苏教版选择性必修第一册5.3 第一课时 导数与函数的单调性(一) 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
第5章 导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
第一课时　导数与函数的单调性(一)
5.3.1　单调性
课标要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
素养要求
通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展学生的数学运算和直观想象素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.
提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.
2.填空　一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调______
f′(x)<0 单调______
f′(x)＝0 常数函数
递增
递减
上述结论可以用下图直观表示.
温馨提醒　(1)一般地，可导函数y＝f(x)在区间(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
(2)在某个区间内，若仅有有限个点所对应的导数值为0，则不能判定f(x)为常数函数.
3.做一做　函数f(x)＝x＋ln x在(0，6)上的单调性是(　　)
A
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)
D
题型一　函数图象与导函数图象的关系
解析　由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，则满足f′(x)D
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
思维升华
训练1 (多选)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的是(　　)
CD
解析　当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，A，B中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而C中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；D中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误.
例2 (1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数；
题型二　判断(证明)函数的单调性
证明　由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，x∈R，
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数.
利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
思维升华
训练2 利用导数判断下列函数的单调性：
题型三　求函数的单调区间
例3 求下列函数的单调区间.
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
思维升华
训练3 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
解　f(x)的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得 －3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3，2).
(2)f(x)＝sin x－x(0解　f′(x)＝cos x－1.
因为0故函数f(x)在(0，π)上的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间.
课堂小结
1.牢记1个知识点
导数与函数的单调性的关系.
2.掌握2种方法
(1)证明单调性的方法.
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.
3.注意1个易错点
讨论函数单调性时忽略定义域.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
D
2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
D
解析　由函数y＝f(x)的图象，知当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图象可能为D.
3.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
BC
A.在区间(－2，1)上，f(x)是增函数
B.在(1，2)上，f(x)是增函数
C.在(4，5)上，f(x)是增函数
D.在(－3，－2)上，f(x)是增函数
解析　由题图知当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在(1，2)，(4，5)上，f(x)是增函数，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是减函数.
4.函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为(　　)
A
5.(多选)函数f(x)＝xln x(　　)
AC
6.函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
(2，＋∞)
(－∞，2)
解析　函数的定义域为R，y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，
所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).
(－1，1)
8.函数f(x)＝x2－5x＋2ln(2x)的单调递增区间是__________________.
9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)
＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
(2)求函数f(x)的单调区间.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，从而f′(x)>0.
当x>1时，h(x)综上可知f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
11.(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是(　 　)
A.y＝2x3＋4x B.y＝x＋sin(－x)
C.y＝log2|x| D.y＝2x－2－x
ABD
解析　由奇函数的定义可知，A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0，1)上单调递增；对于选项B，y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0，1)上单调递增；对于选项D，y′＝2xln 2＋2－xln 2>0，所以y＝2x－2－x在(0，1)上单调递增.故选ABD.
12.函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)
A
解析　因为f(x)＝xcos x，所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，排除C；
由f′(0)＝1可排除D；
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B.
(2)求函数f(x)的单调区间.
14.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　)
AB
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
本课结束