第21章 一元二次方程 八种解法 专项练习（含答案）

一元二次方程的八种解法专项练习
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解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可用换元法等.在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果.解一元二次方程的方法除了常规解法外，还可以依据方程的结构特征用整体换元法、降次换元法、倒数换元法、特殊值法等.
方法1形如 (x+m) =n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A. x -5=5 B. -3x =0
C. x +7=0 D.(x+1) =0
2.解方程:
方法2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3. 解方程: x -4x=5.
4.已知 x -10x+y -16y+89=0, 求x/y的值.
方法3能化成形如 (x+a)(x+b) =0的一元二次方程用因式分解法求解
5. 解下列一元二次方程：(1)x -2x=0;
(2)x -x-2=0;
(3)2x -5x+2=0.
方法4如果一个一元二次方程易化为一般形式，则用公式法求解
6.一元二次方程x -4x-8=0 的解是( )
7.已知a>b>0,且 则
8. 用公式法解下列方程：
(1)3(x +1)-7x=0;
(2)4x -3x-5=x-2.
方法5用整体换元法解方程
9.解方程:(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48.
10.解方程:
方法6用降次换元法解方程
11.解方程: 6x -35x +62x -35x+6=0.
方法7用倒数换元法解分式方程
方法8用特殊值法解一元二次方程
13.解方程:(x-2022)(x-2023)=2024×2025.
参考答案
1. C 【点拨】A.方程化为 x =10, 有实数解；B.方程化为x =0, 有实数解；C.方程化为 x =-7, 无实数解；D.方程有实数解，故选 C.
2.【解】
3.【解】x -4x+4=5+4,
(x-2) =9,
x-2= ±3,
∴x =5,x = -1.
4.【解】】x -10x+y -16y+89=0,
(x -10x+25)+(y -16y+64)=0,
(x-5) +(y-8) =0,
∴x-5=0,y-8=0.
5.【解】(1)x -2x=0,x(x-2)=0,∴x =0,x =2.
(2)分解因式,得(x-2)(x+1)=0,可得x-2=0或x+1=0,解得 x =2,x = -1.
(3)分解因式,得(x-2)(2x-1)=0,可得x-2=0或2x-1=0,解得
6. B 【点拨】b -4ac=(-4) -4×1×(-8)=48,
【点拨】由题意得2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0,
整理得 解得
8.【解】】(1)3(x +1)-7x=0,3x -7x+3=0.其中a=3,b= -7,c=3.
即
(2)4x -3x-5=x-2,4x -4x-3=0,其中a=4,b= -4,c= -3.
∴Δ=(-4) -4×4×(-3)=64>0.
即
9.【解】原方程即为[(x-1)(x-4)]·[(x-2)(x-
3)]=48,即(x -5x+4)(x -5x+6)=48.
设y=x -5x+5, 则原方程变为(y-1)(y+1)=48.
解得 y =7,y = -7.
当x -5x+5=7 时,
解得
当x -5x + 5 = -7 时,Δ=(-5) -4×1×12 = -23 <0,方程无实数根.
∴原方程的根为
△点方法运用换元法解方程时，先要找出相同的整体进行换元，使方程变得更简易.
10.【解】设 则原方程为y -2y-3=0.解得y =3,y =-1. 当y=3时,
当y=-1时 无实数根.
经检验 都是原方程的根.
∴原方程的根为
点方法本题的解题关键是将原方程转化为只含x+ 的方程，再把 看成一个整体用换元法求解.
11.【解】经验证 x=0不是方程的根，原方程两边同除以x ,得
即
设 则
原方程可变为6(y -2)-35y+62=0.
解得
当 时，解得
当 时，解得
经检验，以上各根均符合题意.
∴原方程的根为
12.【解】设 则原方程化为
整理得 y -2y-3=0, 解得 y =3,y =-1.
当y=3时,
当y=-1时,
经检验，x=±1都是原方程的根.
∴原方程的根为 x =1,x = -1.
13.【解】方程组 的解一定是原方程的解,解得x=4047.
方程组 的解也一定是原方程的解,解得x=-2.
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的根为 x =4047,x = -2.