2022-2023学年福建省泉州市三校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市三校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
2. 一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数等于( )
A. B. C. D.
4. 已知等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
6. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”若函数是“近轴函数”，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 每年月日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如表：
月份 二月 三月 四月 五月 六月
月份代码
月借阅量百册
根据如表，可得关于的经验回归方程为，则( )
A.
B. 借阅量，，，，的上四分位数为
C. 与的线性相关系数
D. 七月的借阅量一定不少于万册
10. 若，满足，，则可以是( )
A. B. C. D.
11. 设随机变量的分布列如表：
则下列说法正确的是( )
A. 当为等差数列时，
B. 数列的通项公式可能为
C. 当数列满足时，
D. 当数列满足时，
12. 定义在上的函数、，其导函数分别为、，若，，，，则( )
A. 是奇函数
B. 关于对称
C. 周期为
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为 ．
14. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______ ．
15. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉现有支救援队前往，，等个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是______ ．
16. 有一批同规格的产品，由甲乙丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙各厂分别生产件、件、件，而且各厂的次品率依次为、、，现从中任取一件，则取到次品的概率为______，如果取得零件是次品，计算它是甲厂生产的概率______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设函数．
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值．
18. 本小题分
已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和表示不超过的最大整数
19. 本小题分
如图，在正三棱柱中，点在棱上，且．
求证：平面；
若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离．
20. 本小题分
某景区的各景点从年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从年至年，该景点的旅游人数万人与年份的数据：
第年
旅游人数万人
该景点为了预测年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
根据表中数据，求模型的回归方程精确到个位，精确到．
根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测年该景区的旅游人数单位：万人，精确到个位．
回归方程
参考公式、参考数据及说明：
对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
刻画回归效果的相关指数．
参考数据：，．
表中．
21. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求函数在上的最小值．
22. 本小题分
相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到国民体质测定标准合格以上的人数比例达到以上某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图图为会员年龄分布图年龄为整数，其中将会员按年龄分为“年轻人”岁岁和“非年轻人”岁及以下或岁及以上两类；图为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼次及以上的会员称为“健身达人”，次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．
现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为的样本，根据图表数据，补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？
年轻人 非年轻人 合计
健身达人
健身爱好者
合计
该健身机构在今年年底将针对全部的名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案．
方案：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取位“幸运之星”给予奖励其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励元和元．
方案：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球球只有颜色不同的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为，则可获得元奖励金；若摸到红球的总数为，则可获得元奖励金；其他情况不给予奖励．
如果每位健身爱好者均可参加次摸奖游戏；每位健身达人均可参加次摸奖游戏每次摸奖的结果相互独立以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．
附：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为等差数列，，，
所以，解得，，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：经过，秒针走过的弧度为，
因此，秒针的端点所走的路线长为．
故选：．
计算出秒针走过的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得结果．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：．
故选：．
由二项式展开式的通项公式即可求出的系数．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为等比数列满足，所以，
因为，所以，
所以，所以．
故选：．
由等比中项的性质可求出，然后对化简变形可求得结果．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由求出，由此求出的值，再根据导数的定义即可求解．
本题考查了导数的定义以及运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算、条件概率，属于基础题．
分别计算出，然后根据条件概率公式计算
【解答】
解：根据条件概率有
其中事件表示选出的两种中一种是一药，另一种是一方，事件表示选出的两种中有一药，
则，，
则，
故选D．

7.【答案】
【解析】解：靠近原点的对称轴为，
则，
要为近轴函数，则，，
，
，
或
解得．
故选：．
根据题意求出靠近原点的对称轴，解不等式即可得到的范围
本题考查考查正弦型函数的图象与性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：当时，有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又为偶函数，则，即为偶函数，
故，即，
即，故A错误，C正确；
由，即，即，B错误；
而，故，则不一定成立，D错误，
故选：．
将变形为，从而可构造函数，判断其单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：因为，，
所以，得，所以A正确；
对于：因为，所以借阅量，，，，的上四分位数为，所以B正确；
对于：因为，所以与的线性相关系数，所以C正确；
对于：由选项A可知线性回归方程为，
当，则，
所以七月的借阅量约为百册，所以D错误；
故选：．
对于：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于：根据百分位的定义分析运算；对于：根据相关系数的概念分析理解；对于：取，代入回归直线分析运算．
本题考查线性回归方程的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得或，，
当时，
，
，
则或，，
得，或，，
当时，成立，
当时，
，
，
则或，，
得，或，，
当时，成立，
故选：．
根据三角函数值求出对应角，进行判断即可．
本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数值求出对应角的关系是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为为等差数列，所以，
则有，故A正确；
对于，若数列的通项公式为，
则，故B正确；
对于，因为，所以，
则有，故C错误；
对于，令，则，，
故，所以，即，故D正确．
故选：．
由等差数列的求和公式判断选项A；由裂项相消法结合概率之和等于判断选项B；根据等比数列的求和公式结合概率之和等于，即可判断选项C；利用前项和与通项的关系，即可判断选项D．
本题考查了离散型随机变量及其分布列的应用，等差数列和等差数列求和公式、通项公式的运用，裂项相消法的运用，综合性强，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由题意，为偶函数，为奇函数，A正确；
对于，为奇函数，显然为奇函数，
所以，即，所以关于对称，
为偶函数，显然为偶函数，
所以，为奇函数，
因为，
所以，即，
所以关于对称，B正确；
对于，因为为奇函数，关于对称，
所以，即，C错误；
对于，由于，，
所以
，D正确．
故选：．
为偶函数，为奇函数，为偶函数，为奇函数，而后求出的周期即可．
本题主要考查函数与导数之间奇偶性的关系，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，又点在内，且为平面的法向量，
点到平面的距离为．
故答案为：．
根据向量法，即可求解点面距．
本题考查向量法求解点面距问题，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，而，
所以切线方程为，
令，得；令，得，
所以三角形的面积．
故答案为：．
运用导数的几何意义进行求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：若甲去点，则剩余个救援队，可只去，两个点，也可分为组去，，，个点．
当剩余个救援队只去，两个点时，救援队个数分配为，或，，
此时的分配方法有；
当剩余个救援队分为组去，，，个点时，先从个救援队中选出个救援队，即可分为组，
然后分配到个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是．
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以不同的安排方法数是．
故答案为：．
由题意可知，若甲去点，则剩余个救援队，可只去，两个点，也可分为组去，，，个点，分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法，同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：从中任取一件，取到次品的概率为；
甲厂生产的次品概率为，
则取得零件是次品，计算它是甲厂生产的概率．
故答案为：；．
利用相互独立事件概率乘法公式求解；利用条件概率的公式计算即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式和条件概率公式，是基础题．
17.【答案】解：函数，
函数 的最小正周期为．
函数
，
在上．，
故当时，函数取得最大值为．
【解析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
18.【答案】解：设等比数列的公比为，
若，则，，，
此时，不合题意；
则，由，得，
得，解得舍去．
的通项公式为；
，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
．
【解析】设等比数列的公比为，分析可得，由，得，可得的通项公式；
，分别取，，，，求得数列的前项，作和得答案．
本题考查等差数列的性质，考查等比数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：证明：在正三棱柱中，是侧棱，
所以平面，又平面，所以．
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又因为，所以是的中点，
如图，连接，交于点，连接因为是的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
取的中点，可知，所以平面以为原点，
分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建系如图，
设三棱柱的高为，
则，，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，且，
取，．
所以，
解得，所以，
由知平面，
所以直线到平面的距离即点到平面的距离，
因为，所以直线到平面的距离为．

【解析】根据正三棱柱和得，即可得是的中点，从而由中位线得，证明结论．
由二面角的大小为，解得平面的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的距离公式得出答案．
本题考查线面平行的证明，向量法求解点面距问题，向量法求解二面角问题，方程思想，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：对取对数，得，
设，，先建立关于的线性回归方程．
，
，
，
模型的回归方程为；
由表格中的数据，有，
即，
即，
，
模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好，
年时，，
预测旅游人数为
万人．
【解析】本题考查回归方程的求法，是中档题．
对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型的回归方程；
由表格中的数据，有，即，得到，说明模型的相关指数小于模型的，说明回归模型的拟合效果更好在中的回归方程中，取，求得值，即可预测年该景区的旅游人数．
21.【答案】解：当时，函数，，
，，
曲线在处的切线方程为，即．
Ⅱ，．
，
时，令，解得，
时，，，，
函数在单调递减．
时，函数取得最小值，．
时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
时，，时，，函数单调递增．
时，函数取得最小值，
【解析】当时，函数，，利用导数运算法则可得，，利用点斜式即可得出曲线在处的切线方程．
Ⅱ，，对分类讨论即可得出函数的单调性与极值及其最值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意可知，年轻人占比为，则年轻人人数为，非年轻人为人，
健身达人所占比，所以其人数为，
因为其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为人；
健身爱好者人数为，总共年轻人合计为人，则健身爱好者中年轻人人数为，
根据非年轻人总共为人，健身爱好者中非年轻人人数为，
故列联表列联表为：
年轻人 非年轻人 合计
健身达人
健身爱好者
合计
零假设为：“健身达人”与年龄无关联，
则，
并依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此，“健身达人”与年龄无关．
方案：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为，，
故按照方案奖励的总金额为元．
方案：由题意，每摸球次，摸到红球的概率为，
不妨设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
全部的名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为，，
则的可能取值为，，，
计算对应概率：
，
，
．
所以的分布列为：
数学期望为元，
故按照方案奖励的总金额为元，
因为由，所以施行方案投资较少．
【解析】补全列联表，根据独立性检验公式计算并比较，即可判断“健身达人”与年龄的关系；
根据题意，分别计算方案，方案的奖励的总金额，比较即可．
本题考查离散型随机变量的应用，独立性检验的应用，属于中档题．
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