人教版高中数学选择性必修第一册3.3.2 第三课时 抛物线的综合应用 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第三课时　抛物线的综合应用
[学习目标]　能解决与抛物线有关的综合问题，如最值、定点和定值问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　类比椭圆、双曲线，如何解决与抛物线有关的最值问题？
问题2　类比椭圆、双曲线，如何解决与抛物线有关的定点、定值问题？　　　
[预习自测]
1．已知抛物线y2＝2x，直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则直线l过定点(　　)
A．(1,0)　　　　　　　　　　 B．(2,0)
C．(0,1) D．(0,2)
B
解析：设直线l：x＝my＋b，代入抛物线y2＝2x，
可得y2－2my－2b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2b，
∴x1x2＝(my1＋b)(my2＋b)＝b2.
∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝b2－2b＝0.
∵b≠0，∴b＝2，
∴直线l：x＝my＋2，
∴直线l过定点(2,0)．
B
解析：由题意知F坐标(1,0)，当斜率存在时，设过点F直线方程为y＝k(x－1)，
代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，
化简后为k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1x2＝1.
3．已知抛物线y2＝2x，过焦点F的直线l与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1y2＝________.
－1
4．已知抛物线y2＝2x，过焦点F的直线l与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，则x1x2＝________.
与抛物线有关的最值问题
抛物线中最值问题的解决方法
(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法等求最值．
(2)几何法：从抛物线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的__________求最值．
几何意义
[例1]　如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
分析：先求出弦长|AB|，再求出点P到直线AB的距离，从而可表示出△PAB的面积，再求最大值即可．
　解决与抛物线有关的最值问题的策略及常见题型
(1)通常的处理策略：①利用定义转化为几何问题来处理；②建立目标函数，利用函数求最值的方法求解，如利用函数的单调性、基本不等式等来求解．
(2)常见题型：①抛物线上的点到直线的距离的最值问题；②弦长的最值问题；③三角形面积的最值问题．
　1.求抛物线x2＝－y上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
　与抛物线有关的定点、定值问题
1．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如 、 、 、 等．解决这些问题的关键是代换和转化．
2．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一个 来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值，也常用 法找定点、定值．
点差法
方程法
向量法
参数法
参数
特殊值
[例2]　如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.求证：直线AB必过一定点．
分析：设出OA的方程→得到OB的方程→求出A，B两点的坐标→写出AB的方程→判断直线AB过定点．
因此，只要k≠±1，直线过定点(2,0)．
当k＝1时，A(2,2)，B(2，－2)，直线AB的方程为x＝2，显然过定点(2,0)；
当k＝－1时，A(2，－2)，B(2,2)，直线AB的方程仍为x＝2，显然过定点(2,0)．
综上，直线AB过定点(2,0)．
　解决直线与抛物线的定点、定值问题时要注意：
(1)直线的形式很重要，通过选择合适的直线形式，可以简化运算，有时还可以避免讨论．
(2)要注意消元、换元思想在解题中的应用．
1．知识清单：(1)与抛物线有关的最值问题．
(2)与抛物线有关的定点、定值问题．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论、整体代换．
3．常见误区：在设直线方程时忽略了特殊位置．
课时作业 巩固提升