课件22张PPT。23.2 中心对称
23.2.1 中心对称1.中心对称的概念
(1)把一个图形绕着某一个点旋转______,如果它能够与另一个
图形_____,那么这两个图形关于这个点对称,或叫做_________,
这个点叫做_________.
(2)两个图形中的对应点叫做关于对称中心的_______.180°重合中心对称对称中心对称点2.中心对称的性质
如图,△A′B′C′是把△ABC旋转180°后得到的图形.
(1)OA=_____,OB=_____,OC=_____.
(2)△ABC和△A′B′C′的关系是_____.
(3)中心对称的性质:即中心对称的图形,
_________是对称点所连线段的中点;中心对称的两个图形是
_______.OA′OB′OC′全等对称中心全等形【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.旋转后能够重合的两个图形成中心对称.( )
2.两个图形成中心对称,对称中心只能在图形的外部.( )
3.成中心对称的两个图形,对应点的连线一定过对称中心.( )
4.两个图形成中心对称,这两个图形也有可能是成轴对称.( )××√√知识点一 中心对称的概念及性质
【示范题1】如图,将一张直角三角形纸
片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将
△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,
点E到了点E′位置,则四边形ACE′E是什么图形?【解题探究】(1)点E′、点D、点E是否在同一直线上?为什么?
提示:因为旋转角为180°,所以∠E′DE=180°,即点E′、点D、点E在同一直线上.
(2)线段E′E和AC有什么关系?为什么?
提示:平行且相等,因为E′E=2DE,AC=2DE,所以E′E=AC.
因为DE∥AC,且点E′、点D、点E在同一直线上,所以E′E∥AC.【尝试解答】∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,且AC=2DE.
又∵△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,∴∠E′DE=180°,
即点E′、点D、点E在同一直线上且DE= DE′,
∴E′E∥AC且E′E=AC,∴四边形ACE′E是平行四边形.【想一想】
示范题1中四边形EBE′C是什么图形?为什么?
提示:菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【微点拨】
1.两个图形成中心对称,实质上是旋转角为180°的特殊的旋转变换.
2.中心对称的特征为证明线段相等、角相等、两直线平行提供了条件.【方法一点通】
1.掌握中心对称性质的“三个对应”
(1)对应边相等.
(2)对应边平行或在同一直线上.
(3)对应角相等.2.判断中心对称的“两个方法”
(1)连接两个图形的对应点的线段是否经过同一个点,并且被该点平分.
(2)把其中一个图形绕着某一个点旋转180°是否能与另一个图形重合.知识点二 画一个图形关于某一点的对称图形
【示范题2】如图△ABC的三个顶点都在格点上,每个小方格边长均为1个单位长度.(1)请你作出△ABC关于点A成中心对称的△AB1C1(其中B的对称点是B1,C的对称点是C1),并写出点B1,C1的坐标.
(2)依次连接BC1,B1C.猜想四边形BC1B1C是什么特殊四边形,并说明理由.【思路点拨】(1)根据中心对称的性质找到对称点,然后顺次连线作图,并写出坐标.
(2)应用中心对称的性质判定四边形的对角线互相平分,确定四边形的形状.【自主解答】(1)正确作出B1,C1.B1的坐标(2,0),C1的坐标
(5,-3).
(2)四边形BC1B1C是平行四边形.
理由:由中心对称的性质可知,BA=B1A,CA=C1A,∴四边形BC1B1C是平行四边形.【想一想】
示范题2中如何作出点B关于点A的对称点B1?
提示:(1)连接BA.(2)延长BA.(3)在BA的延长线上截取AB1,使AB1=AB,点B1就是所求作的点.【备选例题】(2013·广元中考)以如图(1)(以O为圆心,半径为1的半圆)作为“基本图形”,分别经历如下变换能得到图(2)的有 (只填序号).
①只要向右平移1个单位;
②先以直线AB为对称轴进行
翻折,再向右平移1个单位;
③先绕着点O旋转180°,再向右平移1个单位;
④绕着OB的中点旋转180°即可.【解析】只将半圆向右平移1个单位, 依然在直径AB的下方,
故①不能;②,③都能先得到一个以AB为直径、 在AB上方的
半圆,再将此半圆向右平移1个单位可得到图(2);因为图(2)中
的两个半圆关于BO的中点中心对称,则将图(1)绕着OB的中点旋
转180°可得到图(2),则④能.
答案:②③④【方法一点通】
画一个图形关于某点的对称图形的“三个步骤”
(1)在原图形确定关键点.
(2)分别画出关键点的对称点.
(3)按照原图形的连接顺序连接关键点的对称点.提技能·题组训练
中心对称的概念及性质
1.下列说法不正确的是( )
A.关于中心对称的两个图形面积相等
B.关于中心对称的两个图形周长相等
C.关于中心对称的两个图形的对称点连线经过对称中心
D.关于中心对称的两个图形一定关于直线对称
【解析】选D.关于中心对称的两个图形是全等图形,所以两个图形的面积相等,周长也相等;根据中心对称的性质可知:对称点连线经过对称中心;关于中心对称的两个图形不一定关于直线对称.
【特别提醒】中心对称的两个图形是全等图形,但是,两个全等图形不一定是中心对称.
2.(2013·梧州中考)如图,△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到
△A′B′C′.ED是△ABC的中位线,经旋转后为线段E′D′.已知BC=4,则
E′D′=( )
A.2 B.3 C.4 D.1.5
【解析】选A.∵△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到的,∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,
∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,
∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.
【互动探究】如果旋转的角度不是180°,而是170°,结果发生变化吗?
【解析】旋转角为170°时,结果不发生变化.
因为△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转170°后得到的,
∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,
∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,
∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.
3.已知A,B,O三点不共线,A,A′关于O对称,B,B′关于O对称,那么线段AB与
A′B′的关系( )
A.平行 B.相等
C.平行且相等 D.所在直线交于点O
【解析】选C.如图,∵A,A′关于O对称, B,B′关于O
对称,∴OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′,∴△ABO
≌△A′B′O,即AB=A′B′.∵△ABO≌△A′B′O,
∴∠A=∠A′,∴AB∥A′B′.
4.在图②③④⑤中,与图①是关于某一点成中心对称的为 .
【解析】根据中心对称的概念可得,把图①绕着某个点旋转180°后,可以和图③重合.
答案:图③
【知识归纳】中心对称与轴对称的区别与联系
轴对称
中心对称
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
图形沿对称轴对折(翻折180°)后重合
图形绕对称中心旋转180°后重合
折叠后与另一图形重合
旋转后与另一图形重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
5.如图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有 组.
【解析】根据中心对称的概念可得,成中心对称图形的有(1)(2)(3),共3组.
答案:3
6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC和△AB′C′关于点A成中心对称.
(1)找出图中所有相等的线段.
(2)△ABC绕点A旋转了多少度?
(3)∠BB′C′是多少度?
【解析】(1)AB=AB′,AC=AC′,BC=B′C′. (2)180°.
(3)∠BB′C′=∠CBA=90°-30°=60°.
画一个图形关于某一点的对称图形
1.如图,将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )
【解析】选B.根据题意可知△AOB和△DOE关于点O成中心对称,所以选项B符合.
2.如图所示的图形是由三个半圆组成的图形,点O是大半圆的圆心,且AC=CD=DB,则画出此图关于点O成中心对称的图形是( )
【解析】选C.根据题意可知:直径以上的半圆和直径以下的半圆是关于点O成中心对称的,所以选项C符合.
3.画出与线段AB关于点O成中心对称的图形.
【解题指南】解答本题的关键是分别画出点A、点B的对称点,然后连接两点的对称点,即可得到答案.
【解析】作法:(1)如图,连接AO,在AO的延长线上截取OA′=OA,即可以求得点A关于点O的对称点A′.
(2)同理,可以求得点B关于点O的对称点B′.
(3)连接A′B′,就可以得到与AB关于点O对称的A′B′.
4.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC绕点O旋转180°得到
△A1B1C1,再将△A1B1C1沿x轴翻折得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.
【解析】画图如下:
【知识归纳】中心对称的概念与作图方法
作出一个图形关于某一点成中心对称的图形,实质上是运用了中心对称的概念,利用连接并延长使之与已知点到对称中心的距离相等的方法将未知的对称点作出来.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,E,F在直线BD上,且BE=DF,写出图中关于点O成中心对称的三角形.
(1)错因:
(2)纠错:
答案：(1)遗漏对称中心在公共边上的情况.
(2)除了上面列举的四组外,还有△ABC与△CDA,△ABD与△CDB,△ADE与△CBF.
课时提升作业(十九)
中心对称
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AC交BD于点O,点E,F分别为AO,BO的中点,则下列关于点O成中心对称的一组三角形是( )
A.△ABO与△CDO B.△AOD与△BOC
C.△CDO与△EFO D.△ACD与△BCD
【解题指南】解答本题所需要的知识点是:
(1)三角形中位线的性质.
(2)全等三角形的判定定理.
(3)中心对称的概念.
【解析】选C.∵点E,F分别为AO,BO的中点,
∴EF∥AB,AB=2EF.
又∵AB=2CD,∴EF=CD;
又∵AB∥CD,∴EF∥CD,
∴△CDO≌△EFO,△CDO和△EFO对应点的连线都经过点O,并且被点O平分,
即△CDO与△EFO关于点O成中心对称.
【变式训练】如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称.
求证:△AOD≌△COB.
【证明】∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称,
∴点O是BD和AC的中点,即OA=OC,OB=OD,
又∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD≌△COB(SAS).
2.(2013·泰安中考)在如图所示的单位正方形网格中,△ABC经过平移后得到
△A1B1C1,已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点P1,点P1绕点O逆时针旋转
180°,得到对应点P2,则P2点的坐标为( )
A.(1.4,-1) B.(1.5,2)
C.(1.6,1) D.(2.4,1)
【解析】选C.观察图象可得点A的坐标为(2,4),点A1的坐标为(-2,1),所以将
△ABC左移4个单位、下移3个单位得到△A1B1C1,故P(2.4,2)平移后的对应点P1(2.4-4,2-3),即(-1.6,-1),由关于原点中心对称规律知点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2(1.6,1).
3.如图,如果甲、乙关于点O成中心对称,则乙图中不符合题意的一块是( )
【解析】选C.根据中心对称的概念,通过观察可以发现不符合要求的是选项C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·曲靖中考)如图,将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转n1°,n2°,
n3°后所得到的三角形和△ABC的对称关系是 .
【解析】根据三角形的内角和定理可得n1+n2+n3=180,将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转180°得到的图形和△ABC关于这个点成中心对称.
答案:中心对称
5.一次函数y=2x+6的图象和一次函数y=kx+b的图象关于原点对称,则k= ,b= .
【解析】如图所示,直线y=2x+6与坐标轴的交点是A(0,6),点B(-3,0),点A和点B关于原点的对称点分别为A′(0,-6),点B′(3,0),即A′(0,-6),点B′(3,0)都在直线y=kx+b的图象上,求得k=2,b=-6.
答案:2 -6
6.如图,已知?ABCD的对角线BD=4cm,将?ABCD绕BD的中点O旋转180°,则点D所转过的路径长为 .
【解析】点D所经过的路线正好是以BD的长为直径的半圆,即π×4÷2=2π.
答案:2π
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,△ABC与△A′B′C′关于某一点成中心对称,画出对称中心.
【解析】如图:O点即为所求.
8.(8分)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,再将△A1B1C1绕点C1旋转180°得到△A2B2C2.
【解析】分别将点A,B,C向右平移4个单位得到点A1,B1,C1,连接A1B1,B1C1,A1C1,得到△A1B1C1,再分别将点A1,B1,C1绕点C1旋转180°得到点A2,B2,C2,连接A2B2,B2C2,A2C2,得到△A2B2C2,如图.
【培优训练】9.(10分)如图,在△ABC中,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,试探索线段BE,EF,FC之间的数量关系.
【解析】FC2+BE2=EF2,理由如下:
∵D为BC的中点,∴BD=CD,
作△BDE关于点D成中心对称的△CDG,
由中心对称的性质可得△BDE≌△CDG,
∴CG=BE,∠DCG=∠B,
又∵∠B+∠ACB=90°,∴∠DCG+∠ACB=90°,
即∠FCG=90°,∴FC2+GC2=FG2,
又由题意知FD为EG的中垂线,∴FG=EF,
∴FC2+BE2=EF2.
