2022-2023学年山东省潍坊市县校际联考高二(下)期末数学试卷
一、单选题(本大题共20小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 下列命题中,正确的是( )
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若 ,,则 D. 若,则
3. 函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
4. 二次函数的图象与轴交点的横坐标为和,则这个二次函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
5. 设是公差为的等差数列,且,则( )
A. B. C. D.
6. 已知平行四边形中,,,分别是,,的中点,若,,则等于( )
A. B. C. D.
7. 已知直线过点且与直线垂直,则该直线方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知是无理数,命题:,,则为真命题的是( )
A. B. C. D.
9. 在中,“”是“”的条件.( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
10. 圆上的点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
11. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
12. 现有五人并排站成一排,若甲与乙不相邻,并且甲在乙的左边,则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
13. 若,,则 ( )
A. , B. ,
C. , D. ,
14. 已知函数是奇函数,当时,,则的值等于( )
A. B. C. D.
15. 某中职学校二年级有男生人,女生人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中分别抽取男生和女生,考察他们的身高情况,若抽取一个容量为的样本,则应抽取女生的人数为( )
A. B. C. D.
16. 设,满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
17. 已知件产品中有件次品,其余为合格品,现从这件产品中任取件,恰有一件次品的概率为( )
A. B. C. D.
18. 在某样本的频率分布直方图中,共有个小长方形,已知中间个长方形的面积等于其他个长方形面积之和的,若样本容量是,则中间一组的频数为( )
A. B. C. D.
19. 的展开式中,所有项的二项式系数之和为,则展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
20. 已知椭圆的左右焦点分别是,,为椭圆第一象限上的点,的延长线交椭圆于另一个点,且,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共20.0分)
21. 在中,已知,,,若,则 ______ .
22. 已知一个圆锥的底面积为,侧面积为,则该圆锥的体积为______ .
23. 已知向量,,若,则实数______.
24. 在等比数列中,,,则公比为______ .
25. 过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线与双曲线交于,两点,则 ______ .
三、解答题(本大题共5小题,共40.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
26. 本小题分
已知函数且图像过点.
求函数的解析式;
判断的奇偶性,并加以证明.
27. 本小题分
已知等差数列满足:,.
求数列的通项公式;
设等比数列满足,,求的前项和.
28. 本小题分
函数的部分图象如图所示.
求函数的解析式;
求的单调递增区间.
29. 本小题分
如图,四棱锥的底面是正方形,底面,点在棱上.
求证:平面平面;
当,且为的中点时,求与平面所成的角的大小.
30. 本小题分
椭圆过点且离心率为.
求椭圆的标准方程;
已知点,点在椭圆上异于椭圆的顶点,为椭圆的右焦点,点满足为坐标原点,直线与以点为圆心的圆相切于点,且为中点,求直线的方程.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:因为集合,所以,
又,则,
故选:.
根据题意和补集的运算求出,由交集的运算求出.
本题考查补、交、并集的混合运算,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解::时,不成立;
:,,,时不成立;
:,,,时不成立,
:两边平方可知,结论成立.
故选:.
特值排除法.
本题考查了不等式的基本性质,属基础题.
3.【答案】
【解析】解:由题知,,解得或,
所以函数的定义域为.
故选:.
根据真数大于列不等式,求解可得.
本题主要考查了函数定义域的求解,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:若二次函数的图象与轴交点的横坐标为和,
对称轴,
,
函数在递减,在递增,
故选:.
由题意得到函数的对称轴,结合二次项系数大于,从而求出函数的递减区间.
本题考查了二次函数的性质,求出函数的对称轴是解答本题的关键,本题是一道基础题.
5.【答案】
【解析】解:是公差为的等差数列,且,
设首项为,则,解得,
所以.
故选:.
设首项为,根据题意列方程求出,再求前项和.
本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式应用问题,是基础题.
6.【答案】
【解析】解:因为在平行四边形中,,,分别是,,的中点,且,,
所以,
所以.
故选:.
根据,,分别是,,的中点,由求解.
本题考查平面向量基本定理的运用,考查运算求解能力,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:与直线垂直的直线的斜率,
所以经过点且斜率的直线的方程为,
即.
故选:.
利用两直线垂直的充要条件求出直线的斜率,再利用点斜式求出直线的方程.
本题考查了直线垂直的充要条件和直线的一般方程,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:因为是无理数,所以命题为真命题,则为假命题,
因为对于时,恒成立,所以命题为假命题,则为真命题,
对于,因为命题为真命题,命题为假命题,所以为假命题,故A错误,
对于,因为命题为真命题,命题为真命题,所以为真命题,故B正确,
对于,因为命题为假命题,命题为假命题,所以为假命题,故C错误,
对于,因为命题为真命题,命题为假命题,所以为真命题,所以为假命题,故D错误.
故选:.
先判断,的真假,再根据复合命题判断真假的方法逐个分析判断.
本题主要考查复合命题真假的判断,属于基础题
9.【答案】
【解析】解:由于,是三角形内角,所以,,若“”,
则,,所以有“”,即“”是“”的充分条件,
若“”,则,,即,即“”是“”的必要条件.
故选:.
根据条件对,的范围进行约束,而后进行推理即可.
本题主要考查正弦函数的性质,属基础题.
10.【答案】
【解析】解:圆的圆心为,半径,
则圆心到直线的距离为:,
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选:.
求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案.
本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:因为,
所以.
故选:.
先利用余弦的二倍角公式化简,得,而,所以可化为,再给分子分母同除以,化简后代值可得答案.
本题主要考查了二倍角公式,同角基本关系的应用,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:五人站成一排共有种,甲乙相邻共有种,
所以甲与乙不相邻共有种,
其中甲在乙的左边、右边机会相同,各有种.
故选:.
根据捆绑法及间接法可求出甲与乙不相邻的排法,再由甲在乙的左边、右边机会均等可求解.
本题考查排列组合,考查运算求解能力,属于基础题.
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围,属于基础试题.
由对数函数在单调递增及可求的范围,由指数函数单调递减,及可求的范围.
【解答】
解:,由对数函数在单调递增
,由指数函数单调递减
故选D.
14.【答案】
【解析】解:因为当时,,
所以,
又函数是奇函数,所以.
故选:.
根据奇偶性可知,结合题中解析式可得.
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:由题意得样本中的女生人数为人.
故选:.
根据分层抽样的定义结合已知条件求解即可.
本题主要考查分层抽样的定义,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:不等组表示的可行域如图所示,
由,得,
再作出直线,向上平移过点时,取得最小值,
由,解得,即,
所以的最小值为.
故选:.
先画出不等式组表示的可行域,然后由,得,再作出直线,向上平移过点时,取得最小值,然后求出点的坐标代入目标函数可得结果.
本题考查了简单的线性规划问题,属于基础题.
17.【答案】
【解析】解:由题意得所求概率为.
故选:.
根据古典概型的概率公式结合题意直接求解即可.
本题主要考查了古典概型的概率公式,属于基础题.
18.【答案】
【解析】解:在某样本的频率分布直方图中,共有个小长方形,
中间个长方形的面积等于其他个长方形面积之和的,样本容量是,
则中间一组的频数为:.
故选:.
由样本的频率分布直方图的性质能求出中间一组的频数.
本题考查频数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
19.【答案】
【解析】解:因为的展开式中,所有项的二项式系数之和为,
所以,得,
所以展开式的通项公式为,
令,得,
所以展开式中的常数项是.
故选:.
由已知可得,求出,然后求出二项式展开式的通项公式,令的次数为零求出的值,代入通项公式可求得结果.
本题主要考查二项式定理,属于基础题.
20.【答案】
【解析】解:由椭圆的左右焦点分别为,,为椭圆第一象限上的点,的延长线交椭圆于另一个点,且,
可得,;
设,
则,,
由,可得,即,
代入椭圆方程,可得:,可得,
即.
故选:.
根据已知条件求得点的坐标,再代入椭圆方程,整理即可求解结论.
本题主要考查椭圆的基本性质和计算能力,属于中档题.
21.【答案】
【解析】解:因为,,,
由余弦定理可得,
即,因为,解得.
故答案为:.
由余弦定理可得出关于的等式,结合可解得的值.
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
22.【答案】
【解析】解:设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,
圆锥的底面积为,侧面积为,
,,
,,
,
该圆锥的体积为.
故答案为:.
设圆锥的底面半径为,母线长为,高为,由题意可知,,求出,,利用勾股定理求出,再结合圆锥的体积公式求解.
本题主要考查了圆锥的结构特征,考查了圆锥的侧面积公式和体积公式,属于基础题.
23.【答案】
【解析】解:,;
;
;
.
故答案为:.
可求出,,根据即可得出,解出即可.
考查平行向量的坐标关系,以及向量加法、减法和数乘的坐标运算.
24.【答案】
【解析】解:当时,,无实数解;
当时,由题知,,
两式相除得,即,解得.
综上,.
故答案为:.
根据等比数列求和公式列方程组求解即可.
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用,属于基础题.
25.【答案】
【解析】解:双曲线的左焦点,又因为直线的倾斜角为,所以,
则直线的方程为,
联立直线方程与双曲线方程,得,
设,,则,
则,
故答案为:.
求出左焦点,然后根据直线的倾斜角求得斜率,进而根据点斜式写出直线的方程,与双曲线联立,结合韦达定理以及弦长公式即可求解.
本题主要考查双曲线的性质,双曲线弦长的计算等知识,属于中档题.
26.【答案】解:函数且图像过点,
可得,解得,
则;
为奇函数.
证明:的定义域为,
,
可得为奇函数.
【解析】由,解方程可得,进而得到的解析式;
由函数的奇偶性的定义,结合指数的运算性质可得结论.
本题考查函数的解析式的求法和奇偶性的判断,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
27.【答案】解:由题意,得:,
解得:,,
数列的通项公式为;
由知:,,
数列的公比,
的前项和为.
【解析】根据等差数列满足,,利用等差数列的通项公式和前项和公式求解;
根据,,求得其公比,再利用等比数列的前项和公式求解.
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础题.
28.【答案】解:由函数的部分图象可知,,
,
设周期为,则,
,,
图象过点且,
,
,,
,,
当时,符合题意,
故的解析式为;
令,解之得,
故的单调递增区间为.
【解析】由函数图象可以得出最值从可求,再出函数图期从而求,最后代入种殊点求;
通过解析式由正弦函数单调性即可求得单调递增区间.
本题主要考查由三角函数图象求其解析式,考查了正弦函数的单调性,属于中档题.
29.【答案】Ⅰ证明:四边形是正方形,,
底面,底面,
,又,,平面,
平面,
且平面,
平面平面;
Ⅱ解:设,连接,
由Ⅰ知平面于,
为与平面所的角,
,分别为、的中点,
,,
又底面,
底面,底面,,
在中,,
,即与平面所成的角的大小为.
【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
Ⅰ欲证平面平面,根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直,而根据题意可得平面;
Ⅱ设,连接,根据线面所成角的定义可知为与平面所的角,在中求出此角即可.
30.【答案】解:依题意,,
解得:,,
故椭圆的标准方程为;
由得:,
,
又,
,
由题意得直线的斜率存在,
设直线的方程为,令,,
则,化简得:,
,
,
,,
点坐标为,
直线的斜率,
又因为直线与圆相切,
,
,即,
解得:或,
直线的方程为或.
【解析】根据题意建立关于,,的方程组,解出,的值,即可得到答案;
设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,得到两个之和与两个之积,再根据题意建立关于的方程,求得的值,即可得解.
本题考查椭圆的标准方程及其性质,考查直线与椭圆的综合运用,考查运算求解能力,属于中档题.
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