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第07讲 y=ax +k和y=a(x-h) 的图象与性质
【人教版】
·模块一 二次函数 y=ax +k的图象与性质
·模块二 二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
·模块三 课后作业
二次函数 y=ax +k的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +k a＞0 开口向上 x=0（y轴） (0, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数 y=ax +k的图象】
【例1.1】下列各点一定在二次函数图象上的是 （ ）
A． B． C． D．
【例1.2】当时，二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】在下列平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点．
【变式1.1】已知点M（-1，m）在二次函数图象上，则m的值为__________．
【变式1.2】已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．
【变式1.3】抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小．
【考点2 二次函数 y=ax +k的性质】
【例2.1】已知抛物线，如果点与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ）
A．，取任意实数 B．，
C．， D．，均可取任意实数
【变式2.1】如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．
【变式2.2】如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是________．
【变式2.3】抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____．
【变式2.4】已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
【考点3 二次函数 y=ax +k图象的平移】
【例3.1】将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．y＝2x2与y＝3x2 B．与
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
【例3.3】将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为___．
【变式3.1】将二次函数的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为______．
【变式3.2】把抛物线向上平移________个单位可得抛物线．
二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) a＞0 开口向上 x=h (h, 0) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数 y=a（x-h) 的图象】
【例1.1】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【例1.2】在平面直角坐标系中，二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.3】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【变式1.1】对于函数的图像，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交
【变式1.2】（1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象；
x -3 -2 -1 0 1 2 3
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
（2）分别写出它们顶点坐标．
【变式1.3】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
【考点2 二次函数 y=a（x-h) 的性质】
【例2.1】下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－4时，y随x的增大而减少
D．当x＜－4时，y随x的增大而减少
【例2.2】已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】关于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向下，顶点坐标为(0，3)
B．当x＝3时，函数有最大值0
C．当x＜3时，y随x的增大而减小
D．开口方向向下，对称轴为y轴
【变式2.2】抛物线的顶点在（ ）
A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限
【变式2.3】下列抛物线的对称轴是直线的是（ ），
A． B． C． D．
【考点3 二次函数 y=a（x-h) 图象的平移】
【例3.1】将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
【变式3.1】抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向____平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向____平移|h|个单位就得到抛物线
1．若点P（-2，3）在二次函数的图象上，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．与轴有两个交点 D．顶点坐标
3．点、在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
5．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上
6．二次函数的的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数的图象经过点，那么a的值为_____．
8．若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）
9．请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式__________．
10．抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
11．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______．
12．二次函数的图象不经过第________象限．
13．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
14．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
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第07讲 y=ax +k和y=a(x-h) 的图象与性质
【人教版】
·模块一 二次函数 y=ax +k的图象与性质
·模块二 二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
·模块三 课后作业
二次函数 y=ax +k的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax +k a＞0 开口向上 x=0（y轴） (0, k) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数 y=ax +k的图象】
【例1.1】下列各点一定在二次函数图象上的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出当时二次函数的函数值即可得到答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
∴点在二次函数的图象上，点，，不在二次函数的图象上，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点的坐标一定满足对应的二次函数解析式是解题的关键．
【例1.2】当时，二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例1.3】在下列平面直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点．
【答案】画图见解析，两个函数图象性质的相同点与不同点见解析
【分析】先分别列表，再分别描点，再分别连线，再根据图象总结两个函数的相同点与不同点即可.
【详解】解：列表如下：
描点并连线
列表如下：
两个函数的性质的相同点：两个函数的函数图象都是抛物线，都是轴对称图形，对称轴都是轴，顶点都在轴上，形状相同，
两个函数的性质的不同点：的开口向上，的开口向下；
的顶点坐标为 的顶点坐标为
对于：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，函数有最小值1；
对于：
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，函数有最大值-1；
【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数图象的性质，掌握“利用列表，描点，连线画函数图象”是解题的关键.
【变式1.1】已知点M（-1，m）在二次函数图象上，则m的值为__________．
【答案】3
【分析】代入x=-1，即可求出m的值．
【详解】解：∵点M（-1，m）在二次函数图象上，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x=-1求出m值是解题的关键．
【变式1.2】已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．
【详解】解：∵关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限
∴，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．
【变式1.3】抛物线 的开口 _____，对称轴是 _____，顶点坐标是 ________，当_____时，随的增大而增大，当x______时，随的增大而减小．
【答案】 向下 轴 0
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：向下，轴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
【考点2 二次函数 y=ax +k的性质】
【例2.1】已知抛物线，如果点与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为轴，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，即轴，
∴点与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题的关键．
【例2.2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵在二次函数的图象上，
∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键．
【例2.3】如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ）
A．，取任意实数 B．，
C．， D．，均可取任意实数
【答案】B
【分析】二次函数的值恒大于，则该函数开口向上，顶点在x轴上方，由此即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的值恒大于，
∴二次函数开口向上，顶点在x轴上方，
∴，．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式2.1】如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解．
【详解】解：∵顶点是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式2.2】如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是________．
【答案】/
【分析】由抛物线的开口向下可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”是解题的关键．
【变式2.3】抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____．
【答案】
【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值．
【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反，
∴，
∵顶点坐标是，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键．
【变式2.4】已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
【答案】4.
【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
【详解】∵在中：，
∴其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点睛】熟记“二次函数的图象的顶点坐标为”是解答本题的关键.
【考点3 二次函数 y=ax +k图象的平移】
【例3.1】将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【例3.2】下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．y＝2x2与y＝3x2 B．与
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
【答案】D
【详解】解：A、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
B、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
C、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
D、两个抛物线的a相同，可以通过平移得到；
故选D．
【例3.3】将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线经过点，则b的值为___．
【答案】3
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点代入即可求得．
【详解】解：将抛物线向下平移b个单位长度后，所得新抛物线为，
∵新抛物线经过点，
∴,
∴．
故答案为：3．
【变式3.1】将二次函数的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为______．
【答案】
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：二次函数的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为．
故答案为：．
【变式3.2】把抛物线向上平移________个单位可得抛物线．
【答案】3
【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴把抛物线向上平移个单位，可得到抛物线．
故答案为：3
二次函数 y=a（x-h) 的图象与性质
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=a（x-h) a＞0 开口向上 x=h (h, 0) a＞0 在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大
a＜0 开口向下 a＜0 在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
【考点1 二次函数 y=a（x-h) 的图象】
【例1.1】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案
【详解】解： y＝2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为
该函数不经过第三、四象限
如图，
故选C
【点睛】本题考查了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．
【例1.2】在平面直角坐标系中，二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．
【例1.3】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式1.1】对于函数的图像，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【分析】根据二次函数系数与图像关系进行判断即可．
【详解】解：函数的图像是开口向下的抛物线，最大值为0，对称轴为直线，图像与y轴有交点，故选项A 、B 、C正确，选项D不正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与图像的关系，根据二次函数解析式的系数判断图像的特征是解题关键．
【变式1.2】（1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象；
x -3 -2 -1 0 1 2 3
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
（2）分别写出它们顶点坐标．
【答案】（Ⅰ）见解析；（2）二次函数的顶点坐标为，的顶点坐标为
【分析】（1）列表，描点，连线画出图象即可；
（2））根据二次函数图象即可写出顶点坐标；
【详解】解：（1）列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
4 1 0 1 4 9 16
在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象如图：
（2）二次函数的顶点坐标为，
的顶点坐标为；
【点睛】本题考查了二次函数图象，利用描点法得出函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
【变式1.3】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
【答案】见解析
【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。
【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．
先列表：
x … 0 1 2 3 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小．
【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键．
【考点2 二次函数 y=a（x-h) 的性质】
【例2.1】下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－4时，y随x的增大而减少
D．当x＜－4时，y随x的增大而减少
【答案】D
【详解】试题分析：由函数表达式可以得到函数的对称轴是x=-4，抛物线开口向上，所以当x<-4时，y随的增大而减小，当x>-4时，y随x 的增大而增大．故选D.
【例2.2】已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
点A到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．
【变式2.1】关于二次函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向下，顶点坐标为(0，3)
B．当x＝3时，函数有最大值0
C．当x＜3时，y随x的增大而减小
D．开口方向向下，对称轴为y轴
【答案】B
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0），故选项A、D错误；
∴x＜3时，y随x增大而增大，故选项C错误；
x＝3时，y取最大值为0，故选项B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式2.2】抛物线的顶点在（ ）
A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】A
【分析】根据抛物线的解析式可得出顶点坐标为，由此即可得．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，在轴上，
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．
【变式2.3】下列抛物线的对称轴是直线的是（ ），
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质解答即可得．
【详解】解：A、对称轴为，此选项不符合题意；
B、对称轴为，此选项不符合题意；
C、对称轴为，此选项符合题意；
D、对称轴为，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据顶点式得出二次函数的性质．
【考点3 二次函数 y=a（x-h) 图象的平移】
【例3.1】将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
【答案】(2，－5)
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．
【详解】抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），
∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），
故答案为：(2，－5) ．
【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
【变式3.1】抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向____平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向____平移|h|个单位就得到抛物线
【答案】 右 左
1.若点P（-2，3）在二次函数的图象上，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
【答案】A
【分析】直接将点P坐标代入求解即可．
【详解】解：∵点P（-2，3）在二次函数的图象上，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答的关键．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．与轴有两个交点 D．顶点坐标
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴A、B不正确，D正确，
∵抛物线开口向上，最小值为1，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴C不正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．点、在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将A和B分别代入二次函数中求出和的值，然后比较大小．
【详解】解：∵点是二次函数图象上的点，
∴；
∵点是二次函数图象上的点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能计算出结果再比较是解题的关键．
4．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
5．抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答．
【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为，
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是，
∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴抛物线与抛物线的开口方向相反，但是形状大小相同，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键．
6．二次函数的的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得．
【详解】解：∵，，
∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
故选：D．
【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键．
7．已知二次函数的图象经过点，那么a的值为_____．
【答案】
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m______n（填大小关系）
【答案】＞
【分析】抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．
【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2+20，
∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1＞-2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
9．请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式；
【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，熟练运用二次函数的顶点式是解题的关键．
10．抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答．
【详解】解：该抛物线的对称轴为直线，
即该抛物线的对称轴为y轴，
∵，抛物线开口向上，
∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小．
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
11．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上，
当时，最小为，
又∵，
∴时，最大为
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．
12．二次函数的图象不经过第________象限．
【答案】三、四
【分析】先求出顶点坐标，再根据开口方向判断不经过的象限．
【详解】解：∵二次函数顶点，开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
【点睛】本题考查二次函数的性质，数形结合掌握二次函数的性质是解题关键．
13．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
(2)图像见解析．
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
14．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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