2 简谐运动的描述
[学习目标] 1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。
一、简谐运动的振幅、周期和频率
如图甲所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。
(1)分析图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？
(2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？
答案 (1)a图像是从A点开始释放的，b图像是从B点开始释放的；弹簧振子两次形成的简谐运动具有相同的周期，从B点释放时离平衡位置的最大距离比从A点释放时的最大距离更大。
(2)不相同，两次速度方向相反。这段时间仅为半个周期。若经过一个周期，小球一定从同一方向再次经过O点。
1．振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
2．周期和频率
(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
(4)周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝，ω＝2πf。
1．对全振动的理解
(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。
2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的。( × )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量。( √ )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。( × )
(4)振幅越大，简谐运动的周期就越大。( × )
(5)振动物体内通过的路程一定等于振幅A。( × )
例1 (2023·如皋中学高二月考)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
答案 C
解析 小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1 T，所以小球经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。
例2 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
答案 C
解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
个周期内路程与振幅的关系
1．振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。
2．当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。
二、简谐运动的相位、表达式
如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
(2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
(3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？
答案 (1)两个小球在相同位置同时释放，除振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。两个小球的振动步调完全一致。
(2)当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置，而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期，或者说总是滞后个全振动。
(3)由问题(1)可得两振子A、ω相同，可知φ不同，且(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝×2π，即φ1－φ2＝。
1．相位
(1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
2．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
2．相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
3．简谐运动的表达式x＝Asin(t＋φ)
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。
例3 (多选)(2022·广州六中月考)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋) m。以下说法正确的是( )
A．物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B．物体A、B的周期相等，为100 s
C．物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D．物体A的相位始终超前物体B的相位
答案 CD
解析 物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误．物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝，故物体A的相位始终超前物体B的相位，D正确。
例4 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋) m
D．x＝8×10－3sin(t＋) m
答案 A
解析 由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋) m，A正确。
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例5 (多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A. s B. s
C．1.4 s D．1.6 s
答案 AC
解析 假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝×4 s＝ s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×(0.3＋) s＝
1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
课时对点练
考点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1．(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率与振幅无关
答案 BD
解析 振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期和频率由系统本身决定，与振幅没有关系，选项C错误，D正确。
2．(2023·厦门一中月考)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若小球从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是( )
A．小球从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是2 s，振幅是5 cm
C．经过两次全振动，小球通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，小球通过的路程是20 cm
答案 B
解析 小球在B、C间振动，小球从B经O到C再经O回到B，完成一个全振动，A错误；小球从B到C经历的时间为半个周期，所以振动周期为2 s，小球在B、C两点间做机械振动，BO＝OC＝5 cm，O是平衡位置，则振幅为5 cm，B正确；经过两次全振动，小球通过的路程是2×4A＝40 cm，C错误；从B开始经过3 s，小球运动的时间是1.5个周期，通过的路程为s＝1.5×4A＝1.5×4×5 cm＝30 cm，D错误。
3．(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 ( )
A．物体的振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
答案 BCD
解析 由题图可知，物体周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的振幅为10 cm，D正确。
考点二 简谐运动的相位、表达式
4．(多选)(2022·山东省实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝
0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 ( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin (2.5πt＋) m，则A的相位滞后B的相位
答案 CD
解析 由题意可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两弹簧振子的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位滞后B的相位，故D正确。
5．弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝4×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(2πt＋) m
D．x＝4×10－3sin(2πt＋) m
答案 B
解析 振子在M、N两点之间做简谐运动，由于M、N相距0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm＝4×10－3 m，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处，综上可得x＝4×10－3sin(4πt－) m，B正确，A、C、D错误。
6．(多选)(2022·北京四中期中)弹簧振子1和2均做简谐运动，位移随时间的变化规律满足x1＝3asin 10πbt和x2＝9asin(10πbt＋)，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同
B．弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同
C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
答案 BD
解析 1的振幅为3a,2的振幅为9a，所以两个弹簧振子的振幅不同；1的频率为f1＝＝5b,2的频率为f2＝＝5b，所以两个弹簧振子的频率相同，故A错误，B正确；从表达式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误，D正确。
考点三 简谐运动的周期性和对称性
7．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz
C．2.5 Hz D．1.25 Hz
答案 D
解析 由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故频率为f＝＝1.25 Hz，D正确。
8.如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为( )
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
答案 B
解析 质点以相同的速度依次通过M、N两点，画出示意图如图所示。
质点由M到O和由O到N运动时间相同，均为0.5 s，质点由N到最大位移处和由最大位移处到N运动时间相同，均为0.5 s，可见周期为4 s，振幅A＝ cm＝6 cm，故B正确。
9．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin(2πt＋) m
C．图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向都向右
D．弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m
答案 D
解析 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，周期T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s.向右为正，t＝0时刻位移为0.1 m表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振动方程为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.1sin (2πt＋) m，故B错误；简谐运动的图像中P点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左做减速运动，加速度方向向右，故C错误；因周期T＝1 s，则0～2.5 s内振子振动了2个周期，则振子从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝1 m，故D正确。
10．(2022·湖北十堰市期末)如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin (t＋φ0)，则下列说法正确的是( )
A．周期T＝0.5 s
B．振幅A＝20 cm
C．φ0＝
D．t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm
答案 C
解析 小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点，历时半个周期，故周期为T＝1 s，故A错误；振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝A，代入题中位移表达式可得φ0＝，故C正确；位移表达式为x＝10sin(2πt＋) cm，t＝0.125 s时，代入表达式可得小球的位移为5 cm，故D错误。
11．(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
答案 ACD
解析 如果振幅等于0.1 m，则 s是半周期的奇数倍，4 s－ s＝ s是半周期的偶数倍，故A正确，B错误；如果振幅大于0.1 m，可能有4 s＝nT＋，当n＝0时，T＝8 s；当n＝1时，T＝ s，故C、D正确。
12．(2022·黄石二中期末)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
答案 见解析
解析 (1)根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振动物体4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt，
A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt cm，振动图像如图所示。
13．(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
答案 AB
解析 简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，物块的位移为x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，则对小球h＋|x|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；t＝0.6 s＝T，t＝0时刻物块位于平衡位置，则0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。(共64张PPT)
第二章
2 简谐运动的描述
学习目标
1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。
2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。
3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。
内容索引
一、简谐运动的振幅、周期和频率
二、简谐运动的相位、表达式
课时对点练
三、简谐运动的周期性与对称性
一
简谐运动的振幅、周期和频率
如图甲所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′及B、B′点关于O点对称。图乙为先后两次分别从A、B两点释放经过平衡位置开始计时所得的振动图像。
答案 a图像是从A点开始释放的，b图像是从B点开始释放的；弹簧振子两次形成的简谐运动具有相同的周期，从B点释放时离平衡位置的最大距离比从A点释放时的最大距离更大。
(1)分析图乙中的a、b振动图像分别是从哪个点开始释放的？两次振动图像中的物理量有什么共同点和不同点？
答案 不相同，两次速度方向相反。这段时间仅为半个周期。若经过一个周期，小球一定从同一方向再次经过O点。
(2)从小球经过O点至下一次再经过O点的速度方向是否相同？这段时间是否为一个周期？
1.振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的 距离。
(2)意义：振幅是表示 大小的物理量，常用字母 表示。振动物体运动的范围是振幅的 。
最大
A
知识梳理
振动幅度
两倍
2.周期和频率
(1)全振动：一个 的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 (s)。
(3)频率：物体完成全振动的 与 之比，数值等于_______
_______________的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是______，简称 ，符号是 。
完整
相同
全振动
秒
次数
所用时间
单位时
间内完成全振动
赫兹
赫
Hz
(4)周期和频率的关系：f＝___。周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越 ，表示振动越 。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 、与频率成 ，
它们间的关系式为ω＝____，ω＝ 。
振动快慢
大
快
反比
正比
2πf
1.对全振动的理解
(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′
→O→A。
深化总结
(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。
2.简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系
(1)位移和振幅
①最大位移的数值等于振幅。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
(2)路程与振幅
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。
(3)周期与振幅
一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的。( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，它是标量。( )
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。
( )
(4)振幅越大，简谐运动的周期就越大。( )
(5)振动物体 内通过的路程一定等于振幅A。( )
√
×
×
×
×
(2023·如皋中学高二月考)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则
A.从O→B→O小球做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
例1
√
小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；
从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。
一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
例2
√
由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；
振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
总结提升
二
简谐运动的相位、表达式
如图所示，两个由完全相同的弹簧和小球组成的振子悬挂在一起，试分析以下问题：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到什么现象？
答案 两个小球在相同位置同时释放，除振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。两个小球的振动步调完全一致。
(2)若当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个，可以看到什么现象？
(3)在问题(2)中，两个小球振动的位移随时间变化的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中哪个量不同？相差多少？
1.相位
(1)概念：物理学中把( )叫作相位，其中φ是t＝ 时的相位，叫初相位，或初相。
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 。
(3)相位差：两个具有相同 的简谐运动的相位的差值，Δφ＝________ (φ1>φ2)。
知识梳理
ωt＋φ
0
状态
频率
φ1－φ2
2.简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin( t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的 ，A为 ，ω为圆频率，T为简谐运动的 ，φ0为 。
位移
振幅
周期
初相位
1.相位
相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
2.相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
深化总结
A.物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.物体A、B的周期相等，为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
例3
√
√
物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误.
因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；
有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是
例4
√
三
简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是
例5
√
√
假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，
则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
总结提升
四
课时对点练
考点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率与振幅无关
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基础对点练
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振幅是标量，选项A错误；
周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；
简谐运动的周期和频率由系统本身决定，与振幅没有关系，选项C错误，D正确。
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2.(2023·厦门一中月考)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若小球从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是
A.小球从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是2 s，振幅是5 cm
C.经过两次全振动，小球通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，小球通过的路程是20 cm
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小球在B、C间振动，小球从B经O到C再经O回
到B，完成一个全振动，A错误；
小球从B到C经历的时间为半个周期，所以振动周期为2 s，小球在B、C两点间做机械振动，BO＝OC＝5 cm，O是平衡位置，则振幅为5 cm，B正确；
经过两次全振动，小球通过的路程是2×4A＝40 cm，C错误；
从B开始经过3 s，小球运动的时间是1.5个周期，通过的路程为s＝1.5×4A＝1.5×4×5 cm＝30 cm，D错误。
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3.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是
A.物体的振动周期是2×10－2 s
B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
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由题图可知，物体周期为T＝4×10－2 s，A错误；
在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；
由题图可知，物体的振幅为10 cm，D正确。
考点二 简谐运动的相位、表达式
4.(多选)(2022·山东省实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
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在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；
5.弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是
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考点三 简谐运动的周期性和对称性
7.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为
A.0.4 Hz B.0.8 Hz
C.2.5 Hz D.1.25 Hz
√
8.如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为
A.3 s,6 cm B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm D.2 s,8 cm
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质点以相同的速度依次通过M、N两点，画出示意图如图所示。
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9.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，其在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，下列说法正确的是
A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次
全振动
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能力综合练
C.图乙中的P点对应的速度方向与加速度方向
都向右
D.弹簧振子在0～2.5 s内的路程为1 m
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弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，故A错误；
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简谐运动的图像中P点对应的速度方向为负，此时刻振子正在向左做减速运动，加速度方向向右，故C错误；
10.(2022·湖北十堰市期末)如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin ( t＋φ0)，则下列说法正确的是
A.周期T＝0.5 s
B.振幅A＝20 cm
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D.t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm
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小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点，历时半个周期，故周期为T＝1 s，故A错误；
振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10 cm，故B错误；
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12.(2022·黄石二中期末)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
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(1)求弹簧振子的振动周期T。
答案 见解析
根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
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(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
答案 见解析
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(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
答案 见解析
根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt，
13.(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是
A.h＝1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
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尖子生选练
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