinx－1.令g(x)＝cosx＋xsinx－1，则g′(x)＝xcosx.令g′(x)＝0，当x∈(0，π)时，x＝.当x∈时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此，g(x)max＝g＝－1.又g(π)＝－2，g(0)＝0，所以g(π)·g＜0，即f′(π)·f′＜0，从而f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点　(2)由题意知f(π)≥aπ，f(π)＝0，解得a≤0.由(1)知f′(x)在(0，π)只有一个零点，设该零点为x0.易知当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，实数a的取值范围是(－∞，0]　21.(1)设n天后感染总人数为an，则a1＝2.2，a2＝2.22，所以a9＝2.29≈1207，故9天后感染总人数是1207万人　(2)记bn为第n天收入医院的人数，则b1＝1，b2＝1.2.由题意知{bn}为首项为1、公比为1.2的等比数列，所以bn＝1.2n－1.若n天后感染总人数超过1000万，即b1＋b2＋…＋bn＋1.2·bn≥1000，所以1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n≥1000，从而1.2n＋1≥201.又1.230≈237.4>201,1.229≈197.8<201，所以n＋1≥30，即n≥29.故29天后感染总人数将超过1000万　
22．(1)由题意得e＝＝，即a2＝2b2，所以椭圆E的方程为＋＝1，与直线l：y＝2x联立，得x2＝，则y2＝.又AB＝2，所以＋＝5，解得b2＝3，于是a2＝6，因此椭圆E的方程为＋＝1　(2)根据题意，不妨设点A在第一象限，由(1)可知A(1,2)，B(－1，－2)．若直线AC的斜率不存在，则C(1，－2)，设D(x0，y0)，可得点M，N的坐标分别为，，因此直线MN的斜率为＝＝＝－1.若直线AC的斜率存在，设直线AC的方程为y－2＝k1(x－1)，点C的坐标为(xC，yC)，则有k1＝，设直线BC的方程为y＋2＝k(x＋1)，则有k＝.因为k·k1＝＝＝－2，所以k＝－，从而直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)．同理设直线AD的方程为y－2＝k2(x－1)，则直线BD的方程为y＋2＝(x＋1)．由y－2＝k1(x－1)及y＋2＝(x＋1)，解得M.由y－2＝k2(x－1)及y＋2＝(x＋1)，解得N，于是直线MN的斜率为＝＝－1，综上，直线MN的斜率为定值－1