2022～2023学年度（下）期末教学质量监测
高二数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．B
5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题
9．ABC 10．ABD 11．AC 12．ACD
三、填空题
9
13．0.8 14． 15．( ， 1] [0， ) 16 29．
2 48
四、解答题
17．解：
（1）由 a2 a6 10，得 a4 5，所以 a7 1
设等差数列{an}的公差为 d，所以 a7 a4 3d 6，所以 d 2
所以等差数列{an}的通项公式为 an 2n 13 .
………………（5分）
13 2n，n 6
（2）由题意可得 an
2n 13，n 7
(11 13 2n)n
当 n 6时， Sn n
2 12n
2
n 7 S 36 (1 2n 13)(n 6)当 时， n n
2 12n 72
2
n2 12n，n 6
所以数列{a } n S n 的前 项和 n .
n2 12n 72，n 7
………………（10分）
18．解：
1 2 (8 30 2 60)
2 100
（ ）由得 0.735，因为 2 0.735 2.706，
68 32 10 90
所以不能说明有 90%的把握认为“不礼让行人”行为与驾龄有关.
………………（4分）
60 2
（2）由题意可知，从驾龄超过 2年的驾驶员中抽取 1人能“礼让行人”的概率为 P ，
90 3
所以 X ~ B(3 2， )，则 X的取值分别为 0，1，2，3
3
P(X 0) C 0 (1 2)3 1 3 3 27 ,
P(X 1) C1 2 3 (1
2
)2 2
3 3 9 ,
{#{QQABISQQAaEEooggggAAAAAAAAAAAARBBgCUAwQWGywCCkEAKQQkkAgEAAAAAACggGGgQFFAAMQsAoEAIAiCQANNAABBACAA=}=#}}#}
P(X 2) C 2 (2 )23 (1
2 4
) , P(X 3) C 3 (
2)3 8
3 3 9 3 3 27 ,
X 0 1 2 3
P(X ) 1 2 4 8
27 9 9 27
所以 X 2数学期望为 E(X ) 3 2
3
………………（12分）
19．（B 版教材选择性必修第六章 109 页 4 题改编）
解法 1：
f (x)的定义域为R ， f (x) 3x(ax 2) ．
（1）若 a 2，则 f (x) 6x(x 1)．
由 f (x) 0得 x 0，或 x 1，列表：
x ( ，0) 0 (0，1) 1 (1， )
f (x) 0 0
f (x) 1 0
可知当 x 0时， f (x)取极大值1，当 x 1时， f (x)取极大值0．
………………（6 分）
a 0 0 x 2（2）若 ，当 时， f (x) 0， f (x) x 2单调递减，当 时， f (x) 0， f (x)
a a
单调递增．因为 f (0) f ( 3) 1 0 ，所以 f (x)在 (0, 2 )存在唯一零点当且仅当 f ( ) 0，
a a
可得 a 2．
3
若 a 0， f (x)在 (0, )存在唯一零点 x ．
3
若 a 0，当 x 0时， f (x) 0， f (x)单调递减．因为 f (0) 1， f (1) a 2 0 ，所
以 f (x)在 (0, )存在唯一零点．
综上， a的取值范围为 ( ,0] {2}．
解法 2：
f (x)的定义域为R ， f (x) 3x(ax 2) ．
（1）若 a 2，则 f (x) 6x(x 1)．当 x 0时， f (x) 0，当 0 x 1时， f (x) 0，
当 x 1时， f (x) 0，所以 f (x)在 ( ，0)单调递增，在 (0，1)单调递减，在 (1， )单调递增．
可知当 x 0时， f (x)取极大值1，当 x 1时， f (x)取极大值0．
………………（6 分）
（2）因为 f (0) 0，所以 f (x) 0 1 3等价于 3 a 0，设 g(x) x
3 3x a，则 f (x)
x x
在 (0, )存在唯一零点等价于 g(x)在 (0, )存在唯一零点．
g (x) 3(x 1)(x 1)，当 0 x 1时，g (x) 0，g(x)单调递减，当 x 1时，g (x) 0，
g(x)单调递增，所以当 x 0时， g(x)≥ g(1) a 2 ．
若 a 2，则当 x 0时， g(x) 0， g(x)在 (0, )不存在零点．
若 a 2， f (x)在 (0, )存在唯一零点 x0 =1．
若 0 a 2，因为 g(0) a 0， g(2) 2 a 0， g(x)在 (0, )存在两个零点．
{#{QQABISQQAaEEooggggAAAAAAAAAAAARBBgCUAwQWGywCCkEAKQQkkAgEAAAAAACggGGgQFFAAMQsAoEAIAiCQANNAABBACAA=}=#}}#}
a 0 f (x) (0, ) x 3若 ， 在 存在唯一零点 ．
3
若 a 0，因为 g(0) a 0， g( 3 a ) a( 3 a 1) 0 ，所以 g(x)在 (0, )存在唯
一零点．
综上， a的取值范围为 ( ,0] {2}．
20．解：
（1）因为 Sn an 1，当 n 2时， Sn 1 an 1 1，
两式作差得 2a a 0 an 1 {a } 1n n 1 ，即 ，所以数列 n ，是以公比为 的等比数列an 1 2 2
n 1 a 1 1当 时， 1 ，所以 a .2 n 2n
………………（6分）
n(n 1)
（2）数列{a 1 1 1 1n}的前 n项积为T ... 2 2n 2 ，2 2 23 2n
n n 1 n(n 1)
因为bn ( 1) log2 Tn ，所以 bn ( 1) ，令{bn}的前 n项和为M n，2
M 1 2 2 3 3 4 4 5 ... ( 1)
n 1n(n 1)
所以 n ，2
M 2 ( 2) 4 ( 2) ... ( 1)
n 1n(n 1)
n ，2
2 ( 2) 4 ( 2) ... n( 2)
当 n为偶数时，M n (2 4 ... n)2
n(n 2)
所以M n .4
(n 1)(n 1) n(n 1) (n 1)2
当 n为奇数时，M n ，4 2 4
n(n 2)
，n为偶数
M 4综上所述， n
(n 1)
2 .
，n为奇数 4
………………（12分）
21．解：
C 3C 2
1 25（ ）由题意知，甲盒子中有 3个红球和 2个黄球的概率 P 5 5 ，
C 510 63
………………（4分）
（2）当 i 3时，X可能的取值为 0，1，2，3，4
3 3
P(X 0) C C 1 3 33 C5C
3
5 100
{#{QQABSIQQAaEEooggggAAAAAAAAAAAARBBgCUAwQWGywCCkEAKQQkkAgEAAAAAACggGGgQFFAAMQsAoEAIAiCQANNAABBACAA=}=#}}#}
C 2C1C 3 C 3C1C 2P(X 1) 3 2 3 3 2 3 12 3
C 3C 35 5 100 25
1 2 3
P(X 2) C C C C
2 1 1 2 3 2 1
3 2 3 3
C2C2C3 C3C2C3 42 21
C 3 3
5C5 100 50
1 2 1 2 2 1 2 1
P(X 3) C3C2C2C3 C3C2C2C3 36 9
C 3C 3
5 5 100 25
1 1
P(X 4) C3C 3 9
C 3 35C5 100
X 0 1 2 3 4
1 3 21 9 9
P
100 25 50 25 100
1 3 21 9 9 12
所以 E3 (X ) 0 1 2 3 4 .100 25 50 25 100 5
………………（12分）
22．（改编于 2015 年新课标 2 卷理科 21 题）
解法 1：
（1） f (x)定义域为R ，设 g(x) f (x) ax ln a 2x sin x ln a．
因为 g (x) a x (ln a)2 2 cos x 0，所以 f (x)在R 单调递增函数．
而 f (0) 0，因此当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，于是 f (x)在 ( ，0)上
单调递减，在 (0， )上单调递增．
………………（4 分）
（2）命题“存在 x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) |≥ cos1 e 2”的否定为“对任意的
x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) cos1 e 2”
由（1）对任意的 a 0且a 1 f (x)在 [ 1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故 f (x)在
x 0处取得最小值．所以对任意的 x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) | cos1 e 2 等价于
f (1) f (0) cos1 e 2
f ( 1) f (0) cos1 e 2.
即
{#{QQABSIQQAaEEooggggAAAAAAAAAAAARBBgCUAwQWGywCCkEAKQQkkAgEAAAAAACggGGgQFFAAMQsAoEAIAiCQANNAABBACAA=}=#}}#}
a ln a e 1 0,
1 1 ①
ln e 1 0. a a
设 h(x) x ln x e 1，则 h (x) x 1 ，当 0 x 1时，h (x) 0，h(x)单调递减，当 x 1
x
时， h (x) 0， h(x)单调递增．
1
因为 h( ) h(e) 1 0，所以当且仅当 a e时，①式成立．
e e
1
因此 a的取值范围是 (0, ] [e, ) ．
e
………………（12分）
解法 2：
（1） f (x)定义域为R ， f (x) a x ln a 2x sin x ln a．
因为 f (x) ax (ln a)2 2 cos x 0，所以 f (x)在 R 单调递增函数．
而 f (0) 0，因此当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，于是 f (x)在 ( ，0)上
单调递减，在 (0， )上单调递增．
………………（4 分）
（2）设 g(a) 1 1 f (1) f ( 1) a ln a ，则 g (a) (1 )2 0 ， g(a)单调递增，当
a a
0 a 1时， g(a) 0， f (1) f ( 1)，当 a 1时， g(a) 0， f (1) f ( 1)．
由（1）对任意的 a 0且a 1 f (x)在 [ 1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故 f (x)在
x 0处取得最小值．所以存在x1，x2∈[－1，1]， | f (x1) f (x2 ) |≥ cos1 e 2等价于
f (1)≥ f ( 1) f (1) f ( 1)
或
f (1) f (0)≥cos1 e 2.
f ( 1) f (0)≥cos1 e 2.
即
a 1,
0 a 1,
或
a ln a e 1≥0,
1 1
ln e 1≥0. a a
设 h(x) x ln x e 1 h (x) x 1 ，则 ，当 0 x 1时，h (x) 0，h(x)单调递减，当 x 1
x
时， h (x) 0， h(x)单调递增．
1 1
因为 h( ) h(e) 0，所以 a的取值范围是 (0, ] [e, )．
e e
………………（12分）
{#{QQABSIQQAaEEooggggAAAAAAAAAAAARBBgCUAwQWGywCCkEAKQQkkAgEAAAAAACggGGgQFFAAMQsAoEAIAiCQANNAABBACAA=}=#}}#}按秘密级事项管理
丹东市2022～2023学年度（下）期末教学质量监测
高二数学
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．本试卷共22题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合，则AB=
A. B.[-1,2] C. {0,1,2} D.{1，2}
2．设随机变量X，Y满足Y=3X+2，X ~B(2，)，则 D(Y)=
A. B. C.4 D. 6
3．一个口袋里装有大小相同的2个红球和2个白球，从中任意取出2个球，记事件A=“至
少有一个是红球”，事件B=“恰好有一个是红球”，则事件A发生是事件B发生的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位: t) ,将数据按照[0.1)，[1,2)，[2.3)，[3,4)，[4.,5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则估计全市家庭月均用水量的平均数为
A. 2.45 B. 2.46 C．2.47 D. 2.48
5．设1是曲线(a ≠0)的一条切线，则l与坐标轴围成的三角形的面积为
A. a2 B. C. D.
6．某工厂产值第二年比第一年的增长率为P1，第三年比第二年的增长率为P2，P1+P2为定
值M，这两年平均增长率Р的最大值为
A. B. C. D.
7．若1和9为等比数列前6项中的某两项，则a5的最小值为
A.-81 B.-27 C.-9 D.-3
8．定义在的函数f(x)存在导函数，且xf '(x)<1，当时
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下面有两组数据，第一组(11，1),，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13.4，5)的线性回归方程为l1:，相关系数为r1，第二组(11，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13.4，1)的线性回归方程为l2:，相关系数为r2，则下列说法正确的有
A.l1与l2的交点为(12，3) B. r1·r2<0 C. D.
参考公式:
10．已知为数列的前n项和，.
A．当a1=1时，a6= 4 B.当a1 =2时，S100 = 4950
C.当Sk+2-Sk=15时，k =8 D.当a1 =0，a2=1时，数列是等差数列
11．已知A，B是两个事件，P(A)=0.4，P(B/A)=0.3，P()=0.2，则
A. P()=0.12 B. P(B)=0.14 C. P()=0.5 D. P(A+B)=0.64
12．无理数e= 2.71828……是一个特殊的数，它是取自瑞士数学家欧拉（Euler）的英文首字
母，欧拉首先发现此数并称为自然对数的底数，以e为底的对数函数y =lnx及与y = lnx有关的组合函数对数学、科技、生活等发展产生很大的影响.若关于y = lnx的组合函数
f(x)= x lnx ，当f(x)=t存在不同的实数根x1，x2，则
A. f(x)≥x-1恒成立 B. t的取值范围是
C. D.(a<0)在定义域内恒成立，a的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
13．在某次测试中，测量结果X服从正态分布N(1，)，若X在(0，1)内的取值概率为0.3，
则X在(0, )上的取值概率为___________
14．已知a > 0，b >0，且a+b=2，则的最小值为_________
15．已知函数在[0,)上是单调函数，则a的取值范围为________
16.一批易碎货品共10 件，由甲乙两辆运输车运送某地，甲车装有2个一级品，2个二级
品，乙车装有4个一级品，2个二级品，到达目的地后发现甲乙两车分别打碎了一件货品，从余下的8件货品中随机抽取一件，得到一级品的概率为_____﹒(结果用既约分数表示)
解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知等差数列中，.
(1）求数列的通项公式;
(2）求数列的前n项和Sn.
18.(12分)
电影《流浪地球》中的一句经典台词“道路千万条，安全第一条”，提醒机动车驾驶人自觉遵守道路交通安全法规，遇行人正在通过人行横道时，应当停车让行，礼让行人.某市交警部门从通过主干道路口的车辆驾驶员中随机抽查100人，调查驾驶员“不礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表:
(1）能否据此判断有90%的把握认为“不礼让行人”行为与驾龄有关
(2）将频率视为概率，现从该市驾龄超过2年的驾驶员中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中无“不礼让行人”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附:临界值表
参考公式:
19.(12分)
已知函数.
(1）若a=2时，求f(x)的极值;
(2）若f(x)在存在唯一零点，求a的取值范围.
20.(12分)
已知Sn为数列的前n项和，Sn+an =1 .
(1）求数列的通项公式;
(2）设数列的前n项积为Tn，若，求的前n项和.
21. (12分)
现有5个红球和5个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中5个球.
(1）求甲盒子中有3个红球和2个黄球的概率;
(2）已知甲盒子中有3个红球和2个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为Ei(X)，求E3(X).
22.(12分)
已知函数.
(1）证明:f(x)在上单调递减，在上单调递增;
(2）若，使|，求a的取值范围.
