课件18张PPT。23.2.3
关于原点对称的点的坐标图中的小正方形的边长为1,在平面直角坐标系中,两个三角形关于原点对称,完成下列各题:(1)点A的坐标为_______,点B的坐标为_______,点C的坐标为
_______,点D的坐标为_______,点E的坐标为_______,点F的坐标
为_______.
(2)点A关于原点的对称点是点__,点B关于原点的对称点是点__,
点C关于原点的对称点是点__.
总结:点(x,y)关于原点的对称点为________.(3,-2)(2,-5)(6,-5)(-3,2)(-2,5)(-6,5)DEF(-x,-y)【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.点P(6,0)关于原点的对称点M,则点M的坐标为(0,-6).( )
2.点P(-2,3)关于原点的对称点C,则点C的坐标为(2,-3).( )
3.已知点P(a,3)和P′(-4,b)关于原点对称,则a+b的值为1.( )
4.点(x,y)和点(-x,-y)一定关于原点对称.( )
5.点A关于原点对称的点的坐标是(4,-6),则点A的坐标是
(-4,-6).( )×√√√×知识点一 关于原点对称的点的坐标
【示范题1】若点A(2m-1,2m+3)与B(-2-n,1-8n)关于原点O对称,求(m-n)2014的值.【教你解题】【想一想】
命题“如果两个点关于原点对称,那么这两个点的横、纵坐标分别互为相反数”的逆命题是否成立?
提示:成立【备选例题】若点P(-1-2a,2a-4)关于原点对称的点是第一象
限的点,则a的整数解有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】选B.点P的对称点的坐标是(1+2a,4-2a),
所以 解得-
熟记对称口诀
x轴对称,纵相反;
y轴对称,横相反;
原点对称,都相反.
解释:
①两点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;
②两点关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;
③两点关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.知识点二 关于原点对称的点的坐标的应用
【示范题2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1,再作出△A1B1C1关于点O的对称图形△A2B2C2.【思路点拨】(1)写出△ABC三个顶点的坐标,然后根据轴对称的性质,分别求出点A、点B、点C关于y轴的对称点的坐标,连接各个对称点,即可得到△A1B1C1.
(2)分别求出点A1、点B1、点C1关于原点对称的点的坐标点A2、点B2、点C2,连接A2B2,A2C2,B2C2,即可得到△A2B2C2.【自主解答】根据点所在的位置,可以
得知:点A的坐标是(-1,4),点B的坐标
是(-2,2),点C的坐标是(0,1).那么点A
关于y轴的对称点A1的坐标为(1,4),点
B关于y轴的对称点B1的坐标为(2,2),点C关于y轴的对称点C1的坐标为(0,1);点A1关于原点对称的点的坐标是A2(-1,-4),点B1关于原点对称的点的坐标是B2(-2,-2),点C1关于原点对称的点的坐标是C2(0,-1),画图如图:【想一想】
示范题2中能否通过平移的方式,把△ABC移到△A1B1C1或△A2B2C2的位置?
提示:不能.【微点拨】
1.如果原图形是一个不规则的图形,则需要在原图形中找出图形的关键点,分别求出关键点的对称点的坐标.
2.也可以用如下方法作图:连接关键点和原点,并加倍延长得其对称点,顺次连接各个对称点.【方法一点通】
坐标系内作中心对称图形的“三个步骤”
1.算:根据坐标互为相反数的特性,算出对称点的横、纵坐标.
2.描:在坐标系内描出对称点的位置.
3.连:按照顺序连接各个对称点.提技能·题组训练
关于原点对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中,点P(2,-1)关于原点的对称点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.点P(2,-1)关于原点的对称点是(-2,1),在第二象限.
2.已知点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于原点对称,则m+n的值为( )
A.1 B.-1 C.3 D.2
【解析】选B.点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于原点对称,
∴m-1=-2,即m=-1,n-1=-1,即n=0.∴m+n=-1.
【互动探究】已知点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于x轴对称,则m+n的值为( )
A.1 B.-1 C.3 D.2
【解析】选C.点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于x轴对称,
∴m-1=2,即m=3,n-1=-1,即n=0.∴m+n=3.
3.点A关于y轴的对称点是(-2,6),点A和点B关于原点对称,则点B的坐标是
( )
A.(-6,-2) B.(-6,2)
C.(2,-6) D.( -2,-6)
【解析】选D.∵点A关于y轴的对称点是(-2,6),∴点A的坐标是(2,6),∴点B的坐标是(-2,-6).
4.已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,则点P关于原点的对称点为 .
【解析】∵点P到x轴的距离为2,
∴点P的纵坐标为±2,
同理得点P的横坐标为±5,
所以点P的坐标为四种情况,
即(5,2),(-5,-2),(-5,2),(5,-2),
关于原点的对称点分别为(-5,-2),(5,2),(5,-2),(-5,2).
答案:(-5,-2),(5,2),(5,-2),(-5,2)
【易错提醒】点P到x轴的距离为2,确定的是点P的纵坐标是2或-2,不要误认为该点的横坐标是2或-2.
5.已知点A与点B关于原点O对称,且点A的坐标为(-3,y),且AB=10,则点B的坐标为 .
【解析】∵点A, O,B在同一直线上,且OA=OB,
∴OA=5;
根据勾股定理可知:
点A到x轴的距离为=4,
即点A的纵坐标为4或-4,
所以点A的坐标为(-3,4)或(-3,-4),
点A和点B关于原点对称,
所以点B的坐标为(3,-4)或(3,4).
答案:(3,-4)或(3, 4)
【变式训练】已知点A与点B关于原点O对称,且点A的坐标为(-5,12),则AB的长度为 .
【解析】OA==13,AB=2OA=26.
答案:26
6.已知点A(m-2n,-2)与点A′(-5,2m+n)关于原点O对称,求m,n的值.
【解析】因为两个点关于原点对称,所以它们的横、纵坐标互为相反数,列方程组,得解得m=,n=-.
关于原点对称的点的坐标的应用
1.下列函数中,图象一定关于原点对称的图象是( )
A.y= B.y=2x-1
C.y=-8x+1 D.以上三种都不可能
【解析】选A.画出选项中的函数图象,通过观察发现只有函数y=的图象是关于原点对称的.
【一题多解】选A.设图象中的任意一点的坐标为 (m,n),那么点(m,n)关于原点的对称点为(-m,-n),如果点(m,n)和(-m,-n)同时在同一个函数图象上,那么该图象一定关于原点对称,经过检验,函数y=的图象关于原点对称.
2.在如图所示编号为①,②,③,④的四个三角形中,关于y轴对称的两个三角形的编号为 ;关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为 .
【解析】根据轴对称的定义可得编号为①,②的两个三角形关于y轴对称,根据中心对称的定义可得编号为①,③的两个三角形关于原点O对称.
答案:①② ①③
【知识归纳】关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
P(x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(-x,-y)
3.直角坐标系中,直线y=2x+3关于原点对称的直线的解析式为 .
【解析】若两条直线关于原点对称,则这两条直线平行,即k值不变;与y轴的交点关于原点对称,即b值互为相反数.直线y=2x+3关于原点对称的直线的解析式为y=2x-3.
答案:y=2x-3
4.?ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,点A的坐标为(-5,-2),那么点C的坐标为 .
【解析】平行四边形是中心对称图形,对称中心就是两对角线的交点,所以点A和点C关于原点对称,即点C的坐标为(5,2).
答案:(5,2)
5.若x1,x2是方程x2-4x-5=0的两个根,且点A(x1,x2)在第二象限,点B(m,n)和点A关于原点O对称,求m+n的值.
【解析】解x2-4x-5=0,
得x1=-1,x2=5,或x1=5,x2=-1.
又因为(x1,x2)在第二象限,
所以x1<0,x2>0,
即点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(1,-5),
即m+n=1-5=-4.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知点P(a2-1,)在y轴上,求点P关于原点对称的点的坐标.
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________.
答案：(1)③
(2)关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，所以点P关于原点对称的点的坐标为（0,-）
课时提升作业(二十一)
关于原点对称的点的坐标
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置,先将它绕原点O旋转180°到乙位置,再将它向下平移2个单位长到丙位置,则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为( )
A.(3, 1) B.(1, 3) C.(3,-1) D.(1,1)
【解析】选C.观察图形可知点A的坐标为(-3,-1),甲图和乙图关于原点中心对称,所以点A的对称点的坐标为(3,1),再向下平移2个单位长度后,点A′的坐标为(3,-1).
2.已知点P(x,y)的坐标满足方程(x-5)2+=0,那么点P关于原点的对称点的坐标是( )
A.(-6,5) B.(-6,-5)
C.(-5,6) D.(-5,-6)
【解题指南】解答本题用到的两个知识点:
(1)非负数的性质,即(x-5)2≥0,≥0.
(2)关于原点对称的点的坐标特征,即两点的横、纵坐标互为相反数.
【解析】选D.∵根据非负数的性质,
得(x-5)2=0,=0,
解得x=5,y=6,所以点P的坐标为(5,6),点P关于原点的对称点是(-5,-6).
3.已知点P(-1,m2+1)与点Q关于原点对称,则Q一定在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.∵m2+1>0,所以点P在第二象限,第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限,即点Q一定在第四象限.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.点A(m,2m)在直线y=-2x+8上,则点A关于原点的对称点是 .
【解析】点A(m,2m)在直线y=-2x+8上,
所以2m=-2m+8,解得m=2,
所以点A的坐标为(2,4),
根据关于原点对称的性质可得点A(2,4)关于原点的对称点是(-2,-4).
答案:(-2,-4)
5.如图,△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为(3,2),那么它的对应点N的坐标为 .
【解题指南】解答本题的步骤:
(1)观察图形中的关键点和它的对称点的坐标关系.
(2)通过比较坐标的变化规律,确认图形的变换方式.
(3)根据图形的变化特征,求其他点的对称点的坐标.
【解析】∵△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形,在图形中选择一对对称点,点A的坐标是(4,3),点P的坐标是(-4,-3),由两点的坐标可以知道:△PQR和△ABC是关于原点对称的图形,所以M(3,2)的对称点是N(-3,-2).
答案:(-3,-2)
6.若点P(2m-1,3m-9)关于原点的对称点Q在第二象限,则整数m的个数是 .
【解析】∵点P(2m-1,3m-9)关于原点的对称点Q在第二象限,∴点P(2m-1,3m-9)在第四象限,
∴
解得答案:2
【一题多解】点P(2m-1,3m-9)关于原点的对称点是(1-2m,9-3m),且(1-2m,9-3m)在第二象限,
所以
解得答案:2
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,直线AB与x轴,y轴分别相交于A,B两点,且A(0,3)、B(3,0),点A1、点B1是点A、点B关于原点O的对称点.求出直线A1B1的函数解析式.
【解析】根据中心对称的概念可得:点A(0,3)关于原点的对称点是A1(0,-3),点B(3,0)关于原点的对称点是B1(-3,0),设直线A1B1的解析式为y=kx+b,把点A1(0,-3)和B1(-3,0)代入y=kx+b,得解得所以直线A1B1的函数解析式是y=-x-3.
8.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称.
(1)画出对称中心E,并写出点E,A,C的坐标.
(2)P(a, b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P2(a+6,b+2),请画出上述平移后的△A2B2C2,并写出点A2,C2的坐标.
(3)判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系(直接写出结果).
【解析】(1)如图,E(-3,-1),A(-3,2),C(-2,0).
(2)△A2B2C2,如图,A2(3,4),C2(4,2).
(3)△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称.
【知识归纳】坐标变化与图形位置变化之间的关系(以三角形各顶点的坐标为例)
(1)横坐标乘以-1,纵坐标不变,则变换前后两个图形关于y轴对称.
(2)横坐标不变,纵坐标乘以-1,则变换前后两个图形关于x轴对称.
(3)横、纵坐标都乘以-1,则变换前后两个图形关于原点对称.
(4)横、纵坐标都加或减一个数,对应的图形变换是平移,规律是:横坐标增、减,图形向右、左平移;纵坐标增、减,图形向上、下平移.
【培优训练】
9.(10分)我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的对称中心的坐标为.
(1)如图,在平面直角坐标系中,点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A,求点A的坐标.
(2)另取两点B(-1.6,2.1),C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,….求P3,P4的坐标.
【解析】设A,P3,P4,…,Pn点的坐标依次为(x,y),(x3,y3),(x4,y4),…,(xn,yn)(n≥3,且为正整数).
(1)P1(0,-1),P2(2,3),
∴x==1,y==1,
∴A(1,1).
(2)∵点P3与P2关于点B成中心对称,且B(-1.6,2.1),
∴=-1.6,=2.1,
∴P3(-5.2,1.2),
∵点P4与P3关于点C成中心对称,且C(-1,0),
∴=-1,=0,
∴P4(3.2,-1.2).
