课件22张PPT。第二十三章 旋 转
23.1 图形的旋转1.旋转的定义
把一个平面图形绕着_______某一点O转动一个_____,叫做图形
的旋转,点O叫做_________,转动的角叫做_______.如果图形上
的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的_______.平面内角度旋转中心旋转角对应点2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离_____.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______.
(3)旋转前、后的图形_____.相等旋转角全等【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.汽车方向盘的转动就是旋转现象.( )
2.旋转角不能大于180°.( )
3.图形在旋转过程中,图形上一定不存在一个固定点.( )
4.在旋转过程中,只能用一个角表示旋转角的大小.( )√×××知识点一 旋转的相关概念
【示范题1】如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将△ABP旋转后能与△CBQ重合.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转角是多少度?
(3)△BPQ是什么三角形?【思路点拨】(1)根据对应点到旋转中心的距离相等来确定旋转中心的位置.(2)对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角.(3)由旋转角和对应边的关系可以得到答案.【自主解答】(1)旋转中心是点B.
(2)因为△ABC为等边三角形,当边AB旋转到边BC的位置时,正好转过了60°,所以旋转角的度数是60°.
(3)BP=BQ,而旋转角又等于60°,所以∠PBQ=60°,这样△BPQ就是一个等边三角形.【想一想】
图形在旋转时,旋转的方向有几种?
提示:有两种情况:分别为逆时针方向旋转和顺时针方向旋转.【微点拨】
1.在旋转的过程中,图形中位置不发生变化的点为旋转中心.
2.在旋转的过程中,可以有多个角都可以表示旋转角.
3.旋转的范围是在平面内旋转,否则旋转得到的可能是立体图形.【方法一点通】
找旋转角的“三个步骤”
1.找出对应点.
2.连接对应点和旋转中心.
3.对应点和旋转中心连线的夹角即为旋转角.知识点二 旋转的性质
【示范题2】如图,点E是正方形ABCD内一
点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针
旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,
BE=2,CE=3,求∠BE′C的度数.【解题探究】
(1)△EBE′的形状是什么?∠EE′B的度数是多少?
提示:BE=BE′,∠EBE′=90°,即△EBE′是等腰直角三角形,所以∠EE′B=45°.
(2)E′E的长度是多少?
提示:在△EBE′中利用勾股定理可以求出E′E=2 .(3)E′C的长度是多少?
提示:E′C和AE是对应线段,即E′C=AE=1.
(4)△ECE′的形状是什么?∠EE′C的度数是多少?
提示:根据勾股定理的逆定理可以判定△ECE′是直角三角形,∠EE′C=90°.【尝试解答】连接EE′,
由旋转性质知∠EBE′=90°,BE=BE′=2,
∴∠EE′B=45°,EE′=2 ;
在△EE′C中,EE′=2 ,E′C=1,EC=3,
由勾股定理的逆定理可知∠EE′C=90°,
∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.【想一想】
利用旋转变换求角有哪几种方法?
提示:1.利用全等的性质求解.
2.利用旋转图形对应角的关系求解.
3.根据旋转角求解.【备选例题】(2013·仙桃中考)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小是 .【解析】在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°;在正三角形OEF
中, OF=OE,∠EOF=60°;∵AE=BF,∴△AOE≌△BOF,
∴∠AOE=∠BOF.
分情况讨论:当边EF在边AB左侧时,如图(1)所示,∠AOE=
(∠AOB-∠EOF)=15°;当边EF在边AB右侧时,如图(2)所示,
∠AOE=180°-15°=165°.答案:15°或165°【方法一点通】
旋转性质的“两点作用”
1.判断线段或角是否相等
(1)根据旋转角相等,对应点与旋转中心的连线相等可得线段或角相等.
(2)根据旋转后的图形与原来图形的形状、大小都相同可得图形的对应线段、对应角相等.
2.计算图形的面积、线段的长度或角的大小.提技能·题组训练
旋转的相关概念
1.在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )
①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
【解析】选A.一个三角形旋转后的位置与三角形的形状无关.
【知识归纳】准确理解旋转变换中的“三个要素”
1.旋转中心:旋转中心是点而不是直线,比如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以不属于我们要研究的绕定点旋转.
2.旋转角:因为经过旋转,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,不要把图形中的某些对应角误以为是旋转角.
3.旋转方向:旋转方向通常指顺时针方向或逆时针方向.
2.下列关于旋转的说法不正确的是( )
A.旋转中心在旋转过程中保持不动
B.旋转中心可以是图形上的一点,也可以是图形外的一点
C.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D.旋转由旋转中心所决定
【解析】选D.旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向所决定.
【知识归纳】平移、轴对称、旋转的联系
1.共同点:都是一种图形的变换,变换前后的两个图形全等.
2.不同点:见表格.
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
轴对称
直线
翻折180°
旋转
顺时针
转动一定的角度
逆时针
3.(2013·玉溪中考)如图,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( )
A.30° B.45° C.90° D.135°
【解析】选C.对应点与旋转中心的连线的夹角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋转角.由图可知∠BOD=90°.
4.正方形ABCD又可看成是由正方形FGCE绕 点,顺时针旋转 得到的.
【解析】观察图形可得,旋转中心为点C,旋转角为180°.
答案:C 180°
5.如图,若△ABD绕A点逆时针方向旋转60°得到△ACE,
则(1)旋转中心是 .
(2)图中为60°的角有 .
【解题指南】找出旋转图形中的任何一组对应点,连接对应点和旋转中心所组成的角,该角即表示旋转角.
【解析】(1)根据旋转的概念可得旋转中心是点A.
(2)由题意可知旋转的角度为60°,点B和点C是一组对应点,点D和点E是一组对应点,对应点与旋转中心所连线段的夹角有∠BAC,∠DAE,所以∠BAC和∠DAE都表示旋转角,即∠BAC=∠DAE=60°.
答案:(1)点A (2)∠BAC,∠DAE
6.钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了 度.
【解析】从2时到6时,时针转动了4个大格,每个大格30°,即120°.
答案:120
【知识拓展】12点后,时针与分针何时首次重合?
时针、分针转动一周都经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动=30°,每分钟时针转动=0.5°,每分钟分针转动=6°.设x时y分时针与分针重合,则时针转了×30度,分针转了6y度,∵时针与分针重合其度数差为0°,∴×30-6y=0,∴y=x,当x=1时,得y=,∴时针与分针首次重合为1点分.
旋转的性质
1.在图形旋转中,下列说法错误的是( )
A.连接一组对应点和旋转中心正好组成一个等腰三角形
B.旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上
C.图形中每一个点的位置都要改变
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
【解析】选C.在旋转的过程中,如果图形上的某一个点是旋转中心,则该点的位置并不改变.
2.(2013·莆田中考)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=
90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点
C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.55° B.70° C.125° D.145°
【解析】选C.根据旋转的定义,可以得到旋转角为∠BAB1,因为∠BAB1是△ABC的外角,得到∠BAB1=90°+35°=125°.
3.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,若AC⊥A′B′,则
∠BAC等于( )
A.50° B.60°
C. 70° D.80°
【解析】选A.∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,∴∠ACA′=
40°,∴∠A′=90°-40°=50°,
∴∠BAC=∠A′=50°.
4.如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,求DH的长.
【解析】连接线段HC,如图所示,
由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,
∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC,
∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,
根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,
即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.
5.如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).
【解析】由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.
∴∠A1=∠A,A1C=AC.
又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,
又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,将△ABC逆时针旋转得到△ADE,若∠DAC=15°,∠BAE=105°,AB=AD,则旋转角度为多少度?
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
.
答案: (1)①
(2)∵∠BAD和∠CAE都表示旋转角,∠BAE=105°,∴∠BAD+∠CAE+
∠DAC=105°,即2∠BAD+15°=105°,得∠BAD=45°,所以旋转角为45°.
课时提升作业(十八)
图形的旋转
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·济南中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(-2, 3),C(-3,1).将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,得到
△AB′C′,则点B′的坐标为( )
A.(2,1) B.(2,3)
C.(4,1) D.(0, 2)
【解析】选A.如图所示,点B′的坐标是(2,1).
2.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C,若∠A=40°,∠B′=110°,则∠BCA′的度数是( )
A.110° B.80°
C.40° D.30°
【解析】选B.根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠ABC=∠B′=110°,因为△ABC的内角和为180°,得到∠ACB=30°,所以∠BCA′=30°+50°=80°.
【变式训练】如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,将△AOB绕点O逆时针方向旋转得到△OA1B1,如果∠A1OB=70°,则旋转角为 .
【解析】根据旋转的性质,对应角相等,可以得到∠AOA1=∠A1OB+∠BOA,
所以∠AOA1=70°+30°=100°.
答案:100°
3.如图,在△ABC中,∠CAB=75°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到
△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
【解析】选A.∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,
∴AC=AC′,∠BAC=∠B′AC′,
∵CC′∥AB,∠CAB=75°,∴∠ACC′=∠CAB=75°,
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°,
∵∠BAB′=∠CAC′,∴∠BAB′=30°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·广州中考)如图,Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′,则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D′的长度为 .
【解析】旋转是全等变换,
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′,
∴A′B′=AB=16,∴C′D′=A′B′=8.
答案:8
5.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定的角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD的长为 .
【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,所以△ADB为等边三角形,所以BD=AB=2,CD=BC-BD=3.6-2=1.6.
答案:1.6
【互动探究】若将题干中“CD的长”改为“旋转的角度”,则本题的答案是什么?
【解析】由旋转的特征知AD=AB,又∠B=60°,
所以△ADB为等边三角形,所以∠DAB=60°,
故旋转的角度为60°.
答案:60°
6.(2013·南京中考)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α= °.
【解析】∵四边形ABCD和AB′C′D′均为矩形,∴∠BAD=∠B=∠D′=90°.
∵∠1=110°,∴∠2=110°,∴∠BAD′=70°,∴α=20°.
答案:20
【易错提醒】旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角,在本题中∠BAB′和
∠DAD′都表示旋转角,有时候往往误认为∠BAD′表示旋转角.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,把△ABC绕着点A旋转,使点C和点D重合,画出旋转后的图形.
【解析】分别确定点A,B的对应点,画图如下:
【知识归纳】旋转作图的“四个步骤”
1.连:连接图形中关键点和旋转中心.
2.转:把连线按照要求绕旋转中心转动一定的角度.
3.截:在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,从而得到一个对应点.
4.连:按照原来的顺序连接各个对应点.
8.(8分)(2013·毕节中考)四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF.
(2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到.
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,F是CB延长线上一点,∴AB=AD,∠ABF=
∠D=90°,
又∵DE=BF,
∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵△ADE旋转后能与△ABF重合,
∴∠FAE=∠BAD=90°.
故以A为旋转中心顺时针旋转90°.
答案:A 90
(3)由(1)△ADE≌△ABF可得∠FAB=∠EAD,AE=AF,
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE,即∠FAE=∠BAD=90°,∴△AEF为等腰直角三角形,
∴S△AEF=AE·AF=AE·AE=AE2.
若BC=8,DE=6,则AD=BC=8,
AE===10,
S△AEF=AE2=×102=50.
答:△AEF的面积为50.
【知识归纳】找旋转中心的两个方法
1.旋转的过程中位置没有变化的点.
2.旋转中心就是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点.
【培优训练】
9.(10分)(2013·北京中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图(1),直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示).
(2)如图(2),∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明.
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
【解析】(1)∠ABD=30°-α.
(2)△ABE为等边三角形.
理由:连接AD,CD,∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°,
又∵∠ABE=60°,∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α;
∵△BCD为等边三角形,在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α,
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°--150°=α.
在△EBC与△ABD中,
∴△EBC≌△ABD(AAS),
∴AB=BE,又∵∠ABE=60°,
∴△ABE为等边三角形.
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°.
∴∠DCE=150°-60°=90°,
∵∠DEC=45°.
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,∴∠EBC==15°.
而∠EBC=30°-α=15°,∴α=30°.
