2023年广东省佛山市顺德区龙江外国语学校中考数学模拟冲刺试卷（6月份）（含解析）

2023年广东省佛山市顺德区龙江外国语学校中考数学模拟冲刺试卷（6月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数为无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 不透明的袋子中装有红球个，绿球个，除颜色外三个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
6. 如图，平面镜与平面镜平行，光线由水平方向射来，传播路线为，已知，则的度数为( )
A.
B.
C.
D. 无法确定
7. 如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则四边形的周长是( )
A. B. C. D.
8. 如图，等边的边长为，是和边上的一点，过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为，则与关于的函数图象正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 分解因式： ______ ．
10. 若代数式有意义，则的取值范围是______ ．
11. 已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为______．
13. 方程的两个根分别为，，则的值等于______ ．
14. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
新运算
根据上表规律，某同学写出了三个式子：，，其中正确的是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：
16. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
17. 本小题分
如图，在和中，于，于，，与相交于点求证：≌．
18. 本小题分
实验学校为推进“数学文化智慧阅读”活动，采购了一批图书其中九章算术的单价比几何原本的单价低元，用元购进九章算术的数量是用元购进几何原本的数量的倍．
求九章算术和几何原本的单价分别是多少元？
该校打算购进这两种书共本，且九章算术的数量不超过几何原本的数量的倍，求购进这两种书各多少本时，花费最少？
19. 本小题分
年月日时分，中国空间站梦天实验舱在长征五号运载火箭的托举下顺利升空某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：数据分为组：组：，组：，组：，组：，表示成绩，成绩为整数，其中七年级成绩处于组的有人．
七年级组成绩分别为：，，，，，，，，，，，；
七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数单位：分如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
直接写出，的值，并补全条形统计图；
通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由一条理由即可；
已知七、八年级各有名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于组的学生共有多少人？
20. 本小题分
某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角．
测量示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据
根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为______ ；
根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；参考数据：，，，，，
21. 本小题分
如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且．
求证：直线是的切线；
若，，求线段的长；
若，则，求线段的长．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点在抛物线上．
求抛物线的表达式；
如图，点在轴上，且点在点的下方，若，求点的坐标；
如图，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B符合题意；
C.与不是同类项，不能合并计算，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是正确解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：不透明的袋子中装有红球个，绿球个，
袋中球的总数为：，
从中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率为：．
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】
【解析】利用多边形的外角和除以每个外角的度数，即可求得边数．
本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和都是是解题关键．
解：这个多边形的边数是：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图，根据光的反射规律可知，，
，
，
．
故选：．
根据光的反射规律可知得到，，根据平行线的性质得到，即可得解．
此题考查了平行线的性质，垂线的定义，掌握平面镜光的反射规律、熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
矩形的对角线，相交于点，
，，，
，
，
平行四边形是菱形，
菱形的周长，
故选：．
先证四边形是平行四边形，得，，再由矩形的性质得，则，得平行四边形是菱形，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质得知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，，
，
根据解析式可知C正确，
故选：．
根据题意可知，点为临界点，分别研究在点两侧时的情况即可．
本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化．
9.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
提取公因式分解．
本题考查了提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】
【解析】解：代数式有意义，
，
解得：．
故的取值范围是．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，并根据科学记数法表示的小数写出原数，熟练掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由图象可得与直径重合，
，
，
，
，
故答案为：．
由图象可得与圆的直径重合，由及垂径定理求解．
本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
13.【答案】
【解析】解：方程的两个根分别为、，
，，
．
故答案是：．
先根据根与系数的关系可求，，再把，的值整体代入所求代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14.【答案】
【解析】解：由表格可得：
，原计算正确，
，原计算错误，
2，原计算正确，
其中正确的为．
故答案为：．
根据题中的新定义法则判断即可．
本题考查了有理数的混合运算、新定义，掌握新定义和有理数的混合运算是关键．
15.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
16.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
17.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌．
【解析】由“”可证≌；
本题考查了全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】解：设九章算术单价为元，则几何原本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
答：九章算术和几何原本的单价分别是元，元；
设学校购进九章算术本，则购进几何原本本，共需费用元，
则，
，
解得：，
，
当时，最小，最小值为，
此时，
答：当学校购进九章算术本，则购进几何原本本时，费用最小．
【解析】设九章算术单价为元，则几何原本的单价为元，根据用元购进九章算术的数量是用元购进几何原本的数量的倍列出方程，姐方程即可；
设学校购进九章算术本，则购进几何原本本，共需费用元，根据总费用等于两种书费用之和列出函数解析式，再根据九章算术的数量不超过几何原本的数量的倍求出的取值范围，根据函数的性质求函数最小值．
本题考查了一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
19.【答案】解：七年级组人数所占百分比为，
则，
所以；
七年级组的人数为人，
因为七年级成绩处于组的有人，
所以将七年级名学生的成绩按从大到小排序后，第个数和第个数在组，分别为，，
则其中位数；
八年级组的人数为：人．
补全条形统计图如下：
解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
人，
答：估计两个年级成绩处于组的学生共有人．
【解析】先求出七年级组人数所占百分比，再利用减去，，三组人数所占百分比即可得的值；先求出七年级组的人数，再根据中位数的定义即可得的值；求出八年级组的人数，据此补全条形统计图即可；
根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
分别利用乘以七、八年级组人数所占百分比即可得．
本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
，
∽，
，
，
解得：，
塔的高度为，
故答案为：；
由题意得：，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
塔的高度约为．
根据题意可得：，，从而可得，进而可得∽，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答；
根据题意可得：，设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
直线是的切线．
解：连接，
，
，
设，
，
，
，
在中，，
，
解得，舍去，
，
，，
，，
∽，
，
，
；
连接，
，
，
的长，
，
，
，
，
，
．
【解析】欲证明直线是的切线，只要证明即可．
连接，设，则，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，进而求得，，由∽，，即可解决问题；
根据弧长求出圆的半径，再利用，利用三角函数求出，即可答案．
本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
22.【答案】解：点，在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
解法一：
如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
，，
又，
为等腰直角三角形，，
设点坐标为，
点坐标为，
，，
，，
又
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为抛物线与轴交点，
当时，，
，
又点坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
点的坐标为．
解法二：
把绕点逆时针旋转得到线段，连接，
为等腰直角三角形，，，
与轴的交点即为点，
作轴于，作轴于，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
为抛物线与轴交点，
，
点坐标为，
，，
，，
，
坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为．
解法三：
过作于点，过点作于，
，
为抛物线与轴交点，
，
点坐标为，
，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
点的坐标为．
解法一：
过点作轴，交直线于点，则，
又，
∽，
，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
当时，，
直线与轴的交点坐标为，
，
设，
的坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为．
解法二：
过点作轴，交直线于点，则，
又，
∽，
，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
设点坐标为，
点坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为．
【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
解法一：如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，设点坐标为，先证明≌，可得出，再求出直线的表达式为，最后把代入求解即可；
解法二：把绕点逆时针旋转得到线段，连接，先证明≌，再求出直线的表达式为，即可求解；
解法三：过作于点，过点作于，利用勾股定理求出，然后证明∽，再利用勾股定理求出，即可求解；
解法一：过点作轴，交直线于点，则，由∽得到，利用待定系数求得直线的表达式为，设，得到的坐标，其中，可得出，所以，再根据二次函数的性质即可求解；
解法二：过点作轴，交直线于点，则，由∽得出，利用待定系数法求得直线的表达式为，设点坐标为，得出点坐标为，其中，可得出，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质．
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