2022-2023学年安徽省亳州市重点中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市重点中学高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设，，则“”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知定义域为的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 某单位制作了一个热气球用于广告宣传已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
5. 已知奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知数列满足，则数列的前项和是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，，使为常数成立，则常数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数下列叙述正确的是( )
A.
B. 的零点有个
C. 的解集为或
D. 若，，互不相等，且，则的取值范围是
11. 已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数在的解析式为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 当时，的最大值为
D. 当时，的最小值为
12. 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为等比数列
C.
D. 信封均被投错的概率大于
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知正实数，满足，则的最小值为______．
14. 已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为______ ．
15. 正项等比数列满足，且，，成等差数列，则取得最小值时的值为______．
16. 已知函数，则不等式的解集为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；
若，成立，求的取值范围．
18. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
已知，，均为正实数，若函数的最小值为，且满足，求证：．
19. 本小题分
为数列的前项和，已知，．
求证：数列为等差数列；
设，求数列的前项和．
20. 本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
若方程在上有解，求实数的取值范围；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知数列中，，．
Ⅰ求证：是等比数列，并求的通项公式；
Ⅱ数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
讨论函数的导函数的单调性；
若对，，都有，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
集合，
，
．
故选：．
将集合表示出来，再根据补集，交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由可得，
或，“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
可得，由此可判断．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，所以关于对称，
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
画出的草图如下所示，
因为，所以，
又不等式对任意的恒成立，
由图可知，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
由题意知关于对称，且在上单调递增，作出的草图，结合图形分析，可将原问题转化为，解该不等式，即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练运用函数的单调性与奇偶性的性质是解题的关键，考查数形结合思想，运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等比数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解．
【解答】
解：由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列，
则表示热气球在第分钟上升的高度单位：米，且，公比，
经过分钟，热气球上升的总高度，
，，
该气球至少要经过分钟才能上升到米，
故选：．

5.【答案】
【解析】解：是奇函数且，
．
故选：．
根据奇函数和导数的定义即可求出答案．
本题考查了导数和奇函数的定义，极限的运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，
故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．
导函数的值在上的逐渐减小，
故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：数列满足，
，
，
整理得：，
，
时也成立，
，
，
数列的前项和是：，
故选：．
根据数列的递推关系，构造新等式，求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法进行计算即可．
本题主要考查数列通项公式和前项和之间的关系，考查计算能力以及裂项求和，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：在上为增函数，
由知，，
令，则，
当时，，
即在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
不妨设，则，，
可化为，
即，
令，
则，
，，使能成立，
在上能成立，
即在上能成立，
，，
令，，
则，令，
则，当时，，
故在上单调递增，所以，
故G，在上单调递增，
，
．
故选：．
存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，因为，，则，，所以，，错；
对于选项，因为，所以，
因为，所以，所以，则，，
所以，，对；
对于选项，因为，则，因为，则，对；
对于选项，因为，，所以，，对．
故选：．
利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查等式与不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确．
对于，当时，方程的，
无实数根；
当时，由解得，
所以的零点有个，故B错误．
对于，当时，由得，解得；
当时，由得，
所以的解集为或，故C正确．
对于，画出的图象如下图所示，
不妨设，则，，由解得，
所以，所以，故D正确．
故选：．
根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案．
本题主要考查分段函数及其应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：是周期为的周期函数，
的对称轴为，B正确．
，
则，为偶函数．
时，，，
，A正确．
由此画出在区间的图象如下图所示，
当时，．
结合图象可知C正确，D错误．
故选：．
判断出周期性、对称性、奇偶性，根据解析式的求法判断选项，结合图象判断选项．
本题主要考查了抽象函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设封信分别为，，，，当在第二个信箱时，
有，，共种错投方式，
同理可得在第与第个信箱时，也分别有种错投方式，
故共有种错投方式，
所以，故A正确；
所以，
所以，
因为，
所以时，，故C正确；
因为，
所以，
又，
所以为等比数列，首项为，公比为，故B正确；
装错信封的概率为，
，
则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上所述：当为奇数时，，
当为偶数时，，故D错误．
故选：．
根据分类加法原理求，由此判断，根据等比数列定义判断，利用累加法求，判断，由泰勒定理求，结合比差法判断．
本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，，
当且仅当时取等号．
故答案为：
将展开，出现，注意到乘积为，是定值，故直接利用基本不等式求解即可．
本题考查利用基本不等式求最值，属基本题型的考查．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
，
又因为是的减函数，
所以由，
所以，
即，
解得，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
由题意可得，所以不等式等价于，求解即可．
本题考查了根据抽象函数的单调性解不等式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
正项等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到，再由指数的运算性质和二次函数的最值求法，可得所求值．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，以及求和公式，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．
【解答】
解：正项等比数列的公比设为，，且，，成等差数列，
可得，，即，解得，，
则，，
则
，
当时，取得最小值，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
，，等号不会同时取得，
，
函数为增函数．
，
函数为奇函数；
故，即，
，可得，
令，则，
且，
当时，，单调递增，此时时，，
当时，，单调递减，此时时，，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
首先判断函数的单调性及奇偶性，将脱掉“”，得到，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：若“”是“”的充分不必要条件，
则，而不为空集，
则等号不同时成立，解得，
即的取值范围是；
设，
则，
，
，
由题意得，即，
即的取值范围为．
【解析】根据充分不必要条件得出集合，的包含关系，根据包含关系可求答案；
根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，的解集为；
证明：由可知当时，，时取得最小值，
当时，，当时，，时取得最小值，
综上，故，
函数的最小值为，且满足，
则，
故，
，，均为正实数，
，
当且仅当时取得等号，
即，
故．
【解析】转化为分段函数解不等式即可；
由知，运用基本不等式证明即可．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】证明：由，可知，
两式相减得，
即，
，，
当时，，舍或，
则是首项为，公差的等差数列，
的通项公式；
解：，
，
数列的前项和
．
【解析】利用，作差得到是首项为，公差的等差数列，从而求出其通项公式；
由可得，利用裂项相消法计算可得．
本题主要考查数列的求和，属于中档题．
20.【答案】解：因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以是奇函数，
所以．
由可知，，
因为方程在上有解，
所以方程在上有解，
所以在上有解，
所以在上有解，
令，，
函数在上单调递增，
所以，，
所以的值域为，
所以，
所以的取值范围为．
因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，，
令，，
在上单调递减，
所以当时，，
所以，
所以的取值范围为
【解析】由奇函数的定义可得，解得，再由奇函数的定义检验，即可得出答案．
由可知，，问题转化为方程在上有解，即在上有解，即可得出答案．
根据题意可得当时，恒成立，即当时，恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查函数的奇偶性，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】证明：Ⅰ数列中，，，
整理得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以首项符合通项，
故．
Ⅱ由Ⅰ得：，
所以，
，
得：，
整理得：．
所以，
当为偶数时，由于为增函数，故，
当为奇数时，故，故，
所以的取值范围为．
【解析】Ⅰ直接利用关系式的恒等变换和等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；
Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用和函数的单调性的应用和分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，函数的单调性，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：由，得，
所以，
当时，，所以在递减；
当时，若，则，所以在递增；
若时，则，所以在递减．
设，则，
构造函数，
由，，都有，
可知在递减，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
又设，则在递增，
，，在递减，
，
的取值范围是．
【解析】对函数求导，可得，在对导函数求导可得，然后对进行分类讨论，再判断导函数的单调性；
将原问题转化为对任意，恒成立，构造函数，，然后证明在递减，再根据导数在函数单调性和最值中的应用，即可求出结果．
本题主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
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