2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学一模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，当时，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 一个长方体的主视图和左视图如图所示单位：，则其俯视图的面积为( )
A. B. C. D.
5. 若实数满足，的化简结果是( )
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是( )
A. “明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨
B. 数据，，，，的中位数和众数都是
C. 要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数中各有个数据，平均数，方差，，则说明乙组数据比甲组数据稳定
7. 已知、、是的三条边的长，那么方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的负实根 D. 有两个不相等的正实根
8. 观察图寻找规律，在“”处填上的数字是( )
A.
B.
C.
D.
9. 我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
11. 如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为( )
；
；
；
点和点都在此函数图象上，则；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 把多项式分解因式的结果是______ ．
14. 如果，那么的算术平方根为______．
15. 在活动课上，“雄鹰组”用含角的直角三角尺设计风车．如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去则点通过一次旋转至所经过的路径长为______结果保留
16. 关于的不等式组整数解有个，则的取值范围是______．
17. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，若的面积为，则 ______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，点、、三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡比为：，旗杆的高度为多少米？结果保留根号
21. 本小题分
在一个不透明的盒子里装有四个标记为、、的小球材质、形状、大小等完全相同，甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标；
求点在函数的图象上的概率．
22. 本小题分
已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
求证：≌；
当：的值为多少时，四边形是正方形？请说明理由．
23. 本小题分
八年级班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
共有______名同学参与问卷调查；
补全条形统计图和扇形统计图；
全校共有学生人，请估计该校学生一个月阅读本课外书的人数约为多少．
24. 本小题分
如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．
求证：是的切线．
若，求的半径．
25. 本小题分
据气象局预报，月初重庆市将有一次强降温雨雪天气某服装店决定购进、两种品牌鹅绒服购进种品牌鹅绒服件，种品牌鹅绒服件，需元；若购进种品牌鹅绒服件，种品牌鹅绒服件，需元．
求购进、两种品牌鹅绒服每件各需多少元？
元旦临近，服装店决定再次购买、两种品牌鹅绒服共件，且种品牌鹅绒服的数量不超过种品牌鹅绒服数量的倍，种品牌鹅绒服以每件元的利润销售，种品牌鹅绒服按照进价提高进行销售，怎样进货才能使该服装店在销售完这批品牌鹅绒服时获利最多，最多为多少元？用函数知识解决
26. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点不与、重合．
求抛物线的解析式；
当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
设为直线上的动点，以为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，分式的加减法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
平分，
，
，
，
故选：．
由对顶角求得，由角平分线的定义求得，根据平行线的性质即可求得结果．
本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由长方体的主视图和左视图得长方体的长为，宽为，
故俯视图的面积
故选：．
主视图可得长方体的长与高，左视图可得长方体的宽与高，俯视图的面积长宽．
本题考查了由三视图判断几何体，解决本题的难点是根据所给视图得到长方体的长与宽，关键是理解俯视图的面积等于长方体的长宽．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
直接利用的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：、“明天降雨的概率是”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故A选项错误；
B、数据，，，，的中位数是，众数是，故B选项错误；
C、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故C选项错误；
D、方差，
乙组数据比甲组数据稳定正确，故D选项正确．
故选：．
根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解．
本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
7.【答案】
【解析】解：在此方程中，
，，是三条边的长，
，，，即，
，
故方程有两个不相等的实数根，
又两根的和是，两根的积是，
方程的根的情况是有两个不相等的负根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
此题考查了根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由图中看出，从开始，每相邻个数的和等于第个数，那么所求的数是．
解决本题的关键的根据所给的数得到四个数之间的规律．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种万人，再结合结果提前天完成了这项工作，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，
实际每天接种万人，
又结果提前天完成了这项工作，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：．
利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了交平分线的性质．
11.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
函数的图象的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故错误；
由上述可知，，
，故正确；
抛物线开口向下，
当时，取得最大值为，
无论取何值都有，
，故错误；
抛物线的对称轴为直线，，
，故正确；
函数的图象的顶点为，
，
整理得：，
，
，
，故正确．
综上，正确的结论有，共个．
故选：．
根据抛物线的开口方向得，由顶点坐标可得，，以此可判断；再根据二次函数的性质可得当时，取得最大值为，以此可判断；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，，
，
的算术平方根为．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出，的值，再代入求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，，
由旋转的性质得，，
点通过一次旋转至所经过的路径长为，
故答案为：．
由含度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出结论．
本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，含度直角三角形的性质，熟记弧长公式是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
解得，
解得．
不等式组有个整数解，则整数解是，．
故．
故答案是：．
首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定的范围．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】
【解析】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
轴，轴，
≌，
，即为线段的中点，
的面积的面积，
的面积，
，
，
．
故答案为：．
首先由正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，可得为线段的中点，为线段的中点，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式．做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
18.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当，时，原式
．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：作于，于，
则四边形为矩形，
，，
设米，
斜坡的坡比为：，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
则，，
，
在中，，
则，
，
答：旗杆的高度为米．
【解析】作于，于，设米，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：列表法
乙 甲
解法：树状图
由表格或树状图得，点所有可能的坐标为：
把以上个点分别代入函数解析式得，只有在该函数的图象上，
所以（点P在函数式y=-x+2的图象上）．
答：点在函数的图象上的概率为．
【解析】根据列表分与树形图法即可写出结果；
把所有点坐标代入函数解析式中即可求解．
本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或树形图．
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
为中点，
，
在和，
，
≌；
解：当：：时，四边形是正方形，
理由：当四边形是正方形时，则，
≌，
，
、为等腰直角三角形，
，
，
即当：：时，四边形是正方形．
【解析】求出，，，根据全等三角形的判定定理推出即可；
求出，根据正方形的判定推出即可．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：参与问卷调查的学生人数为人，
故答案为：；
读本的女生人数为人，
读本人数所占百分比为，
补全图形如下：
估计该校学生一个月阅读本课外书的人数约为人．
由读书本的人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以读本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读本的人数除以总人数可得对应百分比；
总人数乘以样本中读本人数所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】证明：连接．
，
，
，
，
，
．
，
，
是的切线；
解：，为直径，
是的切线．
是的切线，
，
，
．
，
在中，，
，
．
的半径为．
【解析】连接根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
根据切线的性质得到，求得根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：设购进种品牌鹅绒服每件需元，购进种鹅绒服每件需元，
根据题意得：，
解得：，
答：购进种品牌鹅绒服每件需元，购进种鹅绒服每件需元．
设购进种品牌鹅绒服件，购进种鹅绒服件，获得的利润为，
根据题意可知，获得的利润，
化简得：，
解不等式得：，
为整数，
可以是，，，，
函数为增函数，
当时，即购进种品牌鹅绒服件，购进种鹅绒服件时，获利最多为元．
【解析】设购进种品牌鹅绒服每件需元，购进种鹅绒服每件需元，根据题意列方程组求解即可；
设购进种品牌鹅绒服件，购进种鹅绒服件，根据题意列方程，利用函数性质和不等式求出最大值．
本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，根据题意列方程，找到解后，再利用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就是可行的方案个数，再利用函数性质找到最大值．
26.【答案】解：直线：过点，
，
又，
将点，的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
抛物线的解析式为：．
如图，
设点，
轴，轴，
则，，
点在直线上方的抛物线上，
，
，，
．
，
当时，取得最大值，最大值为．
由可求，
是所求平行四边形的一边，
，设点，则，
由题意知：，即．
化简得：或，
解得：舍去，，，．
则符合条件的点有三个：，．
【解析】由直线：可求出点的坐标，再将点，点的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
，即可求解；
分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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